湖南省联考2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省联考2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了 已知函数 的定义域为 ，设甲等内容，欢迎下载使用。
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定
位置。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 ， ，则
A. B.
C. D.
2. 在复平面内， 对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 若一个等差数列的第 4 项为 5，前 5 项和为 15，则该数列的首项为
A. B.
C. D.
4. 已知函数 的定义域为 ，设甲： ，乙： 是偶函数，则甲是乙的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知抛物线 的焦点为 ， 是 上的动点，点 ，则 的最小值为
A.841 B.2026 C.2027 D.4111
6. 已知圆柱、圆锥的底面半径和球的半径相同，且圆柱的高等于球的直径，圆锥的体积等于圆柱的体积，
若三者的体积之和为 ，则圆锥的侧面积为
A. B.
C. D.
7. 已知函数 ，记 的非零极值点为 ，则 取最大值时，
A.2 B.3 C.4 D.5
8. 设 ， 是两个随机事件，已知 ， ， ，记 ，则
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 在菱形 中， ，点 ， 满足 ， ，则
A. B.
C. D.
10. 已知 ，且 ， ， 成等比数列，则
A.
B.
C. ， ， 不可能成等比数列
D. ， ， 可能成等比数列
11. 已知 ， 均为奇函数， 是奇函数， 是偶函数，且当 时，
，则
A.
B. 对任意 ，
C. 当且仅当 时，
D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 ________。
13. 已知 ，函数 在区间 上单调递增，则 的最大值为________。
14. 若对任意 ，点 总在一个椭圆上运动，则该椭圆的离心率为________。
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13 分）
某中学象棋社为了解学生对象棋的兴趣程度，对本校学生进行了随机问卷调查，调查结果统计如下：
非常感兴趣 有一点兴趣 不感兴趣
男生 100 60 40
女生 50 50 100
（1）从参与问卷调查的学生中随机抽取 1 人，设事件“该学生是男生”为 ，事件“该学生对象棋不感兴趣”
为 ，求 和 ；
（2）将“非常感兴趣”与“有一点兴趣”统称为“感兴趣”，兴趣程度按照“感兴趣”和“不感兴趣”分类，根据小
概率值 的独立性检验，能否认为该校男生和女生对象棋的兴趣程度有差异？
附： 。
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16.（15 分）
在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 。
（1）证明： ；
（2）若 的面积为 ， ，求 。
17.(15 分)
如图，AC，BD 为圆柱的母线，CD，AB 分别为圆柱上、下底面的直径，点 F 在下底面圆周上（不与 A，
B 重合），E 为 BF 的中点.
(1)证明：平面 平面 FBD；
(2)若 ，求平面 ACE 与平面 CDF 的夹角的余弦值.
18.(17 分)
已知函数 .
(1)当 f(x)为偶函数时，求曲线 (x)在点 处的切线方程；
(2)若 ，证明： ；
（3）若实数 a，b 使得 对任意 恒成立，当 b 取最大值时，求 a.
19.(17 分)
已知双曲线 的左、右顶点分别为 A( ，0)和 B(2，0)，过右焦点 F 且垂直于
x 轴的直线与 E 交于 M，N 两点，其中点 M 在第一象限， .
（1）求 E 的方程.
（2）已知点 P，Q 在直线 AM 上，满足 ，记点 P 的横坐标为 m.
（ⅰ）求点 Q 的坐标（用 m 表示）；
(ⅱ)若 PQ 的中点 S 在 的外接圆内，求 的取值范围.
高三数学·答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1. 答案 C
命题透析 本题考查集合的表示与运算.
解析 由已知得 ， ，故 .
2. 答案 D
命题透析 本题考查复数的运算与几何意义.
解析 ，由复数的几何意义可知其对应的点位于第四象限.
3. 答案 A
命题透析 本题考查等差数列的基本运算.
解析 记数列为 ，前 项和为 ，则 ，得 ，公差 ，所以
.
4. 答案 A
命题透析 本题考查充分条件与必要条件的判断.
解析 对任意 ，若 ，则 ，所以 是偶函数，即甲和乙
是等价的，即甲是乙的充要条件.
