2021届内蒙古赤峰市高三下学期3月模拟考试数学（文）试题（解析版）

2021届内蒙古赤峰市高三下学期3月模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合B，再利用集合的交集运算求解.

【详解】因为或，，

所以，

故选：D

2．已知复数满足(为虚数单位)，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的除法运算，准确计算，即可求解.

【详解】由题意，复数满足，可得.

故选：B.

3．已知满足约束条作，则的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可最优解．

【详解】作出可行域，如图内部（含边界），

作直线，直线中，，表示直线的纵截距，直线向上平行，纵截距增大，减小．

由，得，即．

平移直线，当直线过点时，为最小值．

故选：C．

4．新春钢嘉量是由王费国师刘故等人设计能造的标准世器，它包括了禽()，合，升､斗､解这五个容量单位.每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径､深､底面积和容积，根据钻文不但可以直接测得各个容量单位的量值，而且可以通过对径，深各个部位的测量､得到精确的计算容.从豹推算出当时的标座尺度.现根据铭文计算，当时制造容器时所用的暨周率分割为，，，，比径一周三的古率已有所进步，这个数据的平均数与极差分别为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】将4个数据相加除以4即可得出平均数，最大数减最小数即为极差.

【详解】所给数据为：，，，，

所以这4个数据的平均数为，

极差为.

故选：B

5．已知圆的圆心是坐标原点，且被直线截得的弦长为，则圆的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题首先可以求出圆心到直线的距离，然后根据圆被直线截得的弦长为求出圆的半径，即可求出圆的方程.

【详解】因为圆心是坐标原点，直线方程为，

所以圆心到直线的距离为，

因为圆被直线截得的弦长为，弦长的一半为，

所以圆的半径，

则圆的方程为，

故选：B.

6．已知的内角所对的边分别为满足且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.

【详解】由题，,

又，，，

故选：A.

7．已知递增等比数列的前项和为.，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知求得和公比，然后由前项和公式计算．

【详解】设公比为，则，因为是递增数列，解得，

所以，

故选：C．

8．已知，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用二倍角化简已知条件得，再利用同角之间的关系可求得结果.

【详解】由，得

利用二倍角公式得：

又，，

利用同角之间关系得：，解得：

故选：D

9．点为抛物线的焦点，点，点为物线上与直线不共线的一点，则周长的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题知焦点，准线方程为：，进而得，周长为：，再根据抛物线的定义得，进而根据三点共线即可得答案.

【详解】解：根据题意，焦点，准线方程为：，

过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为，且与抛物线交于点，

作出图像如图，故，

由抛物线的定义得：，

则周长为：，

当且仅当点在点处时，等号成立；

因为，，

所以周长的最小值为：.

故选：B.

【点睛】本题考查抛物线的定义，解题的关键在于根据抛物线的定义得，进而将问题进一步转化为抛物线上的点到定点的距离最值问题，考查运算求解能力，是中档题.

10．已知函数的图像如图所示，且的图像关于点对称，则的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先由函数图像求出函数，再根据函数关于对称求出，从而当时，取得最小值为.

【详解】由题可知

则

又

由的图像关于点对称，可得

当时，取得最小值为

故选：B

【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：

(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

11．已知函数，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数奇偶性的定义，得到函数为偶函数，且当时，为单调递增函数，根据，得到满足，即可求解.

【详解】当时，则，

可得，所以函数为偶函数，

由当时，为单调递增函数，

所以当时，函数为单调递减函数，

因为，则，整理得，解得

即不等式的解集为.

故选：C.

12．在直角梯形中，，，，，，点是线上的一点，若，，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】建立直角坐标系，写出每个点的坐标，利用向量的坐标运算即可得解.

【详解】以D为原点，DC为x轴，DA为y轴，建立直角坐标系，如图所示：

由图知，，，，

设，由，解得：

设，由，解得：

，

，解得

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题考查向量的坐标运算，解题的关键是建立直角坐标系，将已知条件具体化，再利用坐标的运算即可求解，考查学生的转化能力，与运算求解能力，属于一般题.

二、填空题

13．曲线在点处的切线方程为___________

【答案】

【分析】求出导函数，求得切线斜率，由点斜式得直线方程，整理即可．

【详解】由已知，时，，又，

切线方程为，即．

故答案为：．

14．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是个单位时，它的游速是___________.

【答案】

【分析】代入，利用对数的运算求解出此时的值.

【详解】当时，.

故答案为：.

15．已知圆锥的体积为.其底面半径和母线长的比为.该圆锥内半轻最大的球的表面积为___________

【答案】

【分析】设圆锥的底面半径为r，则母线长为3r,利用勾股定理表示高，进而利用体积公式求得底面半径为1，然后利用等面积法求得内切球的半径，进而利用球的表面积公式计算.

【详解】设圆锥的底面半径为r，则母线长为3r,高为,

体积,所以,故.

该圆锥内半轻最大的球为圆锥的内切球，设内切球的半径为，

则,

解得,其表面积.

故答案为：

【点睛】本题考查圆锥的体积和球的表面积公式及圆锥的内切球半径的求法，属基础题，关键是根据已知条件，利用圆锥的体积求得底面半径和高，然后利用等面积法建立关系求得内切球的半径.

16．过双曲线的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为交另一条渐近线于点，若，，求的离心率的取值范围为___________

【答案】

【分析】由题意得右焦点，设一条渐近线的方程为，则另一条渐近线方程为，由垂直可得直线FA的方程，分别与渐近线联立得到A，B的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合，即可求出离心率的取值范围.

