2025-2026学年高二数学上学期第一次月考（江苏专用)(快进度版)

这是一份2025-2026学年高二数学上学期第一次月考（江苏专用)(快进度版)，共23页。试卷主要包含了65等内容，欢迎下载使用。
（时间：120 分钟满分：150 分）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
测试范围：苏教版 2019 选择性必修第一册第 1 章~第 3 章 3.1。
难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
直线 x 
π
6
3y  2  0 的倾斜角为（ ）
π
3
2π 3
5π 6
两条直线 y  3 x ， 6x  4 y 13  0 之间的距离为（ ）
13
2
​
13
2
13
4
13
设 m, n  R ，若方程 x2  y2  mx  ny  2  0 表示关于直线 y  x 对称的圆，则 m 的取值范围为（ ）
(, 4)  (4, )
C. (4, )
(, 2) ∪ (2, )
D. (2, 2)
2
已知椭圆的 x
m
2
y
 1的焦距为 2，则 m 的值为（ ）
4
5
5
3
A. 5B.C. 3 或 5D.或
若圆 x2  y2  1上总存在两个点到点(a,1) 的距离为 2，则实数 a 的取值范围是（ ）
(2 2, 0)  (0, 2 2 )
(2 2, 2 2)
(1, 0) ∪ (0,1)
(1,1)
已知直线 mx  y  m  2  0 与圆(x  2)2  y2  25 交于 A，B 两点，则 AB 的最小值为（ ）
3
A. 4
B. 2
C. 4
D. 2
3
5
5
关于椭圆有如下结论：“过椭圆 x2  y2  1a  b  0 上一点 P  x , y  作该椭圆的切线，切线方程为
x0 x  y0 y  1
a2b200
x2y2x
a2b2
.”设椭圆C :
a2b2
 1a  b  0 的左焦点为 F ，右顶点为A ，过 F 且垂直于
轴的直线
与C 的一个交点为 M ，过 M 作椭圆的切线l ，若切线l 的斜率 k1 与直线 AM 的斜率 k2 满足 k1  2k2  0 ，则椭圆 C 的离心率为（ ）
A 1B.3C. 2
333
D.2
2
2
已知 P ，Q 是直线l : x  y 1  0 上两动点，且| PQ|，点 A(4, 6) ，B(0, 6) ，则| AP |  | PQ |  | QB |
的最小值为（ ）
2
2
2
10 B. 10 C. 10
D. 12
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
下列说法正确的是（ ）
不经过原点的直线都可以表示为 x  y  1
ab
若直线与两坐标轴交点分别为 A、B，且 AB 的中点为4,1 ，则直线 l 的方程为 x  y  1
82
过点1,1 且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程为 y  x 或 x  y  2
x
直线3x  2 y  4 的截距式方程为 4
3
x22
y  1

