贵州省遵义市2022-2023学年高二数学下学期期末质量监测试题（Word版附解析）

遵义市2022～2023学年度第二学期期末质量监测

高二数学

（满分：150分时间：120分钟）

注意事项：

1考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码．

2．客观题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；主观题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用自然数集的含义描述集合，从而利用集合的交集运算即可得解.

【详解】依题意，可知集合为正奇数组成的集合，

又，所以.

故选：A.

2. 2023年4月，国内鲜菜、食用油、粮食、禽肉、鲜果、鸡蛋、猪肉价格同比（与去年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A. 食用油、粮食、禽肉、鲜果、鸡蛋、猪肉这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小

B. 猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍

C. 去年4月鲜菜价格要比今年4月高

D. 这7种食品价格同比涨幅的平均值超过10%

【答案】C

【解析】

【分析】理解并根据统计图计算可得答案.

【详解】由图可知，粮食价格同比涨幅比食用油价格同比涨幅小，故A错误；

猪肉价格同比涨幅为，禽肉价格同比涨幅为，，故B错误；

因为鲜菜价格同比涨幅为，说明去年4月鲜菜价格要比今年4月高，故C正确；

这7种食品价格同比涨幅的平均值为，故D错误.

故选：C.

3. 记为等差数列的前n项和，若，则（    ）

A. 28 B. 27 C. 26 D. 25

【答案】B

【解析】

【分析】利用等差数列的性质求解.

【详解】解：在等差数列中，满足，

所以，

故选：B

4. 下列求导运算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用导数的运算法则和复合函数的导数公式求解.

【详解】A. ，故错误；

B. ，故错误；

C. ，故错误；   

D. ，故正确；

故选：D

5. 某中学举办田径运动会，某班甲、乙等4名学生代表班级参加学校米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么不同棒次安排方案总数为（    ）

A. 12 B. 10 C. 8 D. 6

【答案】D

【解析】

【分析】先考虑安排甲乙的特殊位置，再考虑其他两名学生排列即可得解.

【详解】当甲排第1棒时，乙可排第2棒或第4棒，共有种安排方案；

当甲排第2棒时，乙只能排第4棒，共有种安排方案；

故甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为种.

故选：D.

6. 将1，5，12，22等称为五边形数，如下图所示，把所有的五边形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列，则该数列的第6项（    ）

A. 49 B. 50 C. 51 D. 52

【答案】C

【解析】

【分析】根据图形找到五边形数的规律，即可得到通项，从而得解.

【详解】依题意五边形数的第一项为，

第二项为，第三项为，

则五边形数的第项为．

所以.

故选：C．

7. 已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】令，，利用导数求出函数的单调性，根据单调性比较函数值的大小，即可得解.

【详解】依题意令，，则，

所以当时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

因为，所以，即，

即.

故选：B

8. 已知正实数，满足，则的最小值为（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意得到关于的表达式，再利用换元法与基本不等式即可得解.

【详解】因为，，

所以，则，

由，得，令，则，，

所以，

当且仅当，即，时，等号成立，

则的最小值为.

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用表示，从而将转化为关于的表达式，由此利用基本不等式即可得解.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 近日王宝强电影新作《八角笼中》正在上映，现随机抽取6位影迷对该片进行评分，得到一组样本数据如下：9.2，9.3，9.5，9.5，9.7，9.8，则下列关于该样本的说法中正确的有（    ）

A. 均值为9.5 B. 方差为0.13 C. 极差为0.6 D. 第分位数为9.7

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据数据的均值、极差、方差以及百分位数的计算，分别判断各选项，即得答案.

【详解】由题意，该样本的平均值为，A正确；

方差为， B错误；

极差为，C正确；

由于，故第分位数为第5个数，即，D正确.

故选：ACD.

10. 已知函数，构造数列，则下列说法正确的是（    ）

A.  B. 数列是等差数列

C. 数列是递增数列 D.

【答案】AC

【解析】

【分析】对A直接代入计算即可，对B，根据等差数列定义进行判断即可，对C，计算得对恒成立，则可判断C，对D，根据AC选项结论即可判断.

【详解】由已知得.