【详解】设右焦点，设一条渐近线的方程为，另一条渐近线的方程为

由，可得的方程为：

联立方程，即

联立方程，即

又，

解得：

又，，即，

解得：，即

故答案为：

【点睛】方法点睛：本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．

三、解答题

17．已知公差的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列

（1）求数列的通项公式；

（2）求证数列的项和

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；

（2）运用等差数列的求和公式，可得，，再由裂项相消求和，可得所求和．

【详解】（1）公差的等差数列的前项和为，，，，成等比数列，

则，即解得

则；

（2）由等差数列求和公式得：，

，

故

．

【点睛】方法点睛：本题考查等差数列的通项公式和及裂项相消法求和，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误，考查学生的运算能力，属于中档题．

18．如图，三棱锥中，底面，底面是等边三角形，，为中点，

（1）试在棱上确定一点.使平面；

（2）证明：平面平面；

（3）求点到平面的距离

【答案】（1）中点；（2）证明见解析；（3）.

【分析】（1）取中点，由三角形中位线定理可得∥，然后由线面平行的判定定理可得平面；

（2）由底面，可得，再由等腰三角形三线合一得，再由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得结论；

（3）利用等体积法求解即可

【详解】解：（1）取中点，则平面

理由：分别为中点，

∴∥,

又平面，平面

平面

（2）证明：平面，平面

，为中点

又，平面

平面

平面

平面平面

（3）设点到平面的距离为

则

又，

即点到平面的距离为

19．某超市为了促销某品牌粮食，记录了每天销售员的人均日业绩，现随机推取天的数据，将样本数据分为，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图，

（1）随机选取一天，估计这一天该超市某品牌销售人员的人均日业绩不少于袋的概率

（2）用分层抽样的方法在样本数据､中抽取一个容量为的样本，再在这个样本中任取两天，求这两天数据都在中的概率

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）依题意，根据频率直方图求得该超市店的人均日业绩不少袋的频率分别为：，由此可求得所估计的概率；

（2）根据分层抽样求得在中有2天，记为.在中有天，记为，运用列举法列出所有事件，根据古典概率公式可求得答案.

【详解】解：（1）设事件A为“随机选取一天，这一天该超市的销售员人均日业绩不少于袋”，依题意，该超市店的人均日业绩不少袋的频率分别为：，

因为，所以估计为；

（2）由题知，样本数据，分别有天，天，

容量为的样本中，有2天，记为.有天，记为，

从中任取两天有，，，，共种情况，其中都在的有，，，共3种情况，

这两天的数据都在中的概率.

【点睛】方法点睛：在求古典概型的概率时，常运用列举法列出所有事件，再运用古典概型公式求得概率.

20．已知椭圆的离心率，其左，右集点为，过点的直线与椭圆交于两点､的周长为.

（1）求椭圆的标准方程：

（2）过右焦点的直线互相垂直，且分别交椭圆于和四点，求的最小值

【答案】（1）；（2）最小值为.

【分析】（1）利用椭圆离心率，的周长为，求出，即可得到椭圆的方程.

（2）分类讨论直线的斜率存在与否，当其中一条直线斜率为0.一条直线斜率不存在，可利用椭圆性质求出；当两条直线斜率均存在，设出直线方程，与椭圆联立，利用弦长公式求出，再利用二次函数的值域求法与不等式的性质求得结果.

【详解】（1）由椭圆的定义知，的周长为，

由，即，得

，

故椭圆的方程为：

（2）由（1）得，椭圆右焦点为，设，，，

①当直线的斜率为0，直线的斜率不存在时，

直线，此时；直线，此时；

②当直线的斜率为0，直线的斜率不存在时，；

③当直线，的斜率都存在，设直线的方程为，则直线的方程为

联立，整理得

恒成立，则

同理可得

则

令，则

当时，，则

所以

综上可知，，的最小值为

【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

21．设函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，若的最小值为，证明：.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）先求函数的导数，然后结合定义域分类讨论；

（2）由，得，从而， 令，有，由不等式的可加性可获得证明.

【详解】（1）由题意函数的定义域为，

，

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增；

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知，

所以，

所以，

即，对于任意恒成立，当且仅当时，等号成立，

令，则，

整理得，

所以.

【点睛】关键点睛：含有参数的单调性讨论，一般要注意定义和找准临介值，证明和数列有关的不等式，一是要注意结合单调性和最值找到恰当的不等式，二是不等式可加性或可乘性的运用.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）求曲线上的动点到直线距离的最大值.

【答案】（1）：，：；（2）最大值为.

【分析】（1）由直线的参数方程(为参数)，消去参数即可得到直线的普通方程；由曲线的极坐标方程，转化为，然后利用求解.

由曲线的参数方程(为参数)，设曲线上的动点，利用点到直线的距离，结合三角函数的性质求解.

【详解】（1）直线的参数方程为(为参数)，

消去参数，得.

曲线的极坐标方程为，

,

即，

曲线的直角坐标方程为，

即.

曲线的参数方程为(为参数)，

设曲线上的动点，

则点到直线的距离，

曲线上的点到直线的距离的最大值为.

【点睛】思路点睛：本题第二问思路是根据曲线的参数方程，设，再利用点到直线的距离，转化为三角函数而得解.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式的解集为，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）分类讨论去绝对值，变成分段函数的形式，再解不等式即可；、

（2）不等式解集为恒成立，设，则，求的最小值即可

【详解】（1）由已知得

①；

②；

③；

∵，

∴不等式的解集为.

（2）不等式解集为恒成立，

设，则

①当时，；

②当时，；

③当时，.

∴.

∵恒成立，

由，得.

∴的取值范围是.

【点睛】此题考查了分类讨论法解绝对值不等式，考查了不等式恒成立问题，属于中档题.