湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析），文件包含湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题Word版含解析docx、湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
时量：120 分钟 分值：150 分
一、单选题
1. 已知圆的圆心在 ，半径为 5，则它的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的标准方程得解.
【详解】因为圆心为 ，半径为 5，
所以圆的标准方程为 ，
故选：C
2. 已知数列 是等比数列，且 ， ，则 （ ）
A. 3 B. 6
C. 3 或 D. 6 或
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比数列的通项公式求解.
【详解】解：设数列 的公比为 q，
则 ，
所以 ， ，
所以 ．
故选：B．
第 1页/共 17页
3. 曲线 在点 处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对 求导，利用导数的几何意义求在点 处的切线的斜率，进而求出切线方程.
【详解】 ， ，
当 时， ，
在点 处的切线方程为： ，
即： .
故选：A.
4. 已知 ，若过点 的直线 与线段 （含端点）总有公共点，则直线 的斜率的取
值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线 过点 和过点 时的斜率，数形结合求解.
【详解】
如图，设 ，当直线 过点 时，斜率 ，当直线 过点 时，斜率
第 2页/共 17页
，
要使直线 与线段 （含端点）总有公共点，则直线 的斜率 需满足 或 .
所以直线 的斜率的取值范围为 .
故选：C.
5. 是椭圆 上一点， 、 分别是椭圆的左、右焦点，若 ，则 的大小
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由椭圆的方程，结合已知可得 ， ，再结合 可求出
的值； 然后在 中，利用余弦定理求出 的值，从而得到 的度数.
【详解】 是椭圆 上一点， 、 分别是椭圆的左、右焦点，
则 ， ，
又 ，由 ，
得 ，
中，由余弦定理 ，
而 为三角形内角，所以 .
故选：B.
6. 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
第 3页/共 17页
【解析】
【分析】求得随机试验 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的样本空间的样本点的个
数，再求事件周六、周日都有同学参加公益活动所包含的样本点的个数，利用古典概型概率公式求解即可．
【详解】随机试验 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的样本空间中包含 个样
本点，事件周六、周日都有同学参加公益活动包含 个样本点
所以事件周六、周日都有同学参加公益活动的概率 .
故选： .
7. 已知双曲线 的右顶点到其渐近线的距离不大于 ，其离心率 的取值范围
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】表示出右顶点坐标与渐近线方程，利用点到直线的距离公式代入列不等式求解，再由 ，可得
离心率的取值范围.
【详解】由题意得，双曲线的右顶点坐标为 ，其中一条渐近线方程为 ，所以
，得 ，即 ，又因为双曲线的离心率
，所以离心率的取值范围为 .
故选：C
8. 已知 m，n 为实数， ，若 对 恒成立，则 最小值是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数的性质，结合构造函数法进行求解即可.
【详解】 ，
第 4页/共 17页
当 时， 恒成立，则 单调递增， ，显然 不恒成立，
当 时， 时， ，函数 单调递减； 时， ，函数
单调递增，
∴ ，
∵ 恒成立，∴ ，
∴ ，
∴ ，
令 ，
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
∴ ．
故选：B
【点睛】关键点睛：利用导数的性质，结合构造新函数法是解题的关键.
二、多选题
9. 下列选项正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用排列数公式可判断 AB 选项，利用组合数公式可判断 C 选项，利用组合数的性质可判断 D 选
项.
【详解】因为 ，所以 A 正确；
因为 ，所以 B 不正确；
因为 ，所以 C 正确；
第 5页/共 17页
由组合数的性质可得 ，故 D 正确.
故选：ACD.
10. 已知 是定义在 上的单调递减函数， 是 的导函数，若 ，则下
列不等式不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先由题意得到 ，化不等式 ，再令 ，对函数
求导，判断出其单调性，即可求出结果.
