湖南省长沙市周南中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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是符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 二项式 展开式中， 的系数等于（ ）
A. 10 B. －10 C. 80 D. －80
3. 已知 为等差数列 的前 项和， ，则 的值为（ ）
A. 4 B. 7 C. 8 D. 9
4. 已知点 为抛物线 的焦点，点 在抛物线 上，且 ，则 （
）
A 2 B. 4 C. 6 D. 8
5. 已知函数 在 处有极小值，则 的值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 1 或 3 D. 或 3
6. 如图，在四棱锥 中，点 是 的中点，设 ， ， ，则 等于（
）
A B.
C. D.
7. 现要从 A，B，C，D，E 这 5 人中选出 4 人，安排在甲、乙、丙、丁 4 个岗位上，如果 A 不能安排在甲
岗位上，则安排的方法有（ ）
A. 56 种 B. 64 种 C. 72 种 D. 96 种
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8. 已知函数 ， ，若对任意的 ，存在唯一的 ，使得
，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的的 0 分.
9. 已知曲线 ，下列说法正确的是（ ）
A. 曲线 可以表示圆
B. 当 时，曲线为双曲线，渐近线为
C. 若 表示双曲线，则 或
D. 当 时，该曲线的焦点坐标为 和
10. 在下列四个选项，其中正确的有（ ）
A. 与向量 同方向的单位向量
B. 若对空间中任意一点 O，有 ，则 P，A，B，C 四点共面
C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D. 已知向量 ， ，则 在 上的投影向量为
11. 已知函数 及其导函数 定义域均为 ，且满足 ， ，则下列说
法正确的有（ ）
A. 函数 在 上单调递增
B. 函数 存在极小值
C 若 ，则
D. 若 ，则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
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12. 已知函数 在点 处的切线与直线 垂直.则 的值为______.
13. 发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样， 笛卡尔卵
形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定
义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数.已知：曲线 C 是平面内与两个定点 和
的距离的积等于常数 的点的轨迹，则下列命题中正确的是__________
①．曲线 C 过坐标原点
②．曲线 C 关于坐标原点对称
③．曲线 C 关于坐标轴对称
④．若点 P 在曲线 C 上，则 的面积不大于
14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，以 为圆心作与 的渐近线相
切的圆，该圆与 的一个交点为 ，若 为等腰三角形，则 的离心率为______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在平面内， ， ，C 为动点，若 ，
（1）求点 C 的轨迹方程；
（2）已知直线 l 过点（1，2），求曲线 C 截直线 l 所得的弦长的最小值.
16. 已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
17. 如图，在梯形 中， ， ， ，将 沿 折起至
，使 ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若点 是 的中点，点 是 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
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18. 已知函数 ，曲线 在 的切线为 ．
（1）求 a，b 的值；
（2）求证：函数在区间 上单调递增；
（3）求函数 的零点个数，并说明理由．
19. 已知椭圆 左､右焦点分别为 ，且椭圆 过点 .过 作两条互相垂直的直
线 与 分别与椭圆交于 四点.记弦 的中点分别是 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与 轴不重合，求△ 面积 最大值；
（3）求证：直线 过定点，并求出该定点坐标.