湖南株洲市渌口区2025-2026学年七年级上学期期末考试数学试题（试卷+解析）

这是一份湖南株洲市渌口区2025-2026学年七年级上学期期末考试数学试题（试卷+解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题只有一个正确的选项）
1. 2026的倒数是（ ）
A. 2026B. C. D.
2. 春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》票房表现亮眼，截止到年3月日，累计票房已达亿元，将数据“亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列说法正确的是（ ）
A. B. 的次数是5
C. 是单项式D. 的常数项是
4. 如果，下列变形中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 年“湘超足球联赛”永州队获得了冠军，将如图所示的平面图形围成正方体后“永”，“州”两字的对面上的字分别是（ ）
A. 冠，湘B. 湘，超C. 冠，军D. 湘，军
6. 按如图的方法折纸，下列说法中不正确的是（ ）
A. 与互余B.
C 平分D. 与互补
7. 方程是一元一次方程，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
8. 已知有理数在数轴上位置如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
9. 某商店同时出售A、B两种商品，其售价都是100元，已知出售A商品商店亏损了，出售B商品商店盈利了，则这个商店在本次交易中（ ）
A. 亏损B. 盈利C. 不赚不亏D. 无法判断
10. 将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示121的有序数对是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 比较大小：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
12. 若单项式与单项式的和仍然是单项式，则的值为_____．
13. 如图，点是线段上一点，点是线段中点，若线段，，则线段的长为________．
14. 一个两位正整数，十位上的数字是，个位上的数字是6，用代数式表示为_____．
15. 一个角的余角是54°，则这个角的补角是_______．
16. 如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______________．
三、解答题（本大题共8题，满分72分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 解下列方程（组）：
（1）；
（2）．
19. 已知：，．
（1）化简；
（2）若互为相反数，求的值．
20. 如图，在平面上有四个点，请按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）
（1）作直线，作射线，作线段；
（2）用圆规在射线上作线段；
（3）直线上求作点，使得最小．
21. 如图，点O是直线上的一点，，平分．
（1）试说明；
（2）若，求的度数．
22. 十八世纪伟大的数学家欧拉，他创造并推广了大量的数学符号，使数学表达更加简捷与方便，把关于的多项式用符号的形式来表示，把等于的多项式的值用来表示，例如：当时，的值记为．
（1）已知，
①填空：__________，②若，则____________；
（2）已知，若，求的值；
（3）把方程的解称为多项式的“不动点”，试求多项式的不动点．
23. 随着科技的发展，“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，新能源汽车的销量稳步提升．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元
（1）求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
24. 如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”．
（1）一条线段中点______这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”）
（2）如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b，且a、b满足关系式．
①若C是线段的“巧点”，则C点表示的数是多少？
②动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”．
七年级数学试题
时量：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题只有一个正确的选项）
1. 2026的倒数是（ ）
A. 2026B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据倒数的定义，一个数的倒数是1除以这个数，解答即可．
本题考查倒数的概念，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得 2026的倒数是，
故选：C．
2. 春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》票房表现亮眼，截止到年3月日，累计票房已达亿元，将数据“亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的形式为（，为整数），确定和的值是解题关键．
本题亿，然后将表示为的形式，然后即可求解；
【详解】解：∵亿．
∴将表示为的形式，其中，小数点向左移动了位，即，
∴亿用科学记数法表示为；
故选：A；
3. 下列说法正确的是（ ）
A. B. 的次数是5
C. 是单项式D. 的常数项是
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了单项式的系数、次数定义，单项式的定义以及多项式常数项的概念，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题需根据单项式的系数、次数定义，单项式的定义以及多项式常数项的概念，逐一分析选项判断正误，然后即可求解；
【详解】解：∵单项式系数是指单项式中的数字因数，
∴的系数是，故A错误；
∵单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，中字母的指数是3，
∴该单项式的次数是3，故B错误；
∵单项式是数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，而分母含有字母，不是数或字母的积，
∴它不单项式，故C错误；
∵多项式中不含字母的项叫做常数项，
∴的常数项是，故D正确；
故选：D；
4. 如果，下列变形中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，分别判断即可．
【详解】解：，
，
故A不符合题意；
，
，
，
故B不符合题意；
，
，
故C不符合题意；
，当时，，
故D符合题意，
故选：D．
5. 年“湘超足球联赛”永州队获得了冠军，将如图所示的平面图形围成正方体后“永”，“州”两字的对面上的字分别是（ ）
A. 冠，湘B. 湘，超C. 冠，军D. 湘，军
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正方体的平面展开图形，掌握立体图形与平面图形的相互转化是解题的关键．
本题根据正方体的平面展开图形的特征即可得出结果；
【详解】解：将题目所示的正方体的平面展开图，还原成立体正方体，
∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴由图可以得出“永”，“州”两字的对面上的字分别为“冠”，“军”，
