2021届内蒙古赤峰市高三下学期3月模拟考试数学（理）试题（解析版）

2021届内蒙古赤峰市高三下学期3月模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合B，再利用集合的交集运算求解.

【详解】因为或，，

所以，

故选：D

2．若(，为虚数单位)，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由复数的运算、复数相等和复数的模，即可得出结果.

【详解】，，

，，

.

故选：C.

3．已知满足约束条作，则的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可最优解．

【详解】作出可行域，如图内部（含边界），

作直线，直线中，，表示直线的纵截距，直线向上平行，纵截距增大，减小．

由，得，即．

平移直线，当直线过点时，为最小值．

故选：C．

4．新春钢嘉量是由王费国师刘故等人设计能造的标准世器，它包括了禽()，合，升､斗､解这五个容量单位.每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径､深､底面积和容积，根据钻文不但可以直接测得各个容量单位的量值，而且可以通过对径，深各个部位的测量､得到精确的计算容.从豹推算出当时的标座尺度.现根据铭文计算，当时制造容器时所用的暨周率分割为，，，，比径一周三的古率已有所进步，这个数据的平均数与极差分别为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】将4个数据相加除以4即可得出平均数，最大数减最小数即为极差.

【详解】所给数据为：，，，，

所以这4个数据的平均数为，

极差为.

故选：B

5．已知圆的圆心是坐标原点，且被直线截得的弦长为，则圆的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题首先可以求出圆心到直线的距离，然后根据圆被直线截得的弦长为求出圆的半径，即可求出圆的方程.

【详解】因为圆心是坐标原点，直线方程为，

所以圆心到直线的距离为，

因为圆被直线截得的弦长为，弦长的一半为，

所以圆的半径，

则圆的方程为，

故选：B.

6．在中，内角的对边分别为，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据，利用正弦定理转化为，再结合，用b表示a，c，然后利用余弦定理求解.

【详解】因为，

由正弦定理得，

又因为，

解得，

由余弦定理得，

故选：C

7．已知数列的前项和为，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由结合得出，由等比数列的定义求出，进而由求和公式得出.

【详解】因为，所以

又，所以

因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列

所以，所以

故选：A

【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由等比数列的定义证明数列是等比数列，从而由求和公式得出.

8．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出，利用二倍角公式求出.

【详解】由，可得

又

故选：C.

【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：

(1)角的范围的判断；

(2)根据条件选择合适的公式进行计算．

9．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线在第一象限的交点为A，点在抛物线的准线上，且.若点A到直线的距离是，则直线的斜率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设出A、B坐标，表示出直线的方程及点A到直线的距离，从而求出，利用斜率公式求出斜率.

【详解】由题意可知，设，则

直线的方程为

即

因为点A到直线的距离是

所以

因为点A在抛物线上，

所以

所以

整理得

解得

所以

即，故直线的斜率为.

故选：A

【点睛】坐标法是解析几何的基本方法.

10．已知函数的图像如图所示，且的图像关于点对称，则的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先由函数图像求出函数，再根据函数关于对称求出，从而当时，取得最小值为.

【详解】由题可知

则

又

由的图像关于点对称，可得

当时，取得最小值为

故选：B

【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：

(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

11．已知函数是定义在R上的偶函数，对于任意，都有，且当时，，若方程在区间上有个不同的实数根，则实数的取值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的性质，结合时，，画出在区间上的图象，再根据方程在区间上有个不同的实数根，转化为函数与的图象在有个交点，利用数形结合法求解.

【详解】因为函数对于任意，都有，

所以函数的周期为4，由函数是定义在R上的偶函数，且当时，，

由此画出在区间上的图象如图所示，

因为在区间有个不同的实根，

所以函数与的图象在有个交点.

当时，如图所示：

由图象知：，解得，

当时，如图所示：

由图象知：，解得，

综上，实数的取值范围为.

故选：D.

12．在直角梯形中，，，，，，点是线段上的一点，为直线上的动点，若，，且，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，由向量的共线定理和向量的坐标表示，即可求出结果.

【详解】以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系

如图,易求得

由已知可得

设，则

由可得

解得

所以

由得，解得，此时

设，则

所以

当时，取得最大值

故选：D

【点睛】方法点睛：用坐标法来解决平面几何和向量的综合题是常用的方法.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.

二、填空题

13．的展开式中与的系数之比为___________

【答案】

【分析】先写出展开式的通项公式，然后分别考虑的次数为时对应的系数，由此求解出结果.

【详解】因为

令，则，所以的系数为，

令，则，所以的系数为，

所以与的系数之比为，

故答案为：.

14．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是个单位时，它的游速是___________.

【答案】

【分析】代入，利用对数的运算求解出此时的值.

【详解】当时，.

故答案为：.

15．已知圆锥的体积为.其底面半径和母线长的比为.该圆锥内半轻最大的球的表面积为___________

【答案】

【分析】设圆锥的底面半径为r，则母线长为3r,利用勾股定理表示高，进而利用体积公式求得底面半径为1，然后利用等面积法求得内切球的半径，进而利用球的表面积公式计算.

【详解】设圆锥的底面半径为r，则母线长为3r,高为,

体积,所以,故.

该圆锥内半轻最大的球为圆锥的内切球，设内切球的半径为，

则,

解得,其表面积.

故答案为：

【点睛】本题考查圆锥的体积和球的表面积公式及圆锥的内切球半径的求法，属基础题，关键是根据已知条件，利用圆锥的体积求得底面半径和高，然后利用等面积法建立关系求得内切球的半径.

16．已知双曲线的左､右焦点分别为，是双曲线一条渐近线上位于第二象限的一点，(为坐标原点)，若线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为___________.

