内蒙古自治区赤峰市2026届高三年级模拟考试数学试题（原卷+解析）

这是一份内蒙古自治区赤峰市2026届高三年级模拟考试数学试题（原卷+解析），共25页。试卷主要包含了02，4C， 已知，则m，n，p， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数，其中i为虚数单位，则（ ）
A. 0B. 1C. D. 2
3. 若直线过圆的圆心，则（ ）
A. B. C. 1D. 3
4. 高三某班共50人，某次数学单元测试成绩服从正态分布，已知成绩低于70分的同学有5人，则（ ）
A. B. 0.4C. 0.6D. 0.8
5. 如图所示，已知斜三棱柱中，，，点M，N分别为线段和BC中点，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知等比数列中，，若将除以7所得余数记，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 5
7. 已知，则m，n，p（ ）
A. 成等差，但不成等比B. 成等比，但不成等差
C. 既成等差，又成等比D. 既不成等差，又不成等比
8. 已知函数在[0，1]上单调递增，且满足，若对任意，有，则方程在[0，12]上解的个数是（ ）
A. 1B. 5C. 9D. 11
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 周期为
B. 的图象关于点对称
C. 在上的最大值为1
D. 若要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
10. 抛物线的焦点为，准线为，点为上的一点且在第二象限，过作于点，连接BF，将线段FB绕点逆时针旋转得到线段FC，若点在轴上，则下列正确的是（ ）
A. 准线的方程为B. 为等边三角形
C. 点的横坐标为D. 线段CF的长为8
11. 如图所示，在长方体中，点是棱上的一个动点，若平面与棱交于点，下列命题中是真命题的是（ ）
A. 四棱锥的体积恒为定值
B. 延长与直线DC交于点，延长与直线DA交于点，则P、B、Q三点共线
C. 截面四边形周长最小时，点的位置不唯一
D. 为底面ABCD对角线AC和BD交点，在棱上存在点，使平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 数据的第百分位数为__________．
13. 在中，角A，B，C所对的边分别为，边上的高AD长为，则__________.
14. 已知分别为双曲线的左右焦点，点在双曲线上，圆为的内切圆，，且，则双曲线的离心率为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角所对的边分别为，已知的面积为.
（1）求；
（2）若，求.
16. 如图所示，在多面体中，四边形均为正方形，点在线段上，且，过的平面交线段于点.
（1）证明：；
（2）当时，求平面与平面所成角的余弦值.
17. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆上动点处的切线方程为，过点且与切线垂直的直线分别交轴、轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
18. 某企业在年会中设计了游戏环节，从员工中随机抽取10名参加游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者每次掷一枚质地均匀的骰子，初始分数为0，每次投掷时，若出现的点数能被3整除，可为自己积2分，否则为自己积1分.连续投掷，累计得分达到9分或10分时，游戏结束.设员工在游戏过程中累计得分的概率为.
（1）求；
（2）求；
（3）得9分的员工，获得二等奖，奖金200元；得10分的员工，获得一等奖，奖金500元，估计该企业作为游戏奖励的预算资金（精确到1元）．
（参考数据：）
19. 已知函数.
（1）若，求的值以及在点处的切线方程；
（2）求函数在上的最大值；
（3）当时，在上恒成立，设是方程根，求的最大值，并证明：.
内蒙古自治区赤峰市2026届高三年级模拟考试数学试题
2026.02
本试卷共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据交集的定义计算可得.
【详解】因为，，
所以.
故选：D
2. 复数，其中i为虚数单位，则（ ）
A. 0B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的模公式，可得答案.
【详解】复数.
故选：C.
3. 若直线过圆的圆心，则（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由题可知圆心坐标满足直线方程进而即得.
【详解】圆的圆心为，
因为直线经过圆心，所以，解得.
故选：C.
4. 高三某班共50人，某次数学单元测试成绩服从正态分布，已知成绩低于70分的同学有5人，则（ ）
A. B. 0.4C. 0.6D. 0.8
【答案】B
【解析】
【分析】由正态分布性质结合题设可得答案.