5. 答案 C
命题透析 本题考查抛物线的定义的应用.
解析 注意到 ，故 在 内，过点 作 的准线的垂线，垂足为 ，过点 作 的准线
的垂线，垂足为 .由抛物线的定义知 ，当且仅当点 在线段 上
时等号成立.
6. 答案 D
命题透析 本题考查圆锥、圆柱、球的相关计算.
解析 不妨设三者半径均为 .由题意知圆柱的高为 ，故其体积为 ，故圆锥的体积为 ，而球的体
积为 ，故 ，解得 .记圆锥的高为 ，由 ，得 ，
故母线长 ，于是圆锥的侧面积 .
7. 答案 B
命题透析 本题考查利用导数研究函数的极值与最值.
解析 ，令 ，得 或 ，可得 .
设
， ，则 ，当 时， ， 单调递增，当 时，
， 单调递减，则当 或 时， 取得最大值.又 ，故
， .
8. 答案 C
命题透析 本题考查相互独立事件的概率与条件概率的计算.
解析 由已知得 ，注意到 ，所以 ， 相互独立，
， ，所以
.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.每小题全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，
有选错的得 0 分.
9. 答案 AC
命题透析 本题考查平面向量的综合运算.
解析 对于 A，由 ，知 ，故 A 正确；
对于 B，由题意得 是 的中点， 是 上靠近点 的三等分点，则两直线必不会平行，故 B 错误；
对于 C， ，故 C 正确；
对于 D， ，故 D 错误.
10. 答案 BCD
命题透析 本题考查等比数列、指数对数运算、基本不等式的应用.
解析 设 ， ， ，则 ， ， ，由题意知 ，且
.
对于 A，由基本不等式得 ，所以 ，所以 ，即 ，故 A 错误；
对于 B，由 A 知 ，故 B 正确；
对于 C，若 ， ， 成等比数列，则 ，又 ，可得 ，
与 矛盾，故 ， ， 不可能成等比数列，故 C 正确；
对于 D，若 ， ， 成等比数列，则 ，可得 ，取 ， ，
，符合条件，故 D 正确.
11. 答案 ABD
命题透析 本题考查抽象函数的对称性与周期性.
解析 对于 A，由 是奇函数，可知曲线 关于点 对称，而其自身关于点 对称，
可知对于任意整数 ，曲线 关于点 对称，于是
，故 A 正确；
对于 B，显然 成立，构造 ，由题意可知 是奇函数， 是偶函数，而
， ，于是 ，同理
，故 B 正确；
对于 C，取 可得矛盾，故 C 错误；
对于 D，分析可知 ， 均为以 4 为周期的函数，且都是由曲线段 平
移、翻转得到的，而 的最小值为 ，所以 ，故 D 正确.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 答案
命题透析 本题考查正态分布的性质.
解析 因为 ，而 ，所以 ，
.
13. 答案 1
命题透析 本题考查三角函数的图象与性质.
解析 ，由正弦函数的图象与性质可知 ，得 .
14. 答案
命题透析 本题考查椭圆的几何性质.
解析 设 ，则
，得 ，注意到点 在
该椭圆上，故椭圆关于原点对称. 记椭圆的长半轴长为 ，则 为 的最大值. 因为
，所以 ，当且仅当 时等号成立. 于
是 ， . 此时长轴所在的直线为 ，故短轴所在的直线为 . 联立得
可得 ，可得 ， ，故短轴长 ，
，故该椭圆的半焦距 ，于是离心率为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 命题透析 本题考查独立性检验的应用.
解析 （1）参与调查的总人数为 ，
（1 分）
所以 ，
（3 分）
P(B|A)=40100+60+40=15. （5 分）
（2）可得如下 列联表：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 160 40 200
女生 100 100 200
合计 260 140 400
（8 分）
零假设 H0：该校男生和女生对象棋的兴趣程度没有差异 （9 分）
χ2=400×(160×100-40×100)2200×200×260×140=360091≈39.560>6.635， （11 分）
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即该校男生与女生对象棋的兴趣程度有差异 （13 分）
16. 命题透析 本题考查解三角形与三角恒等变换的综合应用.