2
F , F
已知椭圆 M : y
4
 1 ，若 P 在椭圆 M 上， 12 是椭圆 M 的左、右焦点，则下列说法正确的有
3
（ ）
若 PF1
 PF2
，则PF1F2
 30∘B.
VF1PF2 面积的最大值为
3
PF1  PF2 的最大值为2
满足VF1PF2 是直角三角形的点 P 有4 个
已知圆O : x2  y2  4 ，则（ ）
圆O 与直线 mx  y  m 1  0 必有两个交点
2
圆O 上存在 4 个点到直线l : x  y  0 的距离都等于 1
圆O 与圆 x2  y2  6x  8 y  m  0 恰有三条公切线，则m  16
动点 P 在直线 x  y  4  0 上，过点 P 向圆O 引两条切线， A､B 为切点，则四边形 PAOB 面积最小
值为 2
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
已知直线l1 ： x  2my 1  0 与l2 ： 3m 1 x  my 1  0 垂直，则实数m  .
若直线 y  2x  a 和直线 y   1 x  b 将圆 x 12   y 12  1的周长四等分，则 a  b ．
2
x2y2FF
已知椭圆C :
 1 的左、右焦点分别为 1 ， 2 ， M 为C 上任意一点， N 为圆
43
E :  x  92   y  62  1 上任意一点，则 MN  MF1 的最小值为.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分）
已知直线l1 : m  2 x  my  8  0 与直线l2 : mx  y  4  0, m  R ．
若l1//l2 ，求 m 的值；
若点 P 1, m 在直线l2 上，直线l 过点 P，且在两坐标轴上的截距之和为 0，求直线l 的方程．
已知椭圆
22
xy
： （
）经过点 P 3,1 ，焦距为
，过点Q 2, 4 且斜率为 1 的直线
Ca2b21
ab04
2
l 与椭圆C 相交于 M ， N 两点.
求椭圆C 的方程；
求VPMN 的面积.
17．（15 分）
已知圆 M 过点 A3, 3 ，圆心 M 在直线2x  y  5  0 上，且直线 x  2 y  5  0 与圆 M 相切.
求圆 M 的方程；
过点 D 0, 2 的直线l 交圆 M 于 A, B 两点.若A 为线段 DB 的中点，求直线l 的方程.
如图，已知 A6, 6 3 , B 0, 0, C 12, 0 ，直线l : k  3  x  y  2k  0 k  R  .
若直线l 等分V ABC 的面积，求直线l 的一般式方程；
若 P 2, 2 3 ，李老师站在点 P 用激光笔照出一束光线，依次由 BC （反射点为 K ）､ AC （反射点为 I ）反射后，光斑落在 P 点，求入射光线 PK 的直线方程.
19．（17 分）
平面直角坐标系中，圆 M 经过点 A 3,1 ， B 0, 4 ， C 2, 2 .
求圆 M 的标准方程；
设?(0,1)，过点 D 作直线l1 ，交圆 M 于 PQ 两点，PQ 不在 y 轴上.
①过点 D 作与直线l1 垂直的直线l2 ，交圆 M 于 EF 两点，记四边形 EPFQ 的面积为 S，求 S 的最大值；
②设直线 OP，BQ 相交于点 N，试证明点 N 在定直线上，求出该直线方程.
2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷 01
（江苏专用）
（时间：120 分钟满分：150 分）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
测试范围：苏教版 2019 选择性必修第一册第 1 章~第 3 章 3.1。
难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
直线 x 
π
6
3y  2  0 的倾斜角为（ ）
π2π5π
C.D.
336
【答案】D
【解析】由 x 
3y  2  0 ，可得 y  
3 x  2 3 ，故直线的斜率为3 ，
333
设直线的倾斜角为θ，则tanθ 3 ，因θ[0, π) ，故θ 5π .
36
故选：D.
两条直线 y  3 x ， 6x  4 y 13  0 之间的距离为（ ）
2
13
​
13
2
13
4
13
【答案】B
【解析】两条直线的方程分别为： 3x  2 y  0 ， 3x  2 y  13  0 ，
2
两条直线之间的距离 d 
| 13 |
32  22
2
13 ，
2
故选：B.
设 m, n  R ，若方程 x2  y2  mx  ny  2  0 表示关于直线 y  x 对称的圆，则 m 的取值范围为（ ）
(, 4)  (4, )
C. (4, )
(, 2) ∪ (2, )
D. (2, 2)
【答案】B
【解析】由方程 x2  y2  mx  ny  2  0 表示圆，得 m2  n2  8  0 ，
圆 x2  y2  mx  ny  2  0 的圆心为( m ,  n ) ，又此圆关于直线 y  x 对称，则 m   n ，即 n  m ，
2222
因此 m2  m2  8  0 ，解得 m  2 或 m  2 ，所以 m 的取值范围为(, 2) ∪ (2, ) .
故选：B.
x2y2
已知椭圆的 1的焦距为 2，则 m 的值为（ ）
5
3
m4
5
A. 5B.
【答案】C
【解析】由题有2c  2 ，所以c  1.
C. 3 或 5D.或
2
当椭圆方程 x
m
2
y
 1的交点在 4
x 轴时，
m  4 且 m  4  1 ，解得m  5 ；
2
当椭圆方程 x
m
2
y
 1的交点在 4
y 轴时，
0  m  4 且4  m  1 ，解得 m  3 ；
 m 的值为 5 或 3.
故选 C.
若圆 x2  y2  1上总存在两个点到点(a,1) 的距离为 2，则实数 a 的取值范围是（ ）
(2 2, 0)  (0, 2 2 )
(2 2, 2 2)
(1, 0) ∪ (0,1)
(1,1)
【答案】A
【解析】到点(a,1) 的距离为 2 的点在圆( x  a)2  ( y  1)2  4 上，
所以问题等价于圆( x  a)2  ( y  1)2  4 上总存在两个点也在圆 x2  y2  1上，
a2 12
即两圆相交，故2 1 
 2 1，
2
解得2
 a  0 或0  a  2，
2
所以实数 a 的取值范围为(2 2, 0)  (0, 2 2 ) ，故选：A．
已知直线 mx  y  m  2  0 与圆(x  2)2  y2  25 交于 A，B 两点，则 AB 的最小值为（ ）
3
A. 4
B. 2
C. 4
D. 2
3
5
5
【答案】A
【解析】根据题意，圆(x  2)2  y2  25 ，圆心C 的坐标为(2, 0) ，半径r = 5 ，直线l : mx  y  m  2  0 ，即 m(x  1)  y  2  0 ，恒过定点 M (1, 2) ，
又由圆C 的方程为(x  2)2  y2  25 ，则点 M (1, 2) 在圆内，当直线l 与CM 垂直时，弦| AB | 最小，
4  9
13
3
此时| CM |，
25  13
则| AB | 的最小值为2
故选：A
 4；
关于椭圆有如下结论：“过椭圆 x2  y2  1a  b  0 上一点 P  x , y
 作该椭圆的切线，切线方程为
x0 x  y0 y  1
a2b200
x2y2x
a2b2
.”设椭圆C :
a2b2
 1a  b  0 的左焦点为 F ，右顶点为A ，过 F 且垂直于
轴的直线
与C 的一个交点为 M ，过 M 作椭圆的切线l ，若切线l 的斜率 k1 与直线 AM 的斜率 k2 满足 k1  2k2  0 ，则椭圆 C 的离心率为（ ）
A 1B.3C. 2
333
D.2
2
【答案】C
【解析】依题意， A(a, 0), F (c, 0) ，由 x  c 代入椭圆方程得 y   b2 ，不妨设 M (c, b2 ) ，
则切线
b
2
y
cx
，即 y  ex  a ，切线l 的斜率 k
aa
 e ，
l : a2
 a  11
b2
b2
直线 AM 的斜率a
a2  c2
，则e  2(e 1)  0 ，所以e  2 .
k2  c  a   a(a  c)  e 13
故选：C
2
已知 P ，Q 是直线l : x  y 1  0 上两动点，且| PQ|，点 A(4, 6) ，B(0, 6) ，则| AP |  | PQ |  | QB |
的最小值为（ ）
2
2
2
10 B. 10 C. 10
D. 12
【答案】A
2
( x  4)2  ( x  5)2
( x  1)2  ( x  4)2
【解析】不妨设点 P(x, x 1) 在点Q 的左边，因直线l : x  y 1  0 的倾斜角为45∘ ，且| PQ|，则点Q 的坐标为( x  1, x  2) ，
2
则| AP |  | PQ |  | QB |
，
( x  4)2  ( x  5)2
记d 
，
( x  1)2  ( x  4)2
则可将 d 理解为点 M (x, x) 到 D 4, 5, C 1, 4 的距离之和，
即点 D 4, 5, C 1, 4 到直线 y  x 的距离之和，依题即需求距离之和的最小值.
如图，作出点C 1, 4 关于直线 y  x 的对称点C ,则C4, 1 ，
连接 DC ，交直线 y  x 于点 N ,则| CN |  | DN |即 d 的最小值，
且 CN
DN
 DN
CN  DC 
 10 ,
4  42  1 52
2
故| AP |  | PQ |  | QB |的最小值为10 .
故选：A.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
下列说法正确的是（ ）
不经过原点的直线都可以表示为 x  y  1
ab
若直线与两坐标轴交点分别为 A、B，且 AB 的中点为4,1 ，则直线 l 的方程为 x  y  1
82
过点1,1 且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程为 y  x 或 x  y  2
x
直线3x  2 y  4 的截距式方程为 4
3
y  1

