广东省揭阳市普宁市九年级上学期期末数学试卷-A4

这是一份广东省揭阳市普宁市九年级上学期期末数学试卷-A4，共27页。
Δ
A．B．
C．D．
2．（3分）解这个方程x（2x+3）﹣3（2x+3）＝0最简单的方法是（ ）
A．公式法B．因式分解法
C．配方法D．直接开平方法
3．（3分）已知，则的值是（ ）
A．﹣5B．5C．﹣4D．4
4．（3分）如图，菱形菜圃ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，从点O处拉一根水管至AD的中点E，则水管OE的长等于（ ）
A．2B．3.5C．7D．14
5．（3分）计算cs245°+tan30°sin60°的值等于（ ）
A．B．C．1D．2
6．（3分）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AA′＝1：3，△ABC的面积为2，则△A′B′C′的面积为（ ）
A．32B．18C．6D．4
7．（3分）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填∠A＝90°B．（2）处可填AD＝AB
C．（3）处可填AD＝CBD．（4）处可填∠A＝90°
8．（3分）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ）
A．黑球B．红球C．黄球D．白球
9．（3分）在△ABC与△A1B1C1中，有下列条件：①；②；③∠A＝∠A1；④∠C＝∠C1．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定△ABC∽△A1B1C1的共有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
10．（3分）根据图①所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图②．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ平行x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ，则以下结论：①x＜0时，；②△OPQ的面积为定值；③x＞0时，y随x的增大而增大；④MQ＝2PM；⑤存在OM2＝PM•MQ．其中正确结论是（ ）
A．②④⑤B．①②⑤C．③④⑤D．②③⑤
二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.请将下列各题的正确答案写在答题卡的相应位置.）
11．（3分）如图，同一时刻在阳光照射下，树AB的影子BC＝4.5m，小明的影子B′C′＝1.5m，已知小明的身高A′B′＝1.7m，则树高AB＝ m．
12．（3分）研究发现，近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.4米，则小明的近视镜度数可以调整为 度．
13．（3分）顶角为36°的等腰三角形，其底边长与腰长的比为，通常称它为“黄金三角形”，利用“黄金三角形”可以计算sin18°＝ ．
14．（3分）如图，某小区有一块长为15米，宽为10米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为96米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．设人行通道的宽度为x米，则所列方程是 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点F在GH上，CG与EF交于点P，CM与BE交于点Q，若HF＝FG，则的值是 ．
三.解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分.）
16．（7分）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝﹣1；
④b＝2，c＝2．
17．（7分）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，．
求证：△ACD∽△ABC．
18．（7分）如图是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为A、B、C、D），每个开关分别控制一排日光灯（开关序号与日光灯的排数序号不一定一致）．某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪排日光灯的情况下先后随机按下两个开关．
（1）王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率是 ；
（2）王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是多少？请用列表法或画树状图法加以分析．
四.解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分。）
19．（9分）要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜面AD的坡度为1：3，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝3.2米，一楼到地平线的距离BC＝1米．
（1）求斜面AD的长度？（结果保留整数，参考数据：））
（2）如果送货的货车高度为2.8米，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．
20．（9分）如图在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DB，DB平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作DC的垂线，分别交AB，AE于点F、G，若AG＝3，AD＝4，求菱形ABCD的面积．