【详解】因为 是定义在 上的单调递减函数，
所以 时， ，
由 ，得到 ， ,
令 ，则 ，
所以函数 在区间 上单调递增，
所以 ，
即 ，
所以 ，故 A 错误，
因为 且 ，
所以 ,
第 6页/共 17页
所以 ，故 B 错误
，故 C 正确， ，故 D 错误；
故选：ABD
11. 设抛物线 C： 的焦点为 F，M 为 C 上一动点， 为定点，则下列结论正确的是（ ）
A. 准线 的方程是
B. 的最小值为 4
C. A，B 为抛物线上的两点，点 E 为线段 的中点，则 所在的直线方程为
D. 以线段 为直径的圆与 轴相切
【答案】BD
【解析】
【分析】A.根据抛物线方程，直接求准线方程；B.根据抛物线定义的应用，结合图形，转化为三点共线问题
求解；C.利用点差法求直线 方程；D.根据直线与圆相切的定义，结合抛物线的定义，即可判断.
【详解】A.抛物线 ，其准线方程为 ，故 A 错误；
B. 如图所示，过点 作 准线于点 ，则 ，所以 ，当且仅当
共线时，（即图中 ） 最小，最小值为 到准线 的距离 4，故 B
正确；
C.设 ， ，
则 ，两式相减得 ，
则 ，得 ，即直线 的斜率为 2，
所以直线 的方程为 ，即 ，故 C 错误；
第 7页/共 17页
D.设 ， ，则 ，且 的中点坐标为 ，中点到 轴的距离为
，所以以线段 为直径的圆与 轴相切，故 D 正确.
故选：BD
三、填空题
12. 的展开式中 的系数等于___________．
【答案】45
【解析】
【分析】利用二项式定理确定展开式的通项，从而可得展开式中 的系数.
【详解】因为展开式的通项为 ，
令 ，得 ，
所以展开式中 的系数为 ．
故答案为： ．
13. 已知圆 C： ，直线 l： ，圆 C 上恰有两个点到直线 l 的距离为 1.则 m 的取
值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆 几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】圆 C： 的半径为 2，圆心坐标为：
设圆心 到直线 l： 的距离为 ，
要想圆 C 上恰有两个点到直线 l 的距离为 1，只需 ，
即 ，而 ，所以 .
第 8页/共 17页
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用圆的性质转化为点到直线的距离是解题的关键.
14. 若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】首先通过分析参数的正负排除不成立情况，再将不等式恒成立转化为两个函数最值问题进行求解
即可.
【详解】要使不等式 对 恒成立，
需分析两个因式的符号关系，分情况讨论参数 的取值范围：
排除 ：此时 ，不等式等价于 ，
但 时， ，不等式不能恒成立，
排除 ：此时不等式为 ，当 时， ，不等式不成立，
讨论 ：此时要使不等式恒成立，则对任意 ，有以下两种情况：
①若 且 对任意 恒成立，
若 在 恒成立，即 ，
令 ，
令 ，可得 ，则 在 上单调递减，
令 ，可得 ，则 在 上单调递增，
故函数在 处取得极小值 ，
故函数 在区间 上无最大值，不能满足 恒成立，故情况①不成立；
②若 且 ，对任意 恒成立，
则 恒成立，即 的最小值，
第 9页/共 17页
由①得函数 最小值为 ，故 ，
若 恒成立，即 的最大值，
令函数 ， ，
令 ，可得 ，则 在 上单调递增，
令 ，可得 ，则, 在 上单调递减，
故函数在 处取得极大值 ，故 ，
综上，实数 的取值范围为 .
故答案为：
四、解答题
15. 从 3 男 3 女共 6 名志愿者中，选出 3 人参加社会实践活动.
（1）共有多少种不同的选择方法？（用数字回答）
（2）若要求选出的 3 名志愿者中有 2 男 1 女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求
共有多少种不同的选派方法？（用数字回答）
【答案】（1）20 （2）54
【解析】
【分析】（1）利用组合计数，求选择的方法数；
（2）利用分步计数原理，结合组合数和排列数的计算，求选派的方法数.
【小问 1 详解】
从 3 男 3 女共 6 名志愿者中，选出 3 人参加社会实践活动，
选择方法数为 种.