【详解】由题可知，
又，因此，
由正态分布性质可知.
故选：B.
5. 如图所示，已知斜三棱柱中，，，点M，N分别为线段和BC的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由图与题设结合空间向量线性运算可判断选项正误.
【详解】由图可得：
.
故选：A.
6. 已知等比数列中，，若将除以7所得余数记为，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合等比数列的性质求解，再根据二项式定理分析，可知的展开式中不含有7因子的只有最后一项1，除以7的余数为1，进而求解除以7的余数即可.
【详解】由等比数列，所以，即，
所以，
由二项式定理可知的展开式中不含有7因子的只有最后一项，
所以除以7的余数为1，则除以7的余数为2，
即，
故选：B．
7. 已知，则m，n，p（ ）
A. 成等差，但不成等比B. 成等比，但不成等差
C. 既成等差，又成等比D. 既不成等差，又不成等比
【答案】A
【解析】
【分析】由对数的定义和运算公式可判断选项正误.
【详解】由题可得，，因此，可知m，n，p成等差；
由，但，可知m，n，p不成等比．
故选：A．
8. 已知函数在[0，1]上单调递增，且满足，若对任意，有，则方程在[0，12]上解的个数是（ ）
A. 1B. 5C. 9D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】先利用对称性和递推关系分析函数在各区间的单调性与函数值，再分段判断的解的个数并汇总.
【详解】由可知函数的图象关于对称，函数在上单调递增，那么函数在上单调递减，因此函数在上的最大值为；
又，则，，，，，，，，，，；
接下来分段分析的解：
在：最大值为，无解；
在：，且函数在递增，递减，故是唯一解；
在：，，且函数在递增，递减，因此在这两个小区间里各有一个解，即共两个；
在：同理，，，函数先增后减，有两个解；
在：同理，，，有两个解；
在：同理，，，有两个解；
将各区间解的个数相加：，因此，在上的解个数为9.
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的周期为
B. 的图象关于点对称
C. 在上的最大值为1
D. 若要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
【答案】AC
【解析】
【分析】对于，根据最小正周期公式即可判断；对于，由正弦函数的对称中心即可求出对称点；对于，由，可求出取值范围，代入到即可求解；对于，根据三角函数图像的缩放规则即可判断.
【详解】对于，函数的周期为，故正确；
对于，要求函数的对称中心，令，即，
因此不是函数的对称中心，故错误；
对于，，当时，，
所以的最大值为1，故正确；
对于，将图象上所有点的横坐标变为原来的可得，
故错误.
故选：
10. 抛物线的焦点为，准线为，点为上的一点且在第二象限，过作于点，连接BF，将线段FB绕点逆时针旋转得到线段FC，若点在轴上，则下列正确的是（ ）
A. 准线的方程为B. 为等边三角形
C. 点的横坐标为D. 线段CF的长为8
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由抛物线方程可得准线方程；对于B，由抛物线定义结合可判断选项正误；对于C，由题可得，，结合，可判断选项正误；对于D，由C分析结合可判断选项正误.
【详解】对于A，抛物线为开口向上的抛物线且，所以抛物线的准线方程为，故A正确；
对于B，由抛物线的定义可知，因将线段绕逆时针旋转时，得到，在轴上，可知，又，则，结合，则为等边三角形，故B正确；
对于C，设准线与y轴交点为，由题可得，又由C可得，
则，又A在第二象限，则，故C错误；
对于，由C分析可得，故D正确.