21．（9分）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，该市市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1800元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低60元．但最低售价不得少于1200元．已知市政府向该公司支付货款22.5万元，求购买的这种健身器材的套数．
五.解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。）
22．（13分）【综合实践】
如图1所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，小杰组装了如图2所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端L1＝lm，距右端L2＝0.4m，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图2，即FA×L1＝FB×L2）
（1）若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 N；
（2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，L2的长度随之变化．设重物B的质量为xN，L2的长度为y cm．则：
①y关于x的函数关系式是 ．
②完成表格：a＝ ；b＝ ．
③借助表格，在图3的直角坐标系中画出该函数的图象．
（3）在（2）的条件下，若点A的坐标为（20，0），点B的坐标为（0，2），在（2）中所求函数的图象上存在点C，使得S△ABC＝46，请求出点C的坐标．
23．（14分）如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC中点，点E为AD边上一点，连接EO并延长交BC于点F；四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线对称，射线FB′分别与线段AC、射线AD交于G、H两点．
（1）求证：EH＝FH；
（2）已知，DH＝1；
①当点H在线段AD上时，求的值；
②当△CHF为等腰三角形时，求CD的长．
2024-2025学年广东省揭阳市普宁市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，只有一个正确选项，请将正确答案写在答题卡的相应位置.）
1．（3分）一个几何体的部分视图如图，则该几何体是（ ）
Δ
A．B．
C．D．
【分析】由空间几何体的三视图可以得到空间几何体的直观图．
【解答】解：由三视图可知，该组合体的上部分为圆台，下部分为圆柱，
故选：D．
【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体的应用，解题的关键是熟练掌握由三视图判断几何体的方法．
2．（3分）解这个方程x（2x+3）﹣3（2x+3）＝0最简单的方法是（ ）
A．公式法B．因式分解法
C．配方法D．直接开平方法
【分析】结合方程特点即可得出答案．
【解答】解：解这个方程x（2x+3）﹣3（2x+3）＝0最简单的方法是因式分解法，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
3．（3分）已知，则的值是（ ）
A．﹣5B．5C．﹣4D．4
【分析】先利用内项之积等于外项之积得到b＝2a，然后把b＝2a代入代数式中进行分式的计算即可．
【解答】解：∵＝，
∴b＝2a，
∴＝＝＝﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查了比例的性质，灵活运用比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题关键．
4．（3分）如图，菱形菜圃ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，从点O处拉一根水管至AD的中点E，则水管OE的长等于（ ）
A．2B．3.5C．7D．14
【分析】由菱形的性质得AB＝CB＝CD＝AD，AC⊥BD，则4AD＝28，求得AD＝7，由∠AOD＝90°，E为AD的中点，得OE＝AD＝3.5，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴AB＝CB＝CD＝AD，AC⊥BD，
∵菱形ABCD的周长为28，
∴4AD＝28，
∴AD＝7，
∵∠AOD＝90°，E为AD的中点，
∴OE＝AD＝×7＝3.5，
故选：B．
【点评】此题重点考查菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，推导出∠AOD＝90°，并且求得AD＝7是解题的关键．
5．（3分）计算cs245°+tan30°sin60°的值等于（ ）
A．B．C．1D．2
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
【解答】解：cs245°+tan30°sin60°
＝（）2+×
＝+
＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．（3分）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AA′＝1：3，△ABC的面积为2，则△A′B′C′的面积为（ ）
A．32B．18C．6D．4
【分析】由题意得OA：OA′＝1：4，则△ABC与△A′B′C′的相似比为1：4，可得△ABC与△A′B′C′的面积比为1：16，进而可得答案．
【解答】解：∵OA：AA′＝1：3，
∴OA：OA′＝1：4，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：4，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1：16．