2
【答案】BCD
【解析】对于 A，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故 A 选项错；
对于 B，AB 的中点为4,1 ，则有 A8, 0, B 0, 2 ，则直线 l 的方程为 x  y  1，故 B 选项对；
82
对于 C，直线过点1,1 且过原点时，直线为 y  x ，直线过点1,1 且不过原点时，直线为 x  y  2 ，
故 C 选项对；
x  y  1
对于 D，方程3x  2 y  4 可化为 42
3
，为直线的截距式方程，故 D 选项对．
故选：BCD.
已知椭圆 M :
x2  2
y
4
 1 ，若 P 在椭圆 M 上， F1 , F2 是椭圆 M 的左、右焦点，则下列说法正确的有
（ ）
A. 若 PF1
 PF2
，则PF1F2
 30∘B.
VF1PF2 面积的最大值为
3
3
C. PF1  PF2 的最大值为2
D. 满足VF1PF2 是直角三角形的点 P 有4 个
【答案】ABC
3
【解析】由椭圆方程知： a  2 ， b  1， c ；
对于 A，若 PF1  PF2 ，Q PF1  PF2  2a ， PF1  PF2  a  2 ，
3
3
PF 2  F F 2  PF 212
4  2 3
1 2
又 F F
 2c  2
，cs PF F
 11 22 ，
1 2
2 PF1
 F1F22
1 2
1 2
又0∘  PF F  180∘ ，PF F  30∘ ，A 正确；
3
对于 B，当 P 为短轴端点时， VF PF 面积最大，最大值为 1  2c  b  bc ，B 正确；
12
对于 C，Q PF2 a  c, a  c，即 PF2  2 
3, 2 
2
3 ，

