广东省揭阳市普宁市2021-2022学年九年级上学期期中学科监测数学【试卷+答案】

这是一份广东省揭阳市普宁市2021-2022学年九年级上学期期中学科监测数学【试卷+答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省揭阳市普宁市九年级第一学期期中
数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．已知2x＝3y（xy≠0），那么下列比例式中成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．已知2是关于x的方程3x2﹣2a＝0的一个解，则a的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．cm2 D．2cm2
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．
5．为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（　　）

A． B．BC2＝AB•AC C． D．≈0.618
7．用配方法解方程时，下列配方错误的是（　　）
A．x2+6x﹣7＝0化为（x+3）2＝0
B．x2﹣5x﹣4＝0化为
C．x2+2x﹣99＝0化为（x+1）2＝100
D．3x2﹣4x﹣2＝0化为
8．如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，其中∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，M为BC中点，EF过点M交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，则下列结论错误的是（　　）

A．四边形BECF为平行四边形
B．当BF＝3.5时，四边形BECF为矩形
C．当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形
D．四边形BECF不可能为正方形
9．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　）

A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600
B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600
D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600
10．如图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取ΔA1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去…，经过第2021次操作后得△A2021B2021C2021，则△A2021B2021C2021的面积为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共7小题，共28分）
11．一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根是 　 　．
12．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件 　 　，使得△ADE∽△ABC．

13．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝　 　°．

14．如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，使斜边DF与地面保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝30cm，EF＝15cm，测得边DF离地面的高度AC＝120cm，CD＝600cm，则树AB的高度为　 　cm．

15．已知a、b是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个根，则a（3b﹣2）﹣2b的值为 　 　．
16．如图，在△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，△ADE∽△ABC且S△ADE：S四边形BCED＝4：21，则AD＝　 　．

17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在直线EB′与AD的交点C′处，DF＝　 　．

三、解答题（本大题共3小题，共18分）
18．解方程：x2﹣6x+4＝0（用配方法）
19．已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD和CD上的点，且∠ABE＝∠CBF．求证：DE＝DF．

20．如图，已知：∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40．
求证：△ABC∽△AED．

四、解答题（本大题共3小题，共24分）
21．小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字1，2，3，4的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于2，则小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对两人公平吗？请说明理由．
22．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
23．2020年年初以来，全国多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府的高度关注，政府向市场投入储备猪肉进行了价格平抑．据统计：某超市2020年1月10日猪肉价格比去年同一天上涨了40%，这天该超市每千克猪肉价格为56元．
（1）求2019年1月10日．该超市猪肉的价格为每千克多少元？
（2）现在某超市以每千克46元的价格购进猪肉，按2020年1月10日价格出售，平均一天能销售100千克．经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，平均每日销售量就增加20千克，超市为了实现销售猪肉平均每天有1120元的销售利润，在尽可能让利于顾客的前提下．每千克猪肉应该定价为多少元？

五、解答题（本大题共2小题，共20分）
24．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：
（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

25．如图①，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N
（1）求证：MN＝MC；
（2）若DM：DB＝2：5，求证：AN＝4BN；
（3）如图②，连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，求NG•CG的值．



参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．已知2x＝3y（xy≠0），那么下列比例式中成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】由2x＝3y（y≠0），根据比例的性质，即可求得答案．
解：∵2x＝3y（y≠0），
∴＝或＝．
故选：B．
2．已知2是关于x的方程3x2﹣2a＝0的一个解，则a的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用一元二次方程解的定义，把x＝2代入方程3x2﹣2a＝0得12﹣2a＝0，然后解关于a的方程即可．
解：把x＝2代入方程3x2﹣2a＝0得3×4﹣2a＝0，解得a＝6．
故选：D．
3．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．cm2 D．2cm2
【分析】根据菱形的性质可得该对角线与菱形的边长组成一个等边三角形，利用勾股定理求得另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式：菱形的面积＝×两条对角线的乘积，即可求得菱形的面积．
解：由已知可得，这条对角线与边长组成了等边三角形，可求得另一对角线长2，
则菱形的面积＝2×2÷2＝2cm2
故选：D．
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，
∴＝，
∴DE＝，
故选：D．
5．为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如图：

共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种，
∴恰好抽到2名女学生的概率为＝，
故选：B．
6．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（　　）

