山西省太原市2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份山西省太原市2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
5．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
7．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．设是定义在区间上的函数，如果满足条件，，都有，则称函数是区间上的凸函数.下列函数不是凸函数的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是偶函数
C．在上单调递增D．不等式的解集为
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．当且时，
C．当时，D．当时，
11．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．当时，
C．当时，D．不等式的解集是
三、填空题
12．函数且的图象必过定点 ．
13．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围 .
14．将基本不等式推广可得正确结论，当且仅当时，等号成立.利用此结论解决问题：已知，，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．已知全集，，，.
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围.
16．计算下列各式
(1)；
(2)；
(3)已知，求的值.
17．某蛋糕店销售一种蛋糕.蛋糕店每日的固定成本为900元，每个蛋糕的制作成本是20元.该种蛋糕的日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）满足.假设每日生产的蛋糕全部售完.
(1)将每日利润表示为销售单价的函数；
(2)当销售单价为多少元时，蛋糕店每日利润最大？其最大利润是多少元？
(3)当销售单价为多少元时，蛋糕店每个蛋糕的平均利润最大？并求出其最大值.
18．已知函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)根据定义证明：是增函数；
(3)解不等式：.
19．已知定义域为的函数满足：①对于任意的，都有；②对于任意的，，都有；③当时，都有；④.
(1)求的值；
(2)证明：是减函数；
(3)解不等式：.
参考答案
1．A
【详解】由.
故选：A
2．D
【详解】当时，，A错，
当时，无意义，B错，
当时，，C错，
由，D对.
故选：D
3．B
【详解】或，
集合是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
4．C
【详解】由解析式知，可得且，故定义域为.
故选：C
5．B
【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为，.
故选：B
6．C
【详解】由偶函数的对称性，且在上单调递减，则在上单调递增，
又，则等价于或，
所以或，故解集为.
故选：C
7．D
【详解】当，则，在上显然不成立，
当，则或，得或，
综上，实数的取值范围是.
故选：D
8．A
【详解】对于且，，
而，
当且仅当时取等号，故，A不是；
对于，
，当且仅当时取等号，B是，
对于，
，当且仅当时取等号，C是；
对于，
，当且仅当时取等号，D是.
故选：A
9．BD
【详解】令，则，得，故，则，A错；
所以函数的定义域为， 且为偶函数，B对；
在上单调递增，在上单调递减，C错；
由或，故的解集为，D对.
故选：BD
10．BC
【详解】当，，A错，
当且，，B对，
当，，C对，
当，，D错.
故选：BC
11．AC
【详解】由为的奇函数，则，A对，
令，则，所以，B错，
由，则，且，C对，
当，则，则，
当，则，则，
，
依次类推，
当，，有，
当，，有，
所以且，显然，
当，，若，
而，显然在上恒成立，
当，，若，
当时，，则，显然不等式恒成立，
当时，，则，此时不等式解集为，
当且，时，无解，
综上，的解集为，D错.
故选：AC
12．
【详解】函数且，令，解得，
所以，
所以函数且的图象必过定点.
故答案为：
13．
【详解】对于的图象开口向上，且对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
对于在R上单调递减，而在R上为减函数，
综上，，可得.
故答案为：
14．
【详解】若，则恒成立，
令，则可化为，
由基本不等式得，
当且仅当时取等，此时，
则，由基本不等式得，
当且仅当时取等，此时解得（负根舍去），
代入中，可得，符合题意，故两次取等条件均满足，
即，可得，解得.
故答案为：
15．(1)或；
(2).
【详解】（1）或，，
或或；
（2）由（1）得，
，分、两种情况如下，
或，
，实数的取值范围为.
16．(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）；
（2）；
（3），
，则，
.
17．(1)，
(2)当销售单价为60元时，每日的利润最大，最大利润是700元
(3)，最大值20
【详解】（1）由题意得，.
（2）由（1）得，
在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，取得最大值700，
所以，当销售单价为60元时，每日的利润最大，最大利润是700元.
（3）由（1）得
，
当且仅当，
即当元时，取得最大值20元.
18．(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）由题意的定义域是，
是上的奇函数，
，即，
，则，
，
是上的奇函数，
综上，；
（2），，且，
则，
，
，
，，
，
，
，
在上是增函数；
（3）令，整理得，则，
令，整理得，则，
在上是增函数，
原不等式的解集为.
19．(1)2
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）因为对于任意的，，都有，且，
令，，则，可得；
令，，则，即，可得.
（2）对，，且，则，
可得，，
则，
所以在上是减函数.
（3）因为对于任意的，，都有，
令，可得；
令，可得；
令，可得，
且，可得，
所以原不等式等价于，
由（2）可知在上是减函数，
则，解得，