山西省2025-2026学年高一上学期一月月考数学试题（原卷+解析）

这是一份山西省2025-2026学年高一上学期一月月考数学试题（原卷+解析），共19页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， “”是“”的， 已知函数的图象关于点对称，则， 下列结论正确的是， 下列函数中，值域不是是等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第五章
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若函数，则（ ）
A. 0B. C. 5D.
3. 若某扇形的圆心角为，半径为20，则该扇形的弧长为（ ）
A. 6B. C. 8D.
4. 函数零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A. 的最小值为1B. 的最大值为
C. 最大值为1D. 的最小值为
7. 已知函数在上的大致图象如图所示，则的解析式可能为（ ）

A. B.
C. D.
8. 若函数的图象存在对称轴，则常数（ ）
A. 2B. C. 4D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 是幂函数
B. 若角的终边经过点，则
C. “，”的否定是“，”
D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
10. 下列函数中，值域不是是（ ）
A. B.
C. D.
11. 设函数，，若有四个零点，，，（），则（ ）
A. 的最小值为B.
C. D. m的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，且，则的最小正周期为________，________.
13. 已知某企业产品年投入成本万元时获得的纯利润为万元，且与成正比，当年投入成本为万元时，产品获得的纯利润为万元，当年投入成本为万元时，产品获得的纯利润为________万元.
14. 已知定义在上的函数满足对任意实数x，y，均有，且，则______，的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）试问是第几象限角？说明你的理由.
（2）若，，求的值.
16. （1）化简：.
（2）计算：.
17. （1）若，求的值；
（2）若，，求，的值.
18. 已知函数的最小正周期为，且在时取得最大值6．
（1）求的解析式；
（2）求单调递增区间；
（3）已知函数，，恒成立，求的取值范围．
19. 如图，点，为二次函数的图象与x轴的交点，点A为图象的顶点，的面积为1.