A． B．BC2＝AB•AC C． D．≈0.618
【分析】根据根据黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），
且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），
叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝AB≈0.618AB，即可得结论．
解：设AB为整体1，AC的长为x，则BC＝1﹣x，
根据黄金分割定义，得＝，
所以选项A正确，不符合题意；
∵AC2＝AB•BC，
所以B选项错误，符合题意；
x2＝1×（1﹣x）
整理，得x2+x﹣1＝0，
解得x1＝，x2＝（不符合题意，舍去）．
∴＝
所以C选项正确，不符合题意；
∵＝＝≈0.618
所以D选项正确，不符合题意．
故选：B．
7．用配方法解方程时，下列配方错误的是（　　）
A．x2+6x﹣7＝0化为（x+3）2＝0
B．x2﹣5x﹣4＝0化为
C．x2+2x﹣99＝0化为（x+1）2＝100
D．3x2﹣4x﹣2＝0化为
【分析】将各项中的方程二次项系数化为1，常数项移到方程右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
解：A、x2+6x﹣7＝0，
移项得：x2+6x＝7，
配方得：x2+6x+9＝16，即（x+3）2＝16，本选项正确；
B、x2﹣5x﹣4＝0，
移项得：x2﹣5x＝4，
配方得：x2﹣5x+＝，即（x﹣）2＝，本选项错误；
C、x2+2x﹣99＝0，
移项得：x2+2x＝99，
配方得：x2+2x+1＝100，即（x+1）2＝100，本选项错误；
D、3x2﹣4x﹣2＝0，
方程化简得：x2﹣x＝，
配方得：x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝，本选项错误，
故选：A．
8．如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，其中∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，M为BC中点，EF过点M交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，则下列结论错误的是（　　）

A．四边形BECF为平行四边形
B．当BF＝3.5时，四边形BECF为矩形
C．当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形
D．四边形BECF不可能为正方形
【分析】由平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可．
解：∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴AB＝CD＝3，AC＝BD＝5，BC＝EF＝4，∠A＝∠D，∠ACB＝∠CBD，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵M为BC中点，
∴BM＝CM，
在△BMF和△CME中，
，
∴△BMF≌△CME（ASA），
∴MF＝ME，
∴四边形BECF为平行四边形，故A选项不符合题意；
当BF＝3.5时，若BE⊥AC，
∵S△ABC＝AB•BC＝AC•BE，
∴BE＝，
∴CE＝＝＝，
∵BF＝3.5，
∴CE≠BF，
∴BF＝3.5时，四边形BECF不是矩形，故B选项符合题意；
∵BF＝2.5，四边形BECF是平行四边形，
∴CE＝BF＝2.5，
∴AE＝AC﹣CE＝2.5，
∴E为AC中点，
∴BE＝CE，
∵四边形BECF是平行四边形，
∴当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形，故C选项不符合题意；
当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形，此时∠BEC≠90°，
∴四边形BECF不可能为正方形．故D选项不符合题意．
故选：B．

9．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　）

A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600
B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600
D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600
【分析】若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．
故选：C．
10．如图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取ΔA1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去…，经过第2021次操作后得△A2021B2021C2021，则△A2021B2021C2021的面积为（　　）

A． B． C． D．
【分析】先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可．
解：∵点A1，B1分别为BC，AC的中点，
∴AB＝2A1B1，
∵点A2，B2分别为B1C1，A2C2的中点，
∴A1B1＝2A2B2，
∴A2B2＝（）2•a，
…
∴AnBn＝（）n•a，
∴A2021B2021＝（）2021•a
∴△A2021B2021C2021的面积＝•[（）2021•a]2＝，
故选：D．
二、填空题（本大题共7小题，共28分）
11．一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根是 　x1＝5，x2＝1　．
【分析】利用因式分解法求出解即可．
解：x2﹣6x+5＝0，
（x﹣5）（x﹣1）＝0，
∴x﹣5＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝5，x2＝1．
故答案为：x1＝5，x2＝1．
12．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件 　∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD•AC＝AB•AE（任意一个即可）　，使得△ADE∽△ABC．

【分析】由∠DAB＝∠CAE，可证得∠BAC＝∠DAE，然后由相似三角形的判定定理，可添加∠B＝∠D或∠C＝∠DEA或AB：AD＝AC：AE或AD•AC＝AB•AE等．
解：根据相似三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
已知∠DAB＝∠CAE，则∠DAE＝∠BAC，要使△ADE∽△ABC，则补充的一个条件可以是∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD•AC＝AB•AE．
故答案为：∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD•AC＝AB•AE（任意一个即可）．
13．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝　22　°．