∵△ABC的面积为2，
∴△A′B′C′的面积为32．
故选：A．
【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键．
7．（3分）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填∠A＝90°B．（2）处可填AD＝AB
C．（3）处可填AD＝CBD．（4）处可填∠A＝90°
【分析】根据正方形、矩形、菱形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴（1）处可填∠A＝90°是正确的，故该选项不符合题意；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，
∴（2）处可填AD＝AB是正确的，故该选项不符合题意；
C、对边相等是平行四边形的性质，故该选项符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定和菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的关系是解题的关键．
8．（3分）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ）
A．黑球B．红球C．黄球D．白球
【分析】用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为0.20，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案．
【解答】解：观察统计图可知：该球的频率稳定在0.20左右，所以抽到该球的概率为0.20，
∵抽到白球的概率为＝0.4，
抽到红球的概率为＝0.3，
抽到黄球的概率为＝0.2，
抽到黑球的概率为＝0.1，
∴该种球的颜色最有可能是黄球．
故选：C．
【点评】本题考查l利用频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键．
9．（3分）在△ABC与△A1B1C1中，有下列条件：①；②；③∠A＝∠A1；④∠C＝∠C1．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定△ABC∽△A1B1C1的共有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【分析】由相似三角形的判定方法，即可判断．
【解答】解：①②、两三角形的三边对应成比例，能判定△ABC∽△A1B1C1；
①③、两三角形的两边对应成比例，但夹角不是∠A和∠A1，不能判定△ABC∽△A1B1C1；
①④、两三角形的两边对应成比例，但夹角不是∠C和∠C1，不能判定△ABC∽△A1B1C1；
②③、两三角形的两边对应成比例，但夹角不是∠A和∠A1，不能判定△ABC∽△A1B1C1；
②④、两三角形的两边对应成比例，且夹角相等，能判定△ABC∽△A1B1C1；
③④、两三角形的两角对应相等，能判定△ABC∽△A1B1C1，
∴能判定△ABC∽△A1B1C1的共有3组．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似．
10．（3分）根据图①所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图②．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ平行x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ，则以下结论：①x＜0时，；②△OPQ的面积为定值；③x＞0时，y随x的增大而增大；④MQ＝2PM；⑤存在OM2＝PM•MQ．其中正确结论是（ ）
A．②④⑤B．①②⑤C．③④⑤D．②③⑤
【分析】根据题意得到当x＜0时，y＝﹣，当x＞0时，y＝，设P（a，b），Q（c，d），求出ab＝﹣2，cd＝4，求出△OPQ的面积是3；x＞0时，y随x的增大而减小；由ab＝﹣2，cd＝4得到MQ＝2PM；利用相似三角形的判定与性质，可得OM2＝PM•MQ．
【解答】解：x＜0时，y＝﹣，故①结论错误；
当x＜0时，y＝﹣，当x＞0时，y＝，
设P（a，b），Q（c，d），
则ab＝﹣2，cd＝4，
∴△OPQ的面积是（﹣a）b+cd＝3，
∴故②结论正确；
x＞0时，y＝，y随x的增大而减小，故③结论错误；
∵ab＝﹣2，cd＝4，
∴MQ＝2PM故④结论正确；
设PM＝﹣a，则OM＝﹣．则PO2＝PM2+OM2＝（﹣a）2+（﹣）2＝（﹣a）2+，
QO2＝MQ2+OM2＝（﹣2a）2+（﹣）2＝4a2+，
如果∠POQ＝90°，
则PQ2＝PO2+QO2＝（﹣a）2++4a2+＝5a2+＝9a2，
整理得：＝4a2，
∴a4＝2，
∵a有解，
∴∠POQ＝90°可能存在，
∴存在△OPM∽△QOM，
∴存在OM2＝PM•MQ．
故⑤结论正确；
∴正确结论是②④⑤．
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行说理是解此题的关键．
二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.请将下列各题的正确答案写在答题卡的相应位置.）
11．（3分）如图，同一时刻在阳光照射下，树AB的影子BC＝4.5m，小明的影子B′C′＝1.5m，已知小明的身高A′B′＝1.7m，则树高AB＝ 5.1 m．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解答】解：∵＝，
∴设树高是x米，则＝，
解得：x＝＝5.1，
∴树高为5.1m，
故答案为：5.1．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
12．（3分）研究发现，近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.4米，则小明的近视镜度数可以调整为 250 度．