故选：C；
6. 按如图的方法折纸，下列说法中不正确的是（ ）
A. 与互余B.
C. 平分D. 与互补
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了折叠性质、余角和补角、角平分线的定义，灵活运用所学知识是解决本题的关键．
由折叠的性质可得，求出，即可判断A；求出即可判断B；根据即可判断C；根据即可判断D．
【详解】解：由折叠的性质可得，
，
与互余，故A正确，不符合题意；
，故B正确，不符合题意；
，
不平分，故C错误，符合题意；
，
与互补，故D正确，不符合题意；
故选：C．
7. 方程是一元一次方程，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的定义的知识，掌握以上知识是解答本题的关键．
根据一元一次方程的定义，需使方程中二次项系数为0且未知数的最高次数为1，由此求出与的值，再计算的值，即可求解．
【详解】解：∵方程是一元一次方程，
∴二次项系数为0，且未知数的次数为1，
即，
解得，
∴，
故选：D．
8. 已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查有理数的乘法、有理数的加减法、数轴和绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
根据数轴的特点、绝对值的性质以及有理数的乘法法则、有理数的加减法法则进行解题即可．
【详解】解：根据数轴可知且，
A、，选项正确，不符合题意；
B、，选项错误，符合题意；
C、，选项正确，不符合题意；
D、，选项正确，不符合题意；
故选：B．
9. 某商店同时出售A、B两种商品，其售价都是100元，已知出售A商品商店亏损了，出售B商品商店盈利了，则这个商店在本次交易中（ ）
A. 亏损B. 盈利C. 不赚不亏D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设商品的成本价为元，商品的成本价为元，根据题意建立方程，分别求出的值，再比较总售价与总成本价的大小，由此即可得．
【详解】解：设商品的成本价为元，商品的成本价为元，
由题意得：，，
解得，，
∴，
∵两种商品的总售价为，即总售价小于总成本价，
∴这个商店在本次交易中亏损，
故选：A．
10. 将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示121的有序数对是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．
根据图中的数据，可知第几排有几个数，每排的数据奇数排从左到右是由小变大，每排的数据偶数排从左到右是由大变小，由此可以判断121所在的位置．
【详解】解：由题意可得，第排有个数，每排的数据奇数排从左到右是由小变大，每排的数据偶数排从左到右是由大变小，则前排有个数，
当时，则前 15排有120个数，
当时，则前 16排有136个数，
，
∴121在第 16排，
∵偶数排从左到右是由大变小，
∴121所对应的有序数对是，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 比较大小：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比较两个负数的大小，掌握绝对值比较大小的方法，是解题关键．
两个负数比较大小，绝对值较大的反而小，由此判断即可．
【详解】解：，
．
故答案为：．
12. 若单项式与单项式的和仍然是单项式，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查同类项的定义、合并同类项、代数式求值，掌握以上知识是解答本题的关键；
两个单项式的和仍是单项式，则它们必须是同类项，即相同字母的指数相等，进而求出、，然后即可求解；
【详解】解：∵ 单项式 与 的和是单项式，
∴ 它们是同类项，
∴的指数相等，即 ；的指数相等，即，
∴，
故答案为：；
13. 如图，点是线段上一点，点是线段的中点，若线段，，则线段的长为________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了与线段中点有关的计算．熟练掌握与线段中点有关的计算是解题的关键．
先求得线段的长度为，再根据点是线段的中点，然后即可求解
【详解】解：∵线段，，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
∴线段的长为，
故答案为：5
14. 一个两位正整数，十位上的数字是，个位上的数字是6，用代数式表示为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了两位数的代数表示方法，掌握代数式是解答本题的关键；
根据两位数的代数表示方法，十位数字乘以加上个位数字即可得到该两位数
【详解】解：十位上的数字是，个位上的数字是6，因此这个两位数为，
故答案为：
15. 一个角的余角是54°，则这个角的补角是_______．
【答案】144°
【解析】
【分析】根据余角是两个角的和为90°，这两个角互为余角，两个角的和为180°，这两个角互为补角，可得答案．
【详解】∵一个角的余角是54°，∴这个角为：90°﹣54°=36°，∴这个角的补角为：180°﹣36°=144．
故答案为144°．
本题考查了余角和补角，通过它们的定义来解答即可．
16. 如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，角平分线的定义，由角平分线的定义得出， ，，结合已知条件可得出，，即可判断①②，再由平角的定义和角度的和差即可得出，即可判断③，由角的等量代换可得出，由即可得出，即可判断④．
【详解】解：①如图所示，
∵平分，平分，
∴， ，
∵，
∴
∴，故①正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∴，
∴，
，故③正确；
∵
∵
∴，故④错误．
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共8题，满分72分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】本题考查了有理数的加减运算和含乘方的有理数混合运算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
（1）根据有理数的加减运算的知识，进行作答，即可求解；
（2）根据含乘方的有理数混合运算的知识，进行作答，即可求解；
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：；
18. 解下列方程（组）：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程和加减消元法解二元一次方程组，掌握以上知识是解答本题的关键；
（1）先进行去括号，然后移项，合并同类项，系数化为1，即可求解；
（2）根据加减消元法，进行计算，即可求解