【分析】根据正方形的性质，即可得到∠DAF＝34°，∠DFE＝56°，依据全等三角形的对应角相等，即可得到∠DCE＝∠DAF＝34°，再根据三角形外角性质，即可得到∠CEF的度数．
解：∵正方形ABCD中，∠BAD＝∠ADF＝90°，∠BAE＝56°，
∴∠DAF＝34°，∠DFE＝56°，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DCE＝∠DAF＝34°，
∵∠DFE是△CEF的外角，
∴∠CEF＝∠DFE﹣∠DCE＝56°﹣34°＝22°，
故答案为：22．
14．如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，使斜边DF与地面保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝30cm，EF＝15cm，测得边DF离地面的高度AC＝120cm，CD＝600cm，则树AB的高度为　420　cm．

【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长，再加上AC的长即可求得树高AB．
解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴BC：EF＝DC：DE，
∵DE＝30cm，EF＝15cm，AC＝120cm，CD＝600cm，
∴，
∴BC＝300cm，
∴AB＝AC+BC＝120+300＝420cm，
故答案为：420．
15．已知a、b是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个根，则a（3b﹣2）﹣2b的值为 　﹣13　．
【分析】根据根与系数的关系，可得出ab和a+b的值，再代入即可．
解：由题意得a+b＝5，ab＝﹣1，
∴原式＝3ab﹣2（a+b）＝3×（﹣1）﹣2×5＝﹣3﹣10＝﹣13，
故答案为﹣13．
16．如图，在△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，△ADE∽△ABC且S△ADE：S四边形BCED＝4：21，则AD＝　　．

【分析】根据S△ADE：S四边形BCED＝4：21，得S△ADE：S△ABC＝4：25，再根据相似三角形的性质列出比例式即可求解．
解：∵S△ADE：S四边形BCED＝4：21，
∴S△ADE：S△ABC＝4：25，
∵△ADE∽△ABC，
∴，
∵AB＝6，
∴AD＝，
故答案为：．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在直线EB′与AD的交点C′处，DF＝　　．

【分析】首先连接CC′，可以得到CC′是∠EC′D的平分线，所以CB′＝CD，又AB′＝AB，所以B′是对角线中点，AC＝2AB，所以∠ACB＝30°，即可得出答案．
解：连接CC′，
∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，
又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．
∴EC＝EC′，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
在△CC′B′与△CC′D中，
，
∴△CC′B′≌△CC′D（AAS），
∴CB′＝CD，
又∵AB′＝AB，
∴AB′＝CB′，
所以B′是对角线AC中点，
即AC＝2AB＝8，
所以∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝60°，∠ACC′＝∠DCC′＝30°，
∴∠DC′C＝∠1＝60°，
∴∠DC′F＝∠FC′C＝30°，
∴C′F＝CF＝2DF，
∵DF+CF＝CD＝AB＝4，
∴DF＝．
故答案为：．

三、解答题（本大题共3小题，共18分）
18．解方程：x2﹣6x+4＝0（用配方法）
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解：由原方程移项，得
x2﹣6x＝﹣4，
等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得
x2﹣6x+9＝﹣4+9，
即（x﹣3）2＝5，
∴x＝±+3，
∴x1＝+3，x2＝﹣+3．
19．已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD和CD上的点，且∠ABE＝∠CBF．求证：DE＝DF．

【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定得出△ABE与△CBF全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，AB＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF，
∴AD﹣AE＝CD﹣CF，
∴DE＝DF．
20．如图，已知：∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40．
求证：△ABC∽△AED．

【分析】先证得＝，然后根据相似三角形的判定定理即可证得结论．
【解答】证明：∵AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40．
∴＝＝1.2，＝＝1.2，
∴＝，
∵∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
四、解答题（本大题共3小题，共24分）
21．小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字1，2，3，4的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于2，则小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对两人公平吗？请说明理由．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次数字差的绝对值小于2的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否．
解：这个游戏对双方不公平．
理由：列表如下：