【分析】先求出反比例函数解析式，再把x＝0.4代入计算即可．
【解答】解：设反比例函数解析式为，
把y＝400，x＝0.25代入得k＝400×0.25＝100，
∴，
当x＝0.4时，．
故答案为：250．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键．
13．（3分）顶角为36°的等腰三角形，其底边长与腰长的比为，通常称它为“黄金三角形”，利用“黄金三角形”可以计算sin18°＝ ．
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，先利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD＝18°，BD＝BC，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠BAC＝18°，BD＝BC，
在Rt△ABD中，sin∠BAD＝，
∴sin18°＝＝×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
14．（3分）如图，某小区有一块长为15米，宽为10米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为96米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．设人行通道的宽度为x米，则所列方程是 （15﹣3x）（10﹣2x）＝96 ．
【分析】设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为96米2，列出一元二次方程．
【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（15﹣3x）（10﹣2x）＝96，
故答案为：（15﹣3x）（10﹣2x）＝96．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用平移的性质得出是解题关键．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点F在GH上，CG与EF交于点P，CM与BE交于点Q，若HF＝FG，则的值是 ．
【分析】先根据正方形的性质得出A、C、M三点在一条直线上，B、C、G三点在一条直线上，再说明△AFH∽△BPE，根据HF＝FG，可得，，然后根据ASA证明△ABQ≌△BEP，可得，接着证明△BQC∽△BPE，得，再设AB＝BE＝2m，则QB＝PE＝m，可表示出S正方形ABEF，S△ABQ＝S△BEP，再根据勾股定理表示出QB，进而得出BC，QC，即可表示S△BCQ，四边形PCQE的面积，四边形PCAF的面积，可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABEF、四边形ACGH、四边形BCMN都是正方形，
∴∠ACG＝∠BCM＝∠H＝∠E＝∠G＝∠AFE＝∠ABE＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠ACG＝180°，∠ACB+∠BCM＝180°，
∴A、C、M三点在一条直线上，B、C、G三点在一条直线上．
∵∠AFE＝90°，
∴∠AFH＝90°﹣∠PFG＝∠FPG＝∠BPE，
∴△AFH∽△BPE，
∴．
∵HF＝FG，
∴，
∴，
∴．
∵∠ABQ＝∠E，∠BAQ＝∠EBP＝90°﹣∠ABC，AB＝BE，
∴△ABQ≌△BEP（ASA），
∴．
∵∠BCQ＝∠E，∠CBQ＝∠EBP，
∴△BQC∽△BPE，
∴，
∴．
设AB＝BE＝2m，则QB＝PE＝m，
∴，．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，灵活选择判定定理是解题的关键．
三.解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分.）
16．（7分）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝﹣1；
④b＝2，c＝2．
【分析】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得b2＞4c，由此可知b、c的值可在②③中选取，然后求解．
【解答】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4c，
∴②③均可，
选②解方程，则这个方程为：x2+3x+1＝0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
选③解方程，则这个方程为：x2+3x﹣1＝0，
∴x1＝，x2＝．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式和公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
17．（7分）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，．
求证：△ACD∽△ABC．
【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得结论．
【解答】证明：∵AD＝1，AB＝3，AC＝，
∴，，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
18．（7分）如图是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为A、B、C、D），每个开关分别控制一排日光灯（开关序号与日光灯的排数序号不一定一致）．某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪排日光灯的情况下先后随机按下两个开关．