（1）求解析式.
（2）设偶函数和奇函数的定义域均为，且.
（i）求与的解析式；
（ii）若函数在上的最大值为0，求k的值.
（3）设函数，是否存在，使得在上单调递增，且在上的值域为?若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.
山西省2025-2026学年高一上学期一月月考数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第五章
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求集合，再求，计算即可
【详解】，
，
.
故选：A
2. 若函数，则（ ）
A. 0B. C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】赋值法计算求解函数值.
【详解】.
故选：C.
3. 若某扇形的圆心角为，半径为20，则该扇形的弧长为（ ）
A. 6B. C. 8D.
【答案】B
【解析】
【分析】由扇形的弧长公式即可求解.
【详解】因为扇形圆心角为，半径为20，
该扇形的弧长为.
故选：B
4. 函数零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断的单调性，再根据零点存在定理，计算即可.
【详解】，定义域为，
且，有：
，，
又是增函数，即，，
即在定义域上是增函数，
，满足，
的零点所在区间为.
故选：B
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先由指数函数的单调性得，再由，进而可得结果.
【详解】因为根据指数函数的单调性得，且，
所以，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
6. 已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A. 的最小值为1B. 的最大值为
C. 的最大值为1D. 的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦型函数的对称性，计算即可.
【详解】函数的图象关于点对称，
，得：，
解得：，
，
，
当时取最小值，的最小值为，无最大值.
故选：D
7. 已知函数在上的大致图象如图所示，则的解析式可能为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先从函数的奇偶性入手，图像关于原点对称，说明 是奇函数；再结合特殊点的函数值符号（如 处的符号）和零点情况来筛选各选项.
【详解】由图像可知 是奇函数，
选项A中， ，是奇函数， 时，，，而图像在 处并非零点，A错误；
选项B中， ，为偶函数，B错误；
选项C中， ，是奇函数，
时 ，，与图像零点一致， 时 ，，与图像趋势相符， C正确；
选项D中， ，是奇函数，但是，而图像在 处并非零点，D错误.
故选：C
8. 若函数的图象存在对称轴，则常数（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可得的定义域关于对称，由题意并结合定义域的对称性，可得的对称轴为，所以有，整理后即可求得的值.
【详解】由，得，所以的定义域关于对称，
因为存在对称轴，则有的图象关于对称，所以，
则，
即对恒成立，
则，即，解得.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 是幂函数
B. 若角的终边经过点，则
C. “，”的否定是“，”
D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由幂函数的概念可判断A，由三角函数的定义可判断B，由存在量词命题的否定结构可判断C，由抽象函数定义域的求解可判断D.
【详解】不是幂函数，A错误.
若的终边经过点，则，B正确.
“，”的否定是“，”，C正确.
由，得，函数的定义域为，D正确.
故选：BCD
10. 下列函数中，值域不是的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由即可判断，对于B，由，再结合对数函数单调性即可判断，对于C，通过分离常数，即可判断，对于D，通过余弦二倍角公式，结合二次函数性质即可判断.
【详解】对于A，，则的值域为.A符合题意，
对于B，，则，
则的值域为. B符合题意，
对于C，，
因为，所以，则的值域为. C不符合题意，
对于D，，
因为，所以，
即，则的值域为.D符合题意.
故选：ABD
11. 设函数，，若有四个零点，，，（），则（ ）
A. 的最小值为B.
C. D. m的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】做出函数的图象，数形结合，可判断各选项是否正确.
【详解】作出函数的草图如下：
结合函数图象，可得：
当时，方程只有1解；
当或时，方程有2解；
当时，方程有3解；
当时，方程有4解.
所以有四个零点，则，故D正确；
因为有四个零点，，，（），由图可知：
当时，，，因为，所以，因为，所以，
当时，，所以的最小值为，故A正确；
当时，，，所以，故B错误；
因为，
所以，故C正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，且，则的最小正周期为________，________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由周期公式可解第一空，由正切二倍角公式可解第二空.
【详解】.
因为，所以.
故答案为：；
13. 已知某企业产品年投入成本万元时获得的纯利润为万元，且与成正比，当年投入成本为万元时，产品获得的纯利润为万元，当年投入成本为万元时，产品获得的纯利润为________万元.
【答案】
【解析】
【分析】 由与成正比，得：，计算即可.
【详解】与成正比，可设，则，
当年投入成本为万元时，产品获得的纯利润为万元，
，解得，，
时，则，
当年投入成本为万元时，产品获得的纯利润为万元.
故答案为：
14. 已知定义在上的函数满足对任意实数x，y，均有，且，则______，的最大值为______.
【答案】 ①. 3 ②. ##
【解析】
【分析】利用赋值法令，求得，则，利用基本不等式即可求其最大值为.
【详解】令，得，则，
又，解得，所以，即，
则，
当时，，
当时，，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.
故答案为：3；
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）试问是第几象限角？说明你的理由.
（2）若，，求的值.
【答案】（1）第四象限，理由见解析；（2）或或
【解析】
【分析】（1）由终边相同的角的概念即可判断；（2）由特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】（1）是第四象限角.
理由如下：因为，
且是第四象限角，所以是第四象限角.
（2）因为，所以，
又，所以或或.
16. （1）化简：.
（2）计算：.
【答案】（1）；（2）5
【解析】
【分析】（1）利用指数运算法则，结合根式与分数指数幂的互化关系计算得解.
（2）利用对数运算法则，结合换底公式计算即得.
【详解】（1）原式.
（2）原式
.
17. （1）若，求的值；
（2）若，，求，的值.
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）由诱导公式结合弦化切即可求解；
（2）由正弦二倍角公式和两角差的余弦公式即可求解.
【详解】（1）因为，
所以
.
（2）因为，，
所以，
所以，
.
18. 已知函数的最小正周期为，且在时取得最大值6．
（1）求解析式；
（2）求的单调递增区间；
（3）已知函数，，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的性质得，，再结合参数范围即可求得答案；
（2）直接解不等式即可得答案；
（3）根据题意将问题转化为，再结合三角函数的性质求对应函数的在对应区间上的最值即可求得答案.
【小问1详解】
解：因为函数的最小正周期为，所以，解得，
因为在时取得最大值6，，
所以，解得
因为，所以，
所以的解析式为
【小问2详解】
解：因为正弦函数单调递增区间为，
故令，解得，
所以的单调递增区间为
【小问3详解】
解：因为，恒成立，
所以，
当，，，即，
所以，即，
另一方面，
令，当时，，
则函数，，
由于函数的对称轴为，
所以，当时，，此时等价于，解得，故；
当时，，此时等价于，解得，故；
当时，，此时等价于，解得，故；
综上，的取值范围
19. 如图，点，为二次函数的图象与x轴的交点，点A为图象的顶点，的面积为1.

（1）求的解析式.
（2）设偶函数和奇函数的定义域均为，且.
（i）求与的解析式；
（ii）若函数在上的最大值为0，求k的值.
（3）设函数，是否存在，使得在上单调递增，且在上的值域为?若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）（i），；（ii）或.
（3）存在，，.
【解析】
【分析】（1）设， ，由的面积为1，得，
所以.
（2）（i）由，结合是偶函数，是奇函数，化简得，.（ii）利用二次函数的性质分 和 两种情况即可求解.
（3）先求得的表达式，得到在上单调递减，在上单调递增.
因在上单调递增，所以，且， 所以，.
【小问1详解】
（1）设，其中，设，
因为的面积为1，所以，得，
将A的坐标代入，得，解得，
所以.
【小问2详解】
（i）由①，得②，
因为是偶函数，是奇函数，所以由②得③，
由①和③得，，.
（ii），.
，
.
当时，，解得（舍去）或；
当时，，解得（舍去）或.
故k的值为或.
【小问3详解】
依题意得
则在上单调递减，在上单调递增.
因为在上单调递增，所以，
则，即解得
故，.