1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
所有等可能的情况有16种，其中两次数字差的绝对值小于2的情况有（1，1），（2，1），（1，2），（2，2），（3，2），（2，3），（3，3），（4，3），（3，4），（4，4）共10种，
故小明获胜的概率为：＝，则小刚获胜的概率为：＝，
∵≠，
∴这个游戏对两人不公平．
22．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可；
（2）先确定k＝2，再解方程x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，然后分别把x＝1和x＝2代入一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0可得到满足条件的m的值．
解：（1）根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k≤；
（2）满足条件的k的最大整数为2，此时方程x2﹣3x+k＝0变形为方程x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
当相同的解为x＝1时，把x＝1代入方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0得m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m＝；
当相同的解为x＝2时，把x＝2代入方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0得4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1，而m﹣1≠0，不符合题意，舍去，
所以m的值为．
23．2020年年初以来，全国多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府的高度关注，政府向市场投入储备猪肉进行了价格平抑．据统计：某超市2020年1月10日猪肉价格比去年同一天上涨了40%，这天该超市每千克猪肉价格为56元．
（1）求2019年1月10日．该超市猪肉的价格为每千克多少元？
（2）现在某超市以每千克46元的价格购进猪肉，按2020年1月10日价格出售，平均一天能销售100千克．经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，平均每日销售量就增加20千克，超市为了实现销售猪肉平均每天有1120元的销售利润，在尽可能让利于顾客的前提下．每千克猪肉应该定价为多少元？

【分析】（1）设2019年1月10日．该超市猪肉的价格为每千克x元，根据“比去年同一天上涨了40%，这天该超市每千克猪肉价格为56元”列方程求解可得；
（2）设每千克猪肉降价y元，根据“平均每天有1120元的销售利润”列出方程求解可得．
解：（1）设2019年1月10日．该超市猪肉的价格为每千克x元，
根据题意，得：（1+40%）x＝56，
解得x＝40，
答：2019年1月10日．该超市猪肉的价格为每千克40元；
（2）设每千克猪肉降价y元，
根据题意，得：（56﹣46﹣y）（100+20y）＝1120，
解得y＝2或y＝3，
∵尽可能让利于顾客，
∴y＝3，
∴56﹣y＝53，
答：每千克猪肉应该定价为53元．
五、解答题（本大题共2小题，共20分）
24．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：
（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系；
（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在．
解：（1）设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，
则有：（6﹣2x）x＝×3×6，即x2﹣3x+2＝0，
解方程，得x1＝1，x2＝2，
经检验，可知x1＝1，x2＝2符合题意，
所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．

（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，
由矩形ABCD，可得∠CDA＝∠MAN＝90°，
因此有或
即①，或②
解①，得t＝；解②，得t＝
经检验，t＝或t＝都符合题意，
所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．
25．如图①，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N
（1）求证：MN＝MC；
（2）若DM：DB＝2：5，求证：AN＝4BN；
（3）如图②，连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，求NG•CG的值．

【分析】（1）作ME∥AB、MF∥BC，证四边形BEMF是正方形得ME＝MF，再证∠CME＝∠FMN，从而得△MFN≌△MEC，据此可得证；
（2）由FM∥AD，EM∥CD知＝＝＝，据此得AF＝2.4，CE＝2.4，由△MFN≌△MEC知FN＝EC＝2.4，AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，从而得出答案；
（3）把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，先证△MCG≌△HCG得MG＝HG，由BG：MG＝3：5可设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，继而知BH＝4a，MD＝4a，由DM+MG+BG＝12a＝6得a＝，知BG＝，MG＝，证△MGN∽△CGB得＝，从而得出答案．
解：（1）如图①，过M分别作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，

则四边形BEMF是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠BME＝45°，
∴ME＝BE，
∴平行四边形BEMF是正方形，
∴ME＝MF，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∵∠FME＝90°，
∴∠CME＝∠FMN，
∴△MFN≌△MEC（ASA），
∴MN＝MC；

（2）由（1）得FM∥AD，EM∥CD，
∴＝＝＝，
∴AF＝2.4，CE＝2.4，
∵△MFN≌△MEC，
∴FN＝EC＝2.4，
∴AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，
∴AN＝4BN；

（3）如图②，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，

∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，
∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH＝45°，∠DCM＝∠BCH，
∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，
∵MC＝MN，MC⊥MN，
∴△MNC是等腰直角三角形，
∴∠MNC＝45°，
∴∠NCH＝45°，
∴△MCG≌△HCG（SAS），
∴MG＝HG，
∵BG：MG＝3：5，
设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，
在Rt△BGH中，BH＝4a，则MD＝4a，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴BD＝6，
∴DM+MG+BG＝12a＝6，
∴a＝，
∴BG＝，MG＝，
∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，
∴△MGN∽△CGB，
∴＝，
∴CG•NG＝BG•MG＝．