综上：选ABD．
11. 如图所示，在长方体中，点是棱上的一个动点，若平面与棱交于点，下列命题中是真命题的是（ ）
A. 四棱锥的体积恒为定值
B. 延长与直线DC交于点，延长与直线DA交于点，则P、B、Q三点共线
C. 截面四边形周长最小时，点的位置不唯一
D. 为底面ABCD对角线AC和BD的交点，在棱上存在点，使平面
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用三棱锥的体积公式，分析A选项；结合定理“若两个不重合的平面存在公共点，则该点一定在两个平面的交线上”对B选项进行判断；分析截面四边形为平行四边形，利用该长方体的侧面展开图，分析C选项；利用线线平行、线面平行、面面平行对选项D进行分析；
【详解】对于选项A，四棱锥的体积，
由于两个三棱锥和三棱锥的底面面积为定值，高也为定值，故体积恒定，故A正确；
对于选项B，由直线与直线交于点，即点在平面内，也在平面内，
同理点在平面内，也在平面内，点在平面内，也在平面ABCD内，
故P、B、Q在平面和平面的交线上，故P、B、Q三点共线，故B正确.
对于选项C，截面四边形周长：，
由于平面平行于平面，平面与截面交于，
平面与截面交于，故平行，
同理，平行，则截面四边形为平行四边形；；
由侧面展开图可知，当三点共线，即位于中点时，的和最小，
截面四边形的周长最小，因此，满足条件的只有一个，故C错误；
对于选项D，由于点为底面的对角线和的交点，
则点也为对角线和的中点，过一定存在一个平面与平面平行，
且该平面必然与棱相交，设该交点为，则平面，故D正确.
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 数据的第百分位数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用百分位求解方法求解即可.
【详解】数据从小到大排序为：，
由，
可知第百分位数为该组数据的第个数，即为，
故答案为：.
13. 在中，角A，B，C所对的边分别为，边上的高AD长为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意作图，根据三角函数公式，可得答案.
【详解】由题作图如下：
在中，，则，即；
在中，，，则；
则.
故答案为：.
14. 已知分别为双曲线的左右焦点，点在双曲线上，圆为的内切圆，，且，则双曲线的离心率为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】设的内切圆与和分别相切于点G，H，根据推得，可得，再根据双曲线定义推得的内切圆与轴相切于双曲线右顶点，可推得，，据此推得关于a、c的表达式，列等式求出a、c的比值关系后即可得双曲线离心率．
【详解】如图所示，
设的内切圆的半径为，
根据内切圆的性质可得，，
设的内切圆与和分别相切于点G，H，
可知，由，
可知，因此，
设内切圆与轴相切于，由双曲线定义，
则有，
解得，也即A点为双曲线的右顶点，
即，
同理，
在中，
运用余弦定理可得，
经过计算可得，即双曲线的离心率．
故答案为：2
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角所对的边分别为，已知的面积为.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】（1）由三角形面积公式求得，再结合数量积的定义即可求解；
（2）由余弦定理即可求解.
【小问1详解】
由题意，，
所以，
.
【小问2详解】
，由（1）知，
在中，，
即．
16. 如图所示，在多面体中，四边形均为正方形，点在线段上，且，过的平面交线段于点.
（1）证明：；
（2）当时，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）通过证明平面，结合线面平行的性质可完成证明；
（2）如图建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后结合空间向量知识可得答案.
【小问1详解】
因，平面，平面，
则平面.又平面，平面平面，
则；
【小问2详解】
由题意，以原点，以DA方向为轴，以DC方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系.
设.
，
由，且，可知，
，
则平面的法向量；
，
则平面的法向量；
.
即平面与平面所成角的余弦值为.
17. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆上动点处的切线方程为，过点且与切线垂直的直线分别交轴、轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
【答案】（1）
（2），点的轨迹为椭圆.
【解析】
【分析】（1）根据离心率建立关于的方程，再通过椭圆的点联立方程求解；
（2）方法一：根据题意求出过点且与切线垂直的直线方程，由该直线分别交轴、轴于两点得到，
再根据点在椭圆上，得，最后代入和求解即可；
（2）方法二：根据题意求出过点且与切线垂直的直线方程，
由该直线分别交轴、轴于两点得，
再由点在椭圆上得，最后代入求解即可.
【小问1详解】
由椭圆的离心率为，
可设，则.