（1）王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率是 ；
（2）王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是多少？请用列表法或画树状图法加以分析．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）用列表法或树状图法列举出所以可能，再利用概率公式解答即可．
【解答】解：（1）由题意可知王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种．
∴P（两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯）＝＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
四.解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分。）
19．（9分）要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜面AD的坡度为1：3，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝3.2米，一楼到地平线的距离BC＝1米．
（1）求斜面AD的长度？（结果保留整数，参考数据：））
（2）如果送货的货车高度为2.8米，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．
【分析】（1）由题意可得BD＝CD﹣CB＝2.2米，然后在Rt△ABD中，坡比的定义以及勾股定理，即可求得AD的长；
（2）首先过C作CE⊥AD，垂足为E，在Rt△CDE中，由坡角的定义即可得EC的长，继而求得答案．
【解答】解：（1）∵斜坡的坡度为1：3，
∴＝，
∵BD＝CD﹣CB＝2.2米，
在Rt△ABD中，AB＝3BD＝6.6米，
故AD＝＝≈7（米），
答：斜面AD的长度应约为7米．
（2）过C作CE⊥AD，垂足为E，
∴∠DCE+∠CDE＝90°，
∵∠BAD+∠ADB＝90°，
∴∠DCE＝∠BAD，
∴tan∠BAD＝tan∠DCE＝＝，
设DE＝x米，则EC＝3x米，
在Rt△CDE中，
3.22＝x2+（3x）2，
解得：x≈1.011，
则3x＝3.033，
∵3.033＞2.8，
∴货车能进入地下停车场．
【点评】本题考查了坡度坡角问题，解题的关键是根据题意构造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知识求解．
20．（9分）如图在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DB，DB平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作DC的垂线，分别交AB，AE于点F、G，若AG＝3，AD＝4，求菱形ABCD的面积．
【分析】（1）先证四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝∠CDB，再证∠CDB＝∠CBD，则CD＝CB，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得AB＝AD＝4，AD∥BC，再证∠DAG＝90°，则DG＝5，进而由三角形面积求出AF＝，然后由勾股定理得DF＝，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝∠CDB，
∵DB平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴CD＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝4，AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠DAG＝90°，
∴DG＝＝＝5，
∵AB∥CD，DG⊥DC，
∴DG⊥AB，
∴S△ADG＝DG•AF＝AD•AG，
∴AF＝＝＝，
∴DF＝＝＝，
∴S菱形ABCD＝AB•DF＝4×＝．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
21．（9分）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，该市市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1800元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低60元．但最低售价不得少于1200元．已知市政府向该公司支付货款22.5万元，求购买的这种健身器材的套数．
【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款22.5万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，
由题意得：32（1+x）2＝50，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，
由题意得：m（1800﹣×60）＝225000，
整理得：m2﹣400m+37500＝0，
解得：m1＝250，m2＝150，
∵最低售价不得少于1200元，
∴1800﹣×60≥1200，
解得：m≤200，
∴m＝150，
答：购买的这种健身器材的套数为150套．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
五.解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。）
22．（13分）【综合实践】