对A，因为，所以A正确；

对B，因为，所以不是等差数列，故B错误；

对C，因为，，

所以恒成立，所以数列是递增数列，所以C正确；

对D，因为数列是递增数列,,所以，所以D不正确；

故选：AC.

11. 一名射击运动员射击一次击中目标的概率为，各次射击互不影响．若他连续射击两次，则下列说法正确的是（    ）

A. 事件“至多击中一次”与“恰击中一次”互斥

B. 事件“两次均未击中”与“至少击中一次”相互对立

C. 事件“第一次击中”与“两次均击中”相互独立

D. 记为击中目标的次数，则，

【答案】BD

【解析】

【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的概念判断ABC选项；依题意，根据二项分布的期望与方差公式判断D.

【详解】对于A：事件“至多击中一次”包含“恰击中一次”和“两次均未击中”，故A错误；

对于B：事件“两次均未击中”的对立事件是“至少击中一次”， 故B正确；

对于C：事件“两次均击中”包含了事件“第一次击中”，故C错误；

对于D：依题意，所以，，故D正确；

故选：BD

12. 已知函数，在函数的图象上，，则下列选项正确的是（    ）

A. 设函数，则函数在上单调递减

B. 当且时，函数上恰有两条切线通过点A

C. 当时，函数上恰有三条切线通过点A

D. 函数在点B处的切线交的图像于另一点，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A，利用导数与函数单调性的关系即可得解；对于BCD，利用导数的几何意义，结合切线斜率公式得到相关等式，整理化简即可得解.

【详解】对于A，，

所以，

令，得，所以函数在上单调递减，故A正确；

对于B，当且时，，，则，

当为切点时，，

此时切线方程为，即；

当不为切点时，设切点为，则，

此时有且，则，

整理得，解得或（舍去），

所以有一个切点满足要求，此时对应的切线有一条，

综上：当且时，函数上恰有两条切线通过点A，故B正确；

对于C，当时，则，此时，，则，

易知不上，

当上的切线通过点A时，设对应的切点为，

则有，故，

整理得，解得或，

所以满足要求的切点有两个，此时对应的切线有两条，故C错误；

对于D，因为不是同一个点，则，

由题意得，两式相减得，

整理得，则，

又，所以，

整理得，即，

所以，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：本题求函数切线的条数的关键是求得对应切点的个数，即求得对应的切点的横坐标的个数，从而得解.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 在正项等比数列中，已知，，则公比______．

【答案】3

【解析】

【分析】利用等比数列的前n项和公式求解.

【详解】解：因为在正项等比数列中，，，

所以 ，即，

即 ，

解得 或（舍去），

故答案为：3

14. 关于的不等式有实数解的一个充分条件是______．（写出一个满足条件的的取值范围即可）

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】先求得有实数解的等价条件，再利用充分条件与集合的关系即可得解.

【详解】因为有实数解，

等价于，即，即，即，

所以题干所求的一个充分条件只需是的子集即可，如等.

故答案为：（答案不唯一）.

15. 的展开式中项的系数为______．

【答案】

【解析】

【分析】利用二项式展开式通项公式即可得解.

【详解】因为展开式的通项公式为，

而，

所以含项为，则所求系数为.

故答案为：.

16. 已知为实数，函数，．若存在，使，则的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，分离参数，然后结合导数求最值，即可得到结果.

【详解】由题意可得，存在，使，即，

化简可得，令，其中，

则，令，可得，

当时，，则单调递减，

当时，，则单调递增，

所以，当时，有极小值，即最小值，

即，所以，

记，其中，

则，令，解得，

当时，，则函数单调递增，

当时，，则函数单调递减，

所以，当时，有极大值，即最大值，

所以，即.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数求最值问题，难度较难，解答本题的关键在于分离参数，然后利用导数求解最值.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知数列满足，．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；

（2）结合（1）中结论求得的通项公式，再利用错位相减法即可得解.

【小问1详解】

因为，，

所以，，

显然，则，

故是首项为，公比为的等比数列.

【小问2详解】

由（1）知，，所以，

则，

故，

两式相减得，

，

所以.

