内蒙古赤峰市2026年高三下学期3·20模拟测试数学试卷含答案（word版）

这是一份内蒙古赤峰市2026年高三下学期3·20模拟测试数学试卷含答案（word版），共16页。试卷主要包含了36 ,即线性回归方程 y=0等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合 A={x∣x 是小于 10 的素数 },B={2,3,5,8} ,则 A∩B=
A. {2,3} B. {3,5} C. {2,3,5} D. {3,5,8}
【答案】C
【详细解答】集合 A={x∣x 是小于 10 的素数 }={2,3,5,7} ,又 B={2,3,5,8} ,则 A∩B={2,3,5} . 故选C.
2. 复数 z=4ii−1 ,则 z+i=
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
【答案】D
【详细解答】复数 z=4ii−1=−2−2ii−1=−2i−12i−1=−2i−1=2−2i,z+i=2−i=5 . 故选D.
3. 若 sinα−β=12,sinα+β=1 ,则 tanαtanβ=
A. 13 B. 33 C. 3 D. 3
【答案】D
【详细解答】由 sinα−β=12,sinαcsβ−csαsinβ=12 ,
由 sinα+β=1,sinαcsβ+csαsinβ=1 ,
可得 sinαcsβ=34,csαsinβ=14 ,
tanαtanβ=sinαcsαsinβcsβ=sinαcsβcsαsinβ=3 . 故选D.
4. 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了多次试验, 得到了试验数据的线性回归方程为 y=bx+2 ,其中 x (单位: 个) 表示加工零件的个数, y (单位: 小时) 表示加工零件所花费的时间,又已知试验数据的样本中心点为 50,20 ,估计加工 1500 个零件所花费的时间为
A. 540 小时 B. 542 小时 C. 548 小时 D. 600 小时
【答案】B
【详细解答】将试验数据的样本中心点为 50,20 代入线性回归方程 y=bx+2 ,
可得 b=0.36 ,即线性回归方程 y=0.36x+2 ,当 x=1500 时, y=542 . 故选B.
5. 已知函数 fx=x2+2x−3,x≤0lnx,x>0 ,则方程 fx+3=0 根的个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【详细解答】依据分段函数中二次函数和对数函数的图象可知, fx=−3 有三个零点. 故选 D.
6. Sn 为等差数列 an 的前 n 项和,若 S4=S9 ,且 a2+a4+am=0 ,则 m=
A. 12 B. 15 C. 16 D. 18
【答案】B
【详细解答】由 Sn 为等差数列 an 的其前 n 项和,又 S4=S9 ,即
S9−S4=a5+a6+a7+a8+a9=0 ,则 a7=0 ,
又 a2+a4+am=0=3a7 ,则 2+4+m=21,m=15 . 故选B.
7. 为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出充足的作物样本，发现在高茎作物的样本中约有 50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有 40%的作物为高茎，并且样本中约有 30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状. 则样本中兼备两种优良性状的植株的占比约为
A. 20% B. 30% C. 40% D. 50%
【答案】A
【详细解答】设高茎性状为 A ,抗倒伏性状为 B
由题意可知 PB∣A=0.5,PA∣B=0.4,PAB=0.3
即 PB∣A=PABPA=0.5 ,则 PA=2PAB,PA∣B=PABPB=0.4 ,则 PB=52PAB
由 PAB=0.3 ,即 1−PAB=PA+PB−PAB=0.7
2PAB+52PAB−PAB=0.7 ,则 PAB=0.2 . 故选A.
8. 在梯形 ABCD 中， AB//CD ， AB=6 ， CD=2 ， AD=BC=22 ，分别以该梯形的四条边为直径向外作半圆， M 是四个半圆上的动点，则 AM⋅AB 的最大值为
A. 18 B. 36 C. 30+62 D. 33+32
【答案】C
【详细解答】
如图所示, AM⋅AB 等于 AB 与 AM 在 AB 上的投影向量的数量积,即 M 位于以 BC 为直径的半圆最右侧时,
投影向量的模最大,且最大值为 5+2 ,
AM⋅AB=6×5+2=30+62 . 故选 C.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题满分 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 fx=x3−3x ,则下列说法正确的是
A. fx 在 −∞,−1 上单调递增 B. fx 的极大值为 2
C. fx 有两个零点 D. fx 的图象关于原点对称
【答案】ABD
【详细解答】
对于 A ,函数 fx=x3−3x,f′x=3x2−3 ,令 f′x=3x2−3>0 ,则 x1 , 故 A 正确;
对于 B ,由 A 可知, fx 的极大值为 f−1=2 ,故 B 正确;
对于 C,fx 有 x=0,x=−3,x=3 三个零点,故 C 错误,
对于 D,x∈R 且 f−x=−fx ,即 fx 为奇函数,故 D 正确;
故选 ABD.