3

 PF1  PF2  2a  2 PF2  4  2 PF2  2 3, 2 3 ，即 PF1  PF2 的最大值为2，C 正确；
对于 D，当 PF  F F 或 PF  F F ，即 P   3, 1  或  3,  1  或 3, 1  或 3,  1  时，VF PF
11 2
21 2
2    12
2 2 2 
为直角三角形；
当 PF1  PF2 时，设 P  x0 , y0  ，则 PF  PF  x2  3  y2  0 ，
1200

x  2 6x  2 6x   2 6x   2 6
 2  2 x2
03
 03 0
3 03
0
x0y03 ，又 0  y2  1， 或或或，

4 y 3
 03
 y  3

 03
 y 3

 03
 y  3

 03
即 P  2 6 ,3  或 2 6 , 3  或  2 6 ,3  或  2 6 , 3  ；
33 33 33 33 

综上所述：满足VF1PF2 是直角三角形的点 P 有8 个，D 错误.故选：ABC.
已知圆O : x2  y2  4 ，则（ ）
圆O 与直线 mx  y  m 1  0 必有两个交点
2
圆O 上存在 4 个点到直线l : x  y  0 的距离都等于 1
圆O 与圆 x2  y2  6x  8 y  m  0 恰有三条公切线，则m  16
动点 P 在直线 x  y  4  0 上，过点 P 向圆O 引两条切线， A､B 为切点，则四边形 PAOB 面积最小
值为 2
【答案】AC
 y 1  0
【解析】对于 A，将直线 mx  y  m 1  0 整理得 x 1 m  y 1  0 ，由x 1  0 ，