解析 （1）由余弦定理得 ，
又 c2-a2=bc，所以 b2-2abcsC=bc，于是 b-2acsC=c， （2 分）
由正弦定理得 ，
再结合 sinB=sin(A+C)=sinAcsC+sinCcsA， （4 分）
可得 sinC=sinCcsA-sinAcsC=sin(C-A)， （5 分）
由 A,C∈(0,π)，知 C+C-A=π，即 2C=A+π （7 分）
（2）方法一：当 A=π6 时，2C=7π6，C=7π12，B=π-A-C=π4 （8 分）
如图，不妨作 ，垂足为 。
设 ，则 ， ，
由 2+23=12x(3x+x)，得 x=2， （12 分）
故 b=CD2+AD2=2x=4 （15 分）
方法二：当 A=π6 时，C=7π12，B=π4 （8 分）
由 12bcsinπ6=2+23，得 bc=8+83 （10 分）
由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，
（13 分）
所以 ，解得 。
（15 分）
17. 命题透析 本题考查空间位置关系的推理，空间向量的应用。
解析 （1）因为 是下底面圆的直径，点 在下底面圆周上，所以 。
（1 分）
由 是母线，可知 平面 ，所以 。
（2 分）
又 ，所以 平面 。 （4
分）
因为 平面 ，所以平面 平面 。 （5
分）
（2）如图，以 为坐标原点，垂直于平面 的直线为 轴，直线 ， 分别为 轴、 轴建立空间直
角坐标系。 （6 分）
由已知得 ， ， ， ， ， 。
（7 分）
设平面 的法向量为 ，因为 ， ，
所以 取 。
（10 分）
设平面 的法向量为 ，因为 ， ，
所以 取 。 （12 分）
所以 ， 。
即平面 与平面 的夹角的余弦值为 。 （15 分）
18. 命题透析 本题考查导数及其应用。
解析 （1）若 为偶函数，则 ， （1
分）
此时 ， ，
所以 ， ，
故所求的切线方程为 ，即 。
（3 分）
（2）当 时， 。要证 ，
即证 。
设 ，则 。 （4 分）
继续求导得 ，故 是增函数，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， （6 分）
所以 ，得证。 （7 分）
（3） 恒成立，即 恒成立，则 。
（8 分）
设函数 ，即 ，
则 ，由（2）可知 是增函数，且易知其值域为 。
故存在 ，使得 ，即 ， （10
分）
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以
。 （13
分）
要使 最大，则取 ，再分析 的最大值。
设函数 ，
则 ，
（14 分）
因为 ，且仅在 处等号成立，
所以当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 ，
（16 分）
即 的最大值为 ，当 时， ，
得 。 （17 分）
19. 命题透析 本题考查双曲线的方程与性质，双曲线与直线、圆与直线的位置关系。
解析 （1）显然 ， （1 分）
设 ，
由 ，得 ，则 ， .
，得 ， ……………………………………………………………………………………（3
分）
故 的方程为 . ……………………………………………………………………………………（4 分）
（2）（ⅰ）由（1）可得 ， ，所以直线 ，
，……………………………（5 分）
设 ，则
， ………………（6 分）
所以 ，从而 ，
于是 . …………………………………………………………………………（8 分）
（ⅱ）由 和 ，得中点
， ………………………………（9 分）
且
. ………………………………………………………………………
…（10 分）
设 的外接圆的圆心为 ，由 ， ，可知点 在 轴上，设 ，
再由 ，得 ，解得 ，所以 ， ………………………………
（11 分）
于是得 的外接圆方程为 .
由 ， 解得 或 ，即为圆 与直线 的两个交点的横坐标.
因为点 在 的外接圆内，所以 . ……………………………………………………
（14 分）
令 ，则 ，
由 ，得 .
所以 ，
因此， 的取值范围是 . …………………………………………………………………………（17
分）
另解 由 ，解得 ，
所以 .
易知“对勾函数” 在 上单调递增，值域是 ，在
上单调递减，值域是 .