10. 若双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的渐近线方程为 y=±3x ,则下列结论正确的有
A. 双曲线 C 的离心率为 2
B. 双曲线 C 的虚轴长是实轴长的 3 倍
C. 双曲线 C 与双曲线 y23−x2=1 有相同渐近线
D. 过双曲线 C 实轴和虚轴端点的椭圆的离心率为 12
【答案】 ABC
【详细解答】
对于 A ,双曲线 C 的渐近线方程为 y=±bax=±3x ,即 ba=3 ,
e=ca=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=2 ,故 A 正确;
对于 B ,由 A 可知 ba=3 ,即 b=3a ,即 2b=32a ,故 B 正确;
对于 C ,双曲线 y23−x2=1 的渐近线方程为 y23−x2=0 ,即 y=±3x ,故 C 正确;
对于 D ,设双曲线 C 的实半轴 a=t ,则虚半轴 b=3t , 若椭圆的长半轴 a0=3t ,短半轴为 b0=t ,则椭圆的离心率为 e=c0a0=63 ,故 D 错误. 故选 ABC.
11. 函数 fx=2sinωx+φ ω>0 的图象过点 0,−3 ,该函数图象在 y 轴右侧的第一个对称中心为 π6,0 ,且 x=11π12 为一条对称轴,下列有关函数 fx 正确的表述是
A. ω=2
B. fx 图象的对称轴为 x=kπ+π12k∈Z
C. fx 图象的对称中心为 kπ2−π3,0k∈Z
D. fx 在 0,π2 上的最大值为 3
【答案】AC
【详细解答】函数 fx=2sinωx+φω>0 的图象有一个对称中心为 π6,0 和一条对称轴 x=11π12 ,即 11π12−π6=k2+14T ,即 T=3π2k+1k∈Z ,
图象过点 0,−3 ,且函数图象在 y 轴右侧的第一个对称中心为 π6,0 ,由三角函数的图象可知, T6=π6 或 T3=π6 ,即 T=π 或 T=π2 (舍),则 ω=2 ,则 φ=−π3 .
函数 fx=2sinωx+φ 的表达式为 fx=2sin2x−π3 ,可知 AC 正确.
故选 AC
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 把答案填在答题卡中的横线上.
12. 以抛物线 y2=2pxp>0 的焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为 23 的等边三角形，则抛物线的标准方程为_____.
【答案】 y2=6x
【详细解答】焦点到准线的距离为 p ,也是等边三角形的高,由等边三角形是边长为 23 , 则高 p=3 ,即抛物线的标准方程为 y2=6x .
13. 正数 m ， n 满足 m+n+2mn=4 ，则 m+n 的最小值为_____.
【答案】 2
【详细解答】由基本不等式 nm≤m+n2 (或 nm≤m+n22 ) 当且仅当 m=n 时 “ = ”成立. 可知 4−m+n=2mn≤2m+n24 ,即 m+n2+2m+n−8≥0 ,又 m+n>0 , 可得 m+n≥2 ,则 m+n 的最小值为 2 .
14. 如图 1 所示，在平面四边形 ABDC 中， AB=AC=2 ， ∠A=π3 ， BD=CD=2 ，将 △ABC 沿 BC 折叠，得到图 2 中的三棱锥 A−BCD ，使二面角 A−BC−D 的余弦值为 −33 ，则三棱锥 A−BCD 的外接球表面积为_____.
(2)
【答案】 6π
【详细解答】过等边三角形 ABC 的重心 G 作平面 ABC 的垂线,
该垂线上点到 A,B,C 三个顶点的距离相等,
过 BC 中点作等腰直角三角形所在平面 BCD 的垂线, 可知该垂线上点到 B,C,D 的距离相等,
现从左侧(如图箭头方向观察该几何体)可知cs∠AMD=−33,
即 cs∠AMO=63 ,又 MG=33 ,可知
OM=22 ,即 r=OM2+MD2=62 ,
即几何体外接球的表面积 S=4πr2=6π .
四、解答题:本题共 6 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a+2c=2bcsA .
(1)求 B ；
(2)若 △ABC 的面积 S=2bsinC=43 ，求 △ABC 的周长.
【详细解答】
(1)已知 a+2c=2bcsA ，由正弦定理可知 sinA+2sinC=2sinBcsA ， (2 分) sinA+2sinA+B=2sinBcsA , (3 分)
即 sinA+2sinAcsB+2sinBcsA=2sinBcsA , (4 分)
sinA+2sinAcsB=0 ,
又在 △ABC 中, sinA≠0 ,可得 csB=−12 ,即 B=2π3 . (6 分)
(2) △ABC 的面积 S=12absinC=2bsinC=43 ，则 a=4 ， (2 分)
又 2bsinC=43 ，则 bsinC=23 ，
由正弦定理可得 csinB=23 ，由 sinB=32 ，可得 c=4 ， (4 分)
由余弦定理可得 b2=a2+c2−2accsB=16+16+16=48 ,则 b=43 . (6 分) 故 △ABC 的周长为 8+43 . (7 分)
16. (15 分)

如图所示， AE⊥ 平面 ABCD ，四边形 AEFB 为矩形，
BC//AD , BA⊥AD , AE=AD=2AB=2BC=4 .
(1)求证: CF// 平面 ADE ；
(2)求平面 CDF 与平面 AEFB 所成锐二面角的余弦值.