椭圆方程可化为.
又点在椭圆上，将点的坐标代入椭圆方程，
得，即，
故椭圆方程为.
【小问2详解】
（2）方法一：如图所示，
椭圆上动点处的切线方程为.
当或时，过点且与切线垂直的直线分别为轴和轴，
不满足与轴和轴有两点，
故可得该切线斜率为，与之垂直的直线斜率为，
因此过点且与切线垂直的直线方程为，①
由该直线分别交轴、轴于两点
①中，令，则，即，
在①中，令，则，即，
由点在椭圆上，则坐标满足椭圆方程，即，②
将代入②，可得，
由（1）得，可得点的轨迹方程，
即，即点的轨迹为椭圆.
（2）方法二：如图所示，
椭圆上动点处的切线方程为，可得该切线斜率为.
与之垂直的直线斜率为，
因此过点且与切线垂直的直线方程为，①
由该直线分别交轴、轴于两点
在①中，令，则，即，
在①中，令，则，即，
由点在椭圆上，则坐标满足椭圆方程，即，②
将代入②，可得，
可得点的轨迹方程，
即，即点的轨迹为椭圆.
18. 某企业在年会中设计了游戏环节，从员工中随机抽取10名参加游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者每次掷一枚质地均匀的骰子，初始分数为0，每次投掷时，若出现的点数能被3整除，可为自己积2分，否则为自己积1分.连续投掷，累计得分达到9分或10分时，游戏结束.设员工在游戏过程中累计得分的概率为.
（1）求；
（2）求；
（3）得9分的员工，获得二等奖，奖金200元；得10分的员工，获得一等奖，奖金500元，估计该企业作为游戏奖励的预算资金（精确到1元）．
（参考数据：）
【答案】（1），，
（2）
（3）2750元
【解析】
【分析】（1）根据概率的加法以及乘法公式，结合题意，可得答案；
（2）由题意写出递推公式，构造等比数列，利用累加法，可得答案；
（3）根据数列的通项公式，可得答案.
【小问1详解】
设员工每次游戏的得分为，则，，
，，
.
【小问2详解】
由题意，，
则，解得或，
选，
由，则，
，……，，
，
，
当时，，
综上.
【小问3详解】
，
即估计游戏奖励的预算资金为2750元.
19. 已知函数.
（1）若，求的值以及在点处的切线方程；
（2）求函数在上的最大值；
（3）当时，在上恒成立，设是方程的根，求的最大值，并证明：.
【答案】（1），
（2）时，最大值为；时，最大值为
（3）的最大值为，证明见解析
【解析】
【分析】（1）解方程得值，再代入即可求点处的切线方程；
（2）因为为二次函数，所以对参数范围进行分类讨论，求在上的最大值；
（3）先利用不等式性质变形，再构造函数，找出和的关系，即，再利用放缩法证明时，在上恒成立.
法一：设函数，分别找出，的根，根据这些根的相对位置，作差即可证明；
法二：写出在时最小的根，，因为在上恒成立，所以
【小问1详解】
（1）已知函数，则，
，则.
则，，
在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
（2）由，
①当时，在上恒成立，即在上单调递增，
函数在上的最大值为.
②当时，在上，即在上单调递减，
在上，即在上单调递增.
即函数在上的最大值为，
由
当时，即时，函数在上的最大值为.
当时，即时，函数在上的最大值为0.
③当时，在上恒成立，即在上单调递减，
即函数在上的最大值为．
综上所述，时，函数在上的最大值为；
时，函数在上的最大值为.
【小问3详解】
由时，在上恒成立，
即，即，
令，则，

由，可知.
当时，
由在上恒成立
可得，
综上，的最大值为.
法一：设函数
设，为时，的两根，不妨令，
则，，，
由的根为，
因为在上恒成立，
所以，故，
即.
法二：设，为时，的两根，不妨令，
则，
而根为，
因为在上恒成立，
所以，
所以.