【小问 2 详解】
从 6 名志愿者中选 2 男 1 女，选择方法数共有 种，
故从 6 名志愿者中选 2 男 1 女，
第 10页/共 17页
且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为 种.
16. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ， ， 分别是 ，
的中点.
（1）证明：直线 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据中位线的定义可得 ，结合线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可.
小问 1 详解】
如图，连接 ，
因为 ， 分别是 ， 的中点，则 ，
且 平面 ， 平面 ，
所以直线 平面 .
【小问 2 详解】
第 11页/共 17页
在直三棱柱 中， 平面 ， ， 平面 ，
则 ， ，且 ，即 ， ， 两两垂直，
故以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为 ， ，
则 ， ， ， ，
且 ， 分别是 ， 的中点，得 ， .
所以 ， ，
易知平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17. 设等差数列 的前 项和为 （ ）， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明：
第 12页/共 17页
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
分析】（1）由题列方程组，解得 ，所以 .
（ 2） 由 ， 裂 项 化 简 得 到 所 以 利 用 裂 项 相 消 法 求 得
.
【小问 1 详解】
由题可得 ，解得 ，所以 .
【小问 2 详解】
由 得到
所以
.
18. 椭圆 ： （ ）经过点 ，左、右焦点分别为 ， .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若椭圆 左顶点为 ，下顶点为 ， 是椭圆 在第一象限上的一点，直线 与 轴相交于点
，直线 与 轴相交于点 .
（ⅰ）过 点做椭圆的切线，当切线平行 时，求：切线方程.
（ⅱ）求 面积的最大值.
【答案】（1）
第 13页/共 17页
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）列关于 的方程即可求解得到椭圆 的标准方程.
（2）（i）先求直线 的斜率，设切线方程为 ，联立方程令 ，即可求解，
（ ⅱ ） 先 证 明 ， 再 证 明 四 边 形 面 积 为 定 值 2， 所 以 的 面 积
.
【小问 1 详解】
由题意可得 ，
又 ，解得 ，
故椭圆 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
（ⅰ）由（1）可得： ， ，
设 ， ， ，
可知直线 方程为： .
设切线方程为 ，
代入 ,得到
令 ，解得 ，
因 P 在第一象限，切线斜率为负，故
所以切线方程为： .
第 14页/共 17页
（ⅱ）直线 ： ， 到直线的距离为
且 ，
当且仅当 时等号成立.
因为 在椭圆上，所以 ，
则 ： ，令 ， ，
则 ： ，令 ， ，
则 ，
.
故四边形 面积为定值 2.
所以 的面积 ，
所以 面积的最大值为 .
19. 已知函数 ．
（1）当 时，求证： ；
第 15页/共 17页
（2）设 ，若对任意的 ，总存在 ，使不等式
成立，求实数 k 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式，整理不等式，构造函数，利用导数求新函数的最值，可得答案；
（2）由题意，整理函数解析式，求导研究其单调性，根据不等式能成立问题，可得关于 和 的不等式，
构造以 为变量、以 为参数的函数，利用导数，结合分类讨论，可得答案.
【小问 1 详解】
要证 ，只需证 ，
令 ， ，
由 ， ， ， ，
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
∴ ，即 ，∴ ．
【小问 2 详解】
由题意得 ， ，
∵ ，显然 ， ，
∴ 在区间 上为增函数，
∴ 时， ，
∴ ，
第 16页/共 17页
设 ，有 在 时恒成立，
∵ ，
① 时，∵ ，显然 ，∴ 在 时单调递减，此时 不
符合；
② 时，∵ ，显然 ，∴ 在 时单调递减，此时
不符合；
③ 时，∵ ，
若 ，显然 ，则 在区间 上单调递减，此时 不符合；
若 ，显然当 时， ，则 在区间 上单调递减，此时
，不符合；
若 时，则 在区间 上单调递增，此时 ，符合．
综上得 ，解得 ，即实数 k 的取值范围为 ．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为
不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的
单调性、极（最）值问题处理.