【详细解答】
(1)方法 1
证明: 取 AD 的中点 M ,连结 CM,EM,… (2 分)
由 BC//AM,BC=AM 得, CM//AB//EF,CM=EF .
故四边形 CMEF 为平行四边形,则 CF//ME , (4 分)
又因为 ME⊂ 平面 ADE
所以, CF// 平面 ADE . 证毕.
方法 2
∵ 四边形 AEFB 为矩形∴BF⊥AE
∵BC//AD,BC⊂ 面 △BCF,BF⊂ 面 BCF,AD⊂ 面 ADE,AE⊂ 面 ADE ,BC∩BF=B,AD∩AE=A,
∴ 面 BCF// 面 ADE ._____ (4 分)
又 CF⊂ 面 BCF .
∴CF// 面 ADE………6分
其它证明方法参照赋分.
(2)以 A 为原点， AB 方向为 x 轴， AD 方向为 y 轴， AE 方向为 z 轴， 建立如图所示坐标系.C2,2,0, D0,4,0, F2,0,4,
平面 CDF 中, CF=0,−2,4,CD=−2,2,0 ,
则平面 CDF 的法向量为 n1=2,2,1 ; (3 分)
而平面 AEFB 的法向量为 n2=0,1,0 ; (6 分)
则 csθ=n1⋅n2n1⋅n2=23 ,
平面 CDF 与平面 AEFB 所成锐二面角的余弦值为 23 (9 分)
17. (15 分)
平面直角坐标系中,动点 P 到点 M2,0 的距离与它到直线 x=8 的距离之比为 12 .
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；
(2)过点 M 的直线 l 与轨迹 C 交于 A,B 两点，且点 A 在第一象限，点 N−2,0 ， △AMN 与 △BMN 的面积之比为 35 ，求 △ABN 的内切圆半径.
【详细解答】
(1)设 P 点的坐标为 x,y ，由题意 x−22+y2x−8=12 ， (3 分) 化简可得 x216+y212=1 .
即点 P 的轨迹为椭圆,且方程为 x216+y212=1 (5 分)
(2)设过 M 的直线方程为 x=ty+2,Ax1,y1,Bx2,y2 ，
由 △AMN 与 △BMN 的面积之比为 35 ,即 AMBM=35 ,即 5y1+3y2=0 (2 分)
即 4y1+y2+y1−y2=0 (3 分)
联立过 M 的直线 x=ty+2 与椭圆 x216+y212=1 ,消去 x 可得 3t2+4y2+12ty−36=0 ,
可知 y1+y2=−12t3t2+4,y1y2=−363t2+4
y1−y2=y1+y22−4y1y2=−12t3t2+42−4−363t2+4=24t2+13t2+4 , (5 分)
由 4y1+y2+y1−y2=0 可得 4×−12t3t2+4+24t2+13t2+4=0 ,则 t2=13 ,
点 A 在第一象限,可知 t=33 ,即点 B 的坐标为 0,−23 , (6 分)
因此 △ABN 的面积 S=12⋅2c⋅y1−y2=2×48315=3235 (7 分)
又 △ABN 的周长为 4a=16 ， (8 分)
设 △ABN 的内切圆半径为 r ,且 S△=r2C△ ,可知 r=435 .
即 △ABN 的内切圆半径为 435 . (10 分)
18. (17 分)
为备战校园篮球赛，某校高三年级开展“三分球挑战”测试，测试规则如下:每位选手最多有 n 次投篮机会，在投篮过程中，一旦投中，立即结束测试，并公布投篮次数. 现有某位选手，单次投中的概率为 13 .
(1)若 n>4 ，求该选手恰好投篮 4 次的概率；
(2)设该选手结束测试时的投篮次数为 X ，求 X 的数学期望.
【详细解答】
(1)由题意，该选手恰好投篮 4 次的情况为前 3 次未投中，第 4 次投中的情况，
即选手恰好投篮 4 次的概率为 P=233⋅13=881⋯⋯⋯ (4 分)
(2)设该选手结束测试时的投篮次数为 X ，且最多投篮 n 次，
当 X≤n−1 时, PX=i=23i−1×13 (4 分)
当 X=n 时, PX=n=23n−1 (6 分)
EX=i=1n−1i⋅23i−1⋅13+n⋅23n−1 (8 分)
设 Tn−1=i=1n−1i⋅23i−1=1×230+2×231+…..+n−123n−2①
23Tn−1=1×231+2×232+……+n−123n−1 ②
①-② 可得 13Tn−1=1×230+1×231+……+1×23n−2−n−123n−1
13Tn−1=1−23n−11−23−n−123n−1=3−n+223n−1
EX=13Tn−1+n⋅23n−1=3−n+223n−1+n⋅23n−1=3−223n−1=3−323n
即 X 的数学期望为 3−323n (13 分)
19. (17 分)
已知 fx=asinx,gx=lnx ,其中 a∈R ( y=g−1x 与 y=gx 的图象关于直线 y=x 对称)
(1)若函数 Gx=f1−x+gx 在区间 0,1 上递增，求 a 的取值范围；
(2)证明: sin122+sin132+……+sin1n+12