知 x  1, y  1 ，所以直线 mx  y  m 1  0 过定点1,1 ，因为12 12  4 ，
所以该定点在圆内，故 A 正确；
2
对于 B，圆 x2  y2  4 的圆心到直线l : x  y  0 的距离为
2
2
 1，
所以过圆心且与直线l 平行的直线与圆相交有两个点到直线l 的距离为 1，与直线l 平行且与圆相切，并且与直线l 在圆心同侧的直线到l 的距离为 1，所以只有三个点满足题意，故 B 错误；
对于 C，将圆 x2  y2  6x  8 y  m  0 化成标准形式为(x  3)2  ( y  4)2  25  m ，
(0  3)2  (0  4)2
25  m
因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以解得m  16 ，故 C 正确；

 2 ，
2
对于 D，连接OP, OA, OB ，因为 A, B 为切点，所以OA  PA, OB  PB ，所以 SPAOB  2SV POA  2SV POB ，且当 PO 最小时， S△POA 最小，
12 12
0  0  4
所以当 PO 与直线垂直时， POmin  2
，又因为半径为 2，
PO2  OA2
所以 PA 
所以 SV POAmin
 2 ，
 1 PA AO  2, S
2
PAOBmin
 2S
V POAmin
 4 ，故 D 错误.
故选：AC.
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
已知直线l1 ： x  2my 1  0 与l2 ： 3m 1 x  my 1  0 垂直，则实数m  .
1
【答案】1 或
2
【解析】由题意3m 1 2m  (m)  0 ，解得 m  1或 m  1 ，
2
1
故答案为：1 或
2
若直线 y  2x  a 和直线 y   1 x  b 将圆 x 12   y 12  1的周长四等分，则 a  b ．
2
1
【答案】
2
## 0.5
【解析】由圆 x 12   y 12  1，可知圆心为1,1 ，
又直线 y  2x  a 和直线 y   1 x  b 互相垂直，
2
且两直线将圆 x 12   y 12  1的周长四等分，则圆心1,1 在两条直线上，
1  2  a

a  1

即1
，解得3 ，


1   2  b
所以 a  b  1 ，
2
1
b  2
故答案为： .
2
x2y2FF
已知椭圆C :
 1 的左、右焦点分别为 1 ， 2 ， M 为C 上任意一点， N 为圆
43
E :  x  92   y  62  1 上任意一点，则 MN
14．【答案】5
【解析】
 MF1
的最小值为.
2
由椭圆C : x
2
y
 1 可知椭圆的实轴长2a  4 ，?1(−1,0)，?2(1,0)，
43
圆 E :  x  92   y  62  1 的圆心 E 9, 6 ，半径 r  1，
由已知圆上任意一点 N 到 M 得距离 MN  ME  r ，
所以 MN  MF1  ME  r  MF1 ，
又根据椭圆定义 MF1  MF2  2a  4 ，
则 MN
 MF1
 ME  r  2a  MF2
  ME  MF
 5 
EF2
 5 
 5  5 ，
9 12  6  02
2
当且仅当 M ， N 都在线段 EF2 上时，等号成立，故答案为： 5 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
已知直线l1 : m  2 x  my  8  0 与直线l2 : mx  y  4  0, m  R ．
若l1//l2 ，求 m 的值；
若点 P 1, m 在直线l2 上，直线l 过点 P，且在两坐标轴上的截距之和为 0，求直线l 的方程．
15．（13 分）
【解析】（1）因为l //l ，所以 m  0 ，且 m  2  m  8 ，
12m
14
由 m  2  m ，得 m2  m  2  0 ，解得 m  1或 m  2 （舍去）
m1
所以 m  1.
（2）因为点 P 1, m 在直线l2 上，
所以 m  m  4  0 ，得 m  2 ，所以点 P 的坐标为1, 2 ，所以设直线l 的方程为 y  2  k  x 1 （ k  0 ），
令 x  0 ，则 y  2  k ，令 y  0 ，则 x  1 2 ，
k
因为直线l 在两坐标轴上的截距之和为 0，
所以1 2  2  k  0 ，解得 k  1 或 k  2 ，
k
所以直线l 的方程为 x  y 1  0 或2x  y  0 .
16．（15 分）
xy
22
已知椭圆 ： （
）经过点 P 3,1 ，焦距为
，过点Q 2, 4 且斜率为 1 的直线
2
Ca2b21ab04
l 与椭圆C 相交于 M ， N 两点.
求椭圆C 的方程；
求VPMN 的面积.
16．（15 分）
2
2
【解析】（1）因为焦距为2c  4，即c  2，可得 a2  b2  8 ，
又因为点 P 3,1 在椭圆
x2y291