如图1所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，小杰组装了如图2所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端L1＝lm，距右端L2＝0.4m，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图2，即FA×L1＝FB×L2）
（1）若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 200 N；
（2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，L2的长度随之变化．设重物B的质量为xN，L2的长度为y cm．则：
①y关于x的函数关系式是 y＝ ．
②完成表格：a＝ 4 ；b＝ 50 ．
③借助表格，在图3的直角坐标系中画出该函数的图象．
（3）在（2）的条件下，若点A的坐标为（20，0），点B的坐标为（0，2），在（2）中所求函数的图象上存在点C，使得S△ABC＝46，请求出点C的坐标．
【分析】（1）根据公式FA×L1＝FB×L2进行计算即可；
（2）①根据公式FA×L1＝FB×L2即可得到y＝；②根据①求出a、b的值即可；③先描点，再连线，画出函数图象即可；
（3）设C（a，），连接BC，AC，OC，根据三角形的面积求出a的值．
【解答】解：（1）∵FA×L1＝FB×L2，
∴FB＝＝＝200（N），
∴重物B所受拉力为200N，
故答案为：200；
（2）①∵FA×L1＝FB×L2，
∴L2＝，即y＝＝，
故答案为：y＝；
②由①得a＝＝4，b＝＝50，
填表如下：
故答案为：4，50；
③函数图象如下所示：
（3）点A的坐标为（20，0），B的坐标为（0，2），C为反比例函数y＝（x＞0）上一点，
设C（a，），连接BC，AC，OC，
∴S△ABC＝S△OBC+S△OAC﹣S△AOB
＝OB•xC+OA•yC﹣OA•OB
＝×2×a+×20×﹣×2×20
＝a+﹣20，
∵S△ABC＝46，
∴a+﹣20＝46，
整理得：a2﹣66a+800＝0，
解得a1＝50，a2＝16，
经检验，a＝50或a＝16是原方程的根，
∴a＝50时，＝；a＝16时，＝5，
∴点C的坐标为（50，）或（16，5）．
【点评】本题是反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，反比例函数的性质和图象，正确理解题意是解题的关键．
23．（14分）如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC中点，点E为AD边上一点，连接EO并延长交BC于点F；四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线对称，射线FB′分别与线段AC、射线AD交于G、H两点．
（1）求证：EH＝FH；
（2）已知，DH＝1；
①当点H在线段AD上时，求的值；
②当△CHF为等腰三角形时，求CD的长．
【分析】（1）根据矩形的性质可得AD∥BC，推出∠HEF＝∠EFB，根据对称的性质可得∠EFB＝∠EFH，推出∠HEF＝∠EFH，即可证明；
（2）由点O为AC中点，可得OA＝OC，设OG＝3k，OA＝OC＝7k，则AG＝10k，CG＝4k，证明△AOE≌△COF，得到AE＝CF．
①证明△CFG∽△AHG，得到，设CF＝2x，AH＝5x，则EH＝FH＝3x，，即可求解；
②分两种情况讨论：当HF＝HC＝3x时，过点H作HT⊥CF于T，当CF＝HC＝2x时，过点H作HR⊥CF于R，根据矩形的判定与性质和勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠HEF＝∠EFB，
由对称的性质得：∠EFB＝∠EFH，
∴∠HEF＝∠EFH，
∴EH＝FH；
（2）解：∵点O为AC中点，
∴OA＝OC，
∵，
∴设OG＝3k，OA＝OC＝7k，
∴AG＝OA+OG＝10k，CG＝OC﹣OG＝7k﹣3k＝4k，
∵AD∥BC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF．
①∵AD∥BC，
∴△CFG∽△AHG，
∴，
∵，
∴设CF＝2x，AH＝5x，
∵AE＝CF，
∴AE＝CF＝2x，
∴EH＝AH﹣AE＝5x﹣2x＝3x，
由（1）知，EH＝FH，
∴EH＝FH＝3x，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当△CHF为等腰三角形时，
由①知，CF＝2x，HF＝3x，
∴CF≠HF，
分以下三种情况讨论：
当HF＝HC＝3x时，如图1，过点H作HT⊥CF于T，
∴，
∵∠D＝∠DCT＝∠HTC＝90°，
∴四边形DCTH是矩形，
∴CT＝DH＝1，即x＝1，
∴HF＝3x＝3，
∴HF＝HC＝3，
在Rt△CDH中，；
当CF＝HC＝2x时，如图2，过点H作HR⊥CF于R，
∵∠D＝∠DCR＝∠HRC＝90°，
∴四边形DCRH是矩形，
∴CR＝DH＝1，HR＝CD，
∴FR＝CF﹣CR＝2x﹣1，
在Rt△CDH中，由勾股定理得：CD2＝CH2﹣DH2＝（2x）2﹣12＝4x2﹣1，
在Rt△HFR中，由勾股定理得：HR2＝HF2﹣FR2＝（3x）2﹣（2x﹣1）2，
∵HR＝CD，
∴HR2＝CD2，即（3x）2﹣（2x﹣1）2＝4x2﹣1，
解得：x1＝0，x2＝﹣4，不合题意，舍去，
∴此种情况不成立；
当CF＝CH，且H在AD延长线上时，如图3，过H作HK⊥BC交延长线于点K，
有FH2﹣FK2＝HC2﹣KC2得，
（3x）2﹣（2x+1）2＝（2x）2﹣12，
解得x1＝0（舍去），x2＝4，
此时CD＝＝3；
综上所述，或3．
x/N
…
10
20
30
40
b
…
y/cm
…
8
a
2
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
B
C
A
C
C
C
A
x/N
…
10
20
30
40
b
…
y/cm
…
8
a
2
…
x/N
…
10
20
30
40
50
…
y/cm
…
8
4
2
…