【答案】

【分析】由向量的数量积以及双曲线中之间的关系，可得，再在中，结合双曲线的定义以及余弦定理，可建立之间的等量关系从而可求出离心率.

【详解】因为，

所以，

则，

因为双曲线的渐近线方程为，

则，

所以.

记，

则，

由，

解得，

由双曲线的定义可得，又，

所以，

由余弦定理可得，

则，

所以，

整理得，

解得，

所以双曲线的离心率为.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：解决本题，一是要将垂直转化为斜率之间的关系，二是运用双曲线的定义，三是要运用余弦定理.

三、解答题

17．已知公差的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列

（1）求数列的通项公式；

（2）求证数列的项和

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；

（2）运用等差数列的求和公式，可得，，再由裂项相消求和，可得所求和．

【详解】（1）公差的等差数列的前项和为，，，，成等比数列，

则，即解得

则；

（2）由等差数列求和公式得：，

，

故

．

【点睛】方法点睛：本题考查等差数列的通项公式和及裂项相消法求和，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误，考查学生的运算能力，属于中档题．

18．如图所示的几何体中，，，都是等腰直角三角形，，且，.

（1）求证：平面；

（2）若为线段的中点，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）利用等腰直角三角，证明，进一步证明，结合，由线面垂直的判定定理证明即可；

（2）建立合适的空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，利用待定系数法求出平面和平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可．

【详解】解：（1）证明：因为，是等腰直角三角形，，

所以，所以，所以，

又因为是等腰直角三角形，所以，所以，

因为，且，，平面，所以平面；

（2）解：如图，以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设

则

，

设平面的法向量为

由

得

令

得平面的一个法向量为

设平面的法向量

由

得

令

所以平面的法向量

，由图可知二面角为钝二面角，

所以二面角的余弦值为

【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

19．甲､乙､丙三人，为了研究某地区高中男生的体重(单位：)与身高(单位：)是否存在较好的线性关系，他们随机调查了6名高中男生身高和体重的数据，得到如下表格：

根据表中数据计算得到关于的线性回归方程对应的直线的斜率为.

（1）求关于的线性回归方程；

（2）从该地区大量高中男生中随机抽出位男生，他们身高(单位：)的数据绘制成如图的茎叶图.

①估计体重超过的频率，

【答案】（1）；（2）①；②分布列答案见解析，数学期望：.

【分析】（1）先求出，代入求出，得到回归方程；

（2）由回归方程求出体重超过同学身高约为177.7，根据茎叶图得到有3个，计算频率；由题意分析随机变量的可能取值，求出对应的概率，写出分布列，求出数学期望.

【详解】解：（1）依题意可知

故关于的线性回归方程为

①令得

故这位男生的体重有位体重超过

所以频率

②的可能取值为

则的分布列为

.

【点睛】求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：

（1）明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；

（2）利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；

（3）按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验.

20．已知椭圆的离心率为，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆右焦点的直线相互垂直，且分别交椭圆于和四点，求的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设椭圆的标准方程为，将点代入方程，由，结合即可求解.

（2）当直线的斜率为时，分别求出，，可得；当直线的斜率不存在时，求出；当直线的斜率存在且不为时，直线的方程可设为，可得直线的方程为，分别将直线与椭圆联立，利用弦长公式求出，，可得，令，构造函数即可求解.

【详解】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为

由，即

再由

可得①

将点代入椭圆方程，可得②

由①②可解得

故椭圆的方程为

（2）由（2）知，椭圆右焦点为，

设

当直线的斜率为时，，直线，可得

所以

当直线的斜率不存在时，直线的斜率为

当直线的斜率存在且不为时，直线的方程可设为，

则直线的方程为

整理得

恒成立，

则

而

联立直线与椭圆方程可得

则

令

令

当时，

则

所以，

综上，，

当时，的最小值为.

【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式，解题的关键是利用弦长公式以及韦达定理得出，考查了数学运算以及分类讨论的思想.

21．设函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，若的最小值为，证明：.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）先求函数的导数，然后结合定义域分类讨论；

（2）由，得，从而， 令，有，由不等式的可加性可获得证明.

【详解】（1）由题意函数的定义域为，

，

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增；

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知，

所以，

所以，

即，对于任意恒成立，当且仅当时，等号成立，

令，则，

整理得，

所以.

【点睛】关键点睛：含有参数的单调性讨论，一般要注意定义和找准临介值，证明和数列有关的不等式，一是要注意结合单调性和最值找到恰当的不等式，二是不等式可加性或可乘性的运用.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）求曲线上的动点到直线距离的最大值.

【答案】（1）：，：；（2）最大值为.

【分析】（1）由直线的参数方程(为参数)，消去参数即可得到直线的普通方程；由曲线的极坐标方程，转化为，然后利用求解.

由曲线的参数方程(为参数)，设曲线上的动点，利用点到直线的距离，结合三角函数的性质求解.

【详解】（1）直线的参数方程为(为参数)，

消去参数，得.

曲线的极坐标方程为，

,

即，

曲线的直角坐标方程为，

即.

曲线的参数方程为(为参数)，

设曲线上的动点，

则点到直线的距离，

曲线上的点到直线的距离的最大值为.

【点睛】思路点睛：本题第二问思路是根据曲线的参数方程，设，再利用点到直线的距离，转化为三角函数而得解.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式的解集为，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）分类讨论去绝对值，变成分段函数的形式，再解不等式即可；、

（2）不等式解集为恒成立，设，则，求的最小值即可

【详解】（1）由已知得

①；

②；

③；

∵，

∴不等式的解集为.

（2）不等式解集为恒成立，

设，则

①当时，；

②当时，；

③当时，.

∴.

∵恒成立，

由，得.

∴的取值范围是.

【点睛】此题考查了分类讨论法解绝对值不等式，考查了不等式恒成立问题，属于中档题.