：上，即
 1 ，
C
a2  b2  8

a2
a2
b21
 12

a2b2

联立方程 9  1  1
 a2b2
，解得，
 4
b2
2
所以椭圆C 的方程为 x
2
y
 1.
124
（2）由题意可知：直线l : y -
4 = x -
2 ，即 x  y  2  0 ，
x  y  2  0

x  0
x  3
联立方程 x2  y2 ，解得 y  2 或 y  1 ，
2
1241
32  32
不妨设 M 0, 2, N 3, 1 ，则 MN 
2
3 1 2
且点 P 3,1 到直线l 的距离 d 
 3，
 2 2 ，
2
所以VPMN 的面积 S 1 d  MN  1  2 2  3 6 .
V PMN22
17．（15 分）
已知圆 M 过点 A3, 3 ，圆心 M 在直线2x  y  5  0 上，且直线 x  2 y  5  0 与圆 M 相切.
求圆 M 的方程；
过点 D 0, 2 的直线l 交圆 M 于 A, B 两点.若A 为线段 DB 的中点，求直线l 的方程.
17．（15 分）
【解析】（1）设圆 M 的方程为(x  a)2  ( y  b)2  r2 ，
因为圆 M 过点 A3, 3 ，所以(3  a)2  (3  b)2  r 2① ，
5
a  2b  5
又因为圆心 M 在直线2x  y  5  0 上，所以2a  b  5  0 ②，直线 x  2 y  5  0 与圆 M 相切，得到 r ③，
5
由①②③解得： a  2, b  1, r 因此圆 M 的方程为(x  2)2  ( y 1)2  5.
（2）设 A x, y  ，因为 A 为线段 BD的中点，所以 B 2x, 2 y  2 ，
24
  x  22   y 12  5
x  0
 x  13

因为 A, B 在圆 M 上，所以2
2x  2
2 y 1 2  5 ，解得 y  0 或16


 y  
13
当 A0, 0 时，由 D 0, 2 可知直线l 的方程为 x  0 ；
2  16
当 A 24 ,  16  时，由 D 0, 2 可得斜率 k 
13  5 ，

 1313 

 2412
13
故直线l 的方程为 y  5
12
x  2 ，即5x 12 y  24  0 .
综上，直线l 的方程为 x  0 或5x 12 y  24  0 .
18．（17 分）
如图，已知 A6, 6 3 , B 0, 0, C 12, 0 ，直线l : k 
3  x  y  2k  0 k  R  .
若直线l 等分V ABC 的面积，求直线l 的一般式方程；
若 P 2, 2 3 ，李老师站在点 P 用激光笔照出一束光线，依次由 BC （反射点为 K ）､ AC （反射点为 I ）反射后，光斑落在 P 点，求入射光线 PK 的直线方程.
18．（17 分）
【解析】（1）因为 A6, 6 3 , B 0, 0, C 12, 0 ，所以 AB  AC  BC | 12 ，由题意得直线 AB 方程
为 y 3x ，
直线l : (k  3)x  y  2k  0 可化为 k (x  2)  ( 3x  y)  0 ，
 x  2  0
令

，解得
x  2
3
，故直线l 经过的定点坐标为(2, 2 3) ，
 3x  y  0 y  2
(6  2)2  (6 3  2 3)2
易知直线l 经过的定点 M 2, 2 3 在直线 AB 上，所以 AM 
 8 ，
设直线l 与 AC 交于点 D ，所以S
V AMD
 1 S
2
V ABC ，
1
2
即AM AD sin A  1  1  AB AC sin A ，所以| AD | 3 | AC | 9 ，
设 D  x , y
22
 ，所以–––→  3 –––→ ，即x
 6, y
4
 6 3   3 6, 6 3  ，
00AD4 AC
004
所以 x
 21 , y
 3 3 ，所以 D  21 , 3 3  ，
0202
 22 