【小问1详解】
解：，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
得：，
得：，
解得：，
把代入①，即，
解得：，
∴方程组的解为：
19. 已知：，．
（1）化简；
（2）若互为相反数，求的值．
【答案】（1） （2）1
【解析】
【分析】本题考查整式的化简求值；
（1）把整式代入，然后去括号，合并同类项解答即可；
（2）把代入化简后的式子解答即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴
；
【小问2详解】
解：由（1）得
∵互为相反数，那么
∴．
20. 如图，在平面上有四个点，请按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）
（1）作直线，作射线，作线段；
（2）用圆规在射线上作线段；
（3）在直线上求作点，使得最小．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析 （3）画图见解析
【解析】
【分析】（1）根据直线，射线，线段的定义画图即可；
（2）在射线上截取即可；
（3）连接交于，可得最小．
【小问1详解】
解：如图，直线，射线，线段即为所求；
【小问2详解】
解：如图，线段即为所求；
【小问3详解】
解：如图，点即为所求；
21. 如图，点O是直线上的一点，，平分．
（1）试说明；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由可得，然后由等式的性质即可得出结论；
（2）由于，设，则，，由等式的性质可得，，进而可得，由角平分线的定义可得，然后由角的和差关系可得，由此即可求出的度数．
【小问1详解】
证明：，
，
；
【小问2详解】
解：，
设，则，
，
，
，
，
平分，
，
．
本题主要考查了几何图形中角度计算问题，角平分线的有关计算，等式的性质，等式的性质等知识点，熟练掌握几何图形中的角度计算问题是解题的关键．
22. 十八世纪伟大的数学家欧拉，他创造并推广了大量的数学符号，使数学表达更加简捷与方便，把关于的多项式用符号的形式来表示，把等于的多项式的值用来表示，例如：当时，的值记为．
（1）已知，
①填空：__________，②若，则____________；
（2）已知，若，求的值；
（3）把方程的解称为多项式的“不动点”，试求多项式的不动点．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】此题考查了代数式求值，解一元一次方程、解二元一次方程组等知识．
（1）①把代入求值即可；②根据得到，解方程即可；
（2）根据得到关于ab的方程组，解方程组得到，然后代入求出值即可；
（3）根据定义得到，然后解方程即可．
【小问1详解】
解：①∵，
∴，
②∵，
∴，
解得，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：∵，，
∴
解得
∴
∴
【小问3详解】
解：由题意可得，，
解得，
∴多项式的不动点为．
23. 随着科技的发展，“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，新能源汽车的销量稳步提升．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元
（1）求、两种型号汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）种型号的汽车每辆进价分别为万，种型号的汽车每辆进价分别为万元；
（2）购买汽车的方案有三种：①种汽车辆，种汽车辆；②种汽车辆，种汽车辆；③种汽车辆，种汽车辆；
（3）方案①的利润最大，最大利润是元．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用；
（1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据题意即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设种汽车辆，种汽车辆，则可列二元一次方程为，结合，均为正整数，即可得出结论；
（3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
【小问1详解】
解：设种汽车每辆万元，种汽车每辆为万元，
则可列二元一次方程组为
解得：
答：种型号的汽车每辆进价分别为万，种型号的汽车每辆进价分别为万元
【小问2详解】
设种汽车辆，种汽车辆，则可列二元一次方程为
符合题意的正整数解有：，，
所以公司购买汽车的方案有三种：①种汽车辆，种汽车辆；②种汽车辆，种汽车辆；③种汽车辆，种汽车辆．
【小问3详解】
公司购买汽车三种方案的利润分别是：①元；
②元
③元
方案①的利润最大，最大利润是元．
24. 如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”．
（1）一条线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”）
（2）如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b，且a、b满足关系式．
①若C是线段的“巧点”，则C点表示的数是多少？
②动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”．
【答案】（1）是 （2）①或或
②或或
【解析】
【分析】（1）若点是中点，则有成立，满足“巧点”定义，由此即可得出答案；
（2）①由及绝对值非负性可得，，解方程即可求出、值，若C是线段的“巧点”，则分三种情况讨论：）当时；）当时；）当时；分别求解，即可求出点表示的数；②当移动的时间为t秒时，点表示的数为，点表示的数为，当点Q恰好是线段的“巧点”时，分三种情况讨论：）当时；）当时；）当时；分别列方程求解即可．
【小问1详解】
解：如图，若点是中点，则有成立，满足“巧点”定义，
一条线段的中点是这条线段的“巧点”，
故答案为：是；
【小问2详解】
解：①，
，，
解得：，，
若C是线段的“巧点”，则分三种情况讨论：
）当时，
此时，
点表示的数是：；
）当时，
此时，
点表示的数是：；
）当时，
此时，
点表示的数是：；
综上，点表示的数是或或，
答：点表示的数是或或；
②如图，
当移动的时间为t秒时，点表示的数为，点表示的数为，
当点Q恰好是线段的“巧点”时，分三种情况讨论：
）当时，
，
解得：；
）当时，
，
解得：；
）当时，
，
解得：；
综上，当或或时，点Q恰好是线段的“巧点”．
本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用（几何问题），用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值非负性，有理数四则混合运算的实际应用，线段中点的定义等知识点，运用数形结合思想及分类讨论思想是解题的关键．