18. 模式识别与智能系统是20世纪60年代以来在信号处理、人工智能、控制论、计算机技术等学科基础上发展起来新型学科某研究性小组设计了A，B两种不同的软件用于自动识别音乐的类别．记这两个软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为，．为测试A，B两种软件的识别能力，计划采取两种测试方案．

方案一：将100首音乐随机分配给A，B两个软件识别，每首音乐只被一个软件识别一次，并记录结果：

方案二：对同一首歌，A，B软件分别识别两次，如果识别的正确次数之和不少于三次，则称该次测试通过，

若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的；在正确识别的音乐数中，A软件占；在错误识别的音乐数中，B软件占．

（1）请根据以上数据填写下面的2×2列联表，并通过独立性检验分析，是否有90%的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？

（2）利用（1）中列联表的数据，视频率为概率，求方案二在一次测试中获得通过的概率．

附：，其中．

【答案】（1）有的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题目所给的数据填写列联表，计算，对照题目中的表格，得出统计结论；

（2）利用相互独立事件的乘法公式以及互斥事件的概率公式计算即可．

【小问1详解】

根据题目所给数据得到如下的列联表：

，

所以有的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关．

【小问2详解】

由题意得，识别一次软件正确识别的概率为，软件正确识别的概率为，

该次测试通过的概率为．

19. 已知函数，若函数在处取得极值．

（1）求实数的值；

（2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，再检验即可；

（2）依题意可得与有三个不同的交点，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，即可得到不等式组，解得即可.

【小问1详解】

因为，

所以，依题意，

解得或（舍去），经检验符合题意.

【小问2详解】

由（1）可得，

函数有三个不同的零点，即与有三个不同的交点，

又，

所以当或时，即在，上单调递增，

当时，即在上单调递减，

所以，，

且当时，当时

所以，解得，

即实数的取值范围为.

20. 已知数列满足，

（1）求数列通项公式；

（2）证明．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）令可得，结合等差数列的定义，求出通项公式；

（2）记，由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.

【小问1详解】

因为，，

所以，即，

所以是以为首项、为公差的等差数列，

所以.

【小问2详解】

记，

则，

所以

，

即.

21. 甲、乙两人下象棋比赛，规则如下：由抽签确定第1局先下棋的人选，第1局先下棋的人是甲、乙的概率各为0.5，赢得本局的人下一局先下棋．若甲先下棋，则甲本局获胜的概率为0.6，若乙先下棋，则甲本局获胜的概率为0.5，每局比赛无平局且每局比赛的胜负结果相互独立

（1）求第2局甲先下棋的概率；

（2）若比赛采用5局3胜制，且第一局甲先下棋，记为比赛结束时进行的局数，求的分布列和数学期望．

【答案】（1）   

（2）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）根据全概率公式计算可得；

（2）依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.

【小问1详解】

记为第局甲先下棋，为第局甲获胜，（且），

所以

，

即第局甲先下棋的概率为.

【小问2详解】

依题意的可能取值为、、，

则，

，

，

所以 分布列为：

所以.

22. 已知函数，．

（1）求证：当，；

（2）若，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，构造函数，，求导，根据其单调性即可证明；

（2）根据题意，构造函数，将不等式转化为求函数最小值，然后利用导数研究讨论，即可得到结果.

【小问1详解】

证明：设，，则，

所以在区间上单调递增，

所以，即.

【小问2详解】

由在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

设，则在区间上恒成立，

而，令，则，

设，则，当时，，

所以函数在区间上单调递增，故在区间上，，

即在区间上，，

由（1）知：在区间上，，

即，所以在区间上函数单调递增，

当时，，故在区间上函数，

所以函数在区间上单调递增，

又，故，即函数在区间上恒成立.

当时，，

，

故在区间上函数存在零点，即，

又在区间上函数单调递增，

故在区间上函数，所以在区间上函数单调递减，

由，所以在区间上，与题设矛盾.

综上，的取值范围为.

【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数证明不等式问题以及利用导数研究不等式恒成立问题，难度较大，解答本题的关键在于得到不等关系，在区间上，，然后通过函数的单调性，即可得到结果.