3
将 D 点坐标代入直线l 的方程，解得 k   18 3 ，所以直线l 的方程为 3x 17 y  36
17
（2）设 P 关于 BC 的对称点 P1 2, 2 3 ，关于 AC 的对称点 P2 m, n ，
 0 ；
直线 AC 的方程为 y  0  x 12 ，即 y  
3  x 12 ，
3
6 06 12



所以
n  2 3  

m  2
3   1
，
 n  2 3   3  m  2 12 
22

3
解得 m  14, n  6，所以 P2 14, 6 3 ，
由题意得 P , K , I , P 四点共线， k 2 3 ，由对称性得 k  2 3 ，
12P1P23
PK3
所以入射光线 PK 的直线方程为 y  2
  2 3  x  2 ，即2x 
3
3
3y 10  0 .
19．（17 分）
平面直角坐标系中，圆 M 经过点 A
3,1 ， B 0, 4 ， C 2, 2 .
求圆 M 的标准方程；
设?(0,1)，过点 D 作直线l1 ，交圆 M 于 PQ 两点，PQ 不在 y 轴上.
①过点 D 作与直线l1 垂直的直线l2 ，交圆 M 于 EF 两点，记四边形 EPFQ 的面积为 S，求 S 的最大值；
②设直线 OP，BQ 相交于点 N，试证明点 N 在定直线上，求出该直线方程.
19．（17 分）
【解析】（1）设圆 M 的方程为 x  a2   y  b2  r 2 ，


 a2  1 b2  r 2

a  0
3


则0  a2  4  b2  r 2
222
，解得b  2 ，
r 2  4
2  a

 2  b  r
所以圆 M 的标准方程为 x2   y  22  4 ；
（2）设直线l1 的方程为 y  kx 1，即 kx  y  1  0 ，
k 2 1
2 1
k 2 1
则圆心(0,2)到直线l 的距离 d 1，
11
4 
1
k 2 1
4k 2  3
k 2 1
所以 PQ  2 2，
①若 k  0 ，则直线l2 斜率不存在，
3
则 PQ  2 3 ， EF  4 ，则 S  1 EF  PQ  4，
2
若 k  0 ，则直线l 得方程为 y   1 x 1，即 x  ky  k  0 ，
2k
k 2 1
k 2
4 
k 2 1
3k 2  4
k 2 1
k
则圆心(0,2)到直线l1 的距离d2 ，
所以 EF
 2
 2，
1
2
4k 2  33k 2  4
k 2 12
12 k 2 12  k 2
k 2 12
12 
1
k 2  1  2
k 2
则 S EF  PQ  2 2
12 
k 2 12
k 2
 2
 2
 2 7
12 
1
2 k 2  1  2
k 2
，
当且仅当 k 2  1
k 2
，即 k  1 时，取等号，
49
综上所述，因为7  4 3 ，所以 S 的最大值为 7；
②设 P  x1, y1 , Q  x2 , y2  ，
x2   y  22  4
联立
 y  kx 1
，消 y 得k 2 1 x2  2kx  3  0 ，
则 x  x 2k , x x 3 ，
12k 2 11 2
k 2 1
直线OP 的方程为 y  y1 x ，
x1
直线 BQ 的方程为 y  y2  4 x  4 ，
x2
 y  y1 x
x1
x  4x1 x2
联立
y  4
，解得
3x  x ，
 y  2 x  412

则 y  y1 
x2
4x1 x2
 4 y1 x2
 4 kx1 1 x2
 4kx1 x2  4x2  6x1  2x2  2 ，
x1 3x1  x2
3x1  x2
3x1  x2
3x1  x2
3x1  x2
所以 N 
4x1 x2
, 2  ，
 3x  x
12
所以点 N 在定直线 y=−2 上.