湖南省长沙市明德中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析）

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时量:120 分钟 满分: 150 分 命题: 何国瑞 审定: 姜华
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的定义求解即可.
【详解】由 ，
则 .
故选：C
2. 函数 f（x）=3x+3x-8 的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连续函数 f（x）=3x+3x-8 在 R 上单调递增且 f（1）＜0，f（2）＞0，根据函数的零点的判定定理
可求．
【详解】解：∵函数 f（x）=3x+3x-8 在 R 上为连续增函数，
又由 f（1）=3+3-8＜0，f（2）=9+6-8=7＞0，
函数 f（x）=3x+3x-8 的零点所在的区间为（1，2），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数零点的定义及零点判定定理的应用，属于基础试题．
3. 设 ，则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】根据对数函数、指数函数的单调性比较大小即可.
【详解】由 ，
则 .
故选：C
4. 下列函数中是偶函数的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由偶函数 定义判断即可．
【详解】对于 A，函数 ，定义域关于原点对称，
且 ，则函数是偶函数；
对于 B，函数 ，定义域为 ，关于原点对称，
而 与 不恒等，则函数不是偶函数；
对于 C，函数 定义域为 ，关于原点对称，
而 与 不恒等，则函数不是偶函数；
对于 D，函数 的定义域不关于原点对称，则函数不是偶函数.
故选：A
5. 函数 的部分图象大致为（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性可排除 A，利用 的值排除 B，利用当 时， 可排除 C，进
而得出结论.
【详解】由题可知，函数 的定义域为 ，
又 ，
所以 为定义域上的偶函数，图象关于 对称，可排除 A；
又 ，可排除 B；
当 时， ，则 ，可排除 C.
故选：D.
6. 在 中，D 为 的中点，E 为 上一点，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知，根据平面向量线性运算加减法法则可以直接进行求解.
【详解】由已知，D 为 的中点，所以 ，
所以
故选：D.
7. 已知函数 是增函数，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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【解析】
【分析】根据分段函数单调性结合一次函数和二次函数的图象和性质列不等式组求解即可.
【详解】由题意知， 在区间 上单调递增，
在区间 上单调递增，且 ，
所以 ，解得 ，
故选：A.
8. 若 为锐角，且 ，则 （ ）
A. 10° B. 20° C. 70° D. 80°
【答案】C
【解析】
【分析】根据商数关系切化弦，辅助角公式、诱导公式化简运算得解.
【详解】由
，
又 为锐角，∴ ．
故选：C．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列各式的值为 的是（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用特殊角的三角函数值、二倍角的正弦、余弦、正切公式对选项进行化简求值，所得结果是 的
选项即为正确选项.
【详解】对于 A， ；
对于 B， ；
对于 C， ；
对于 D， .
故选：ABC
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数 是偶函数
B. “ ”且“ ”是“ ”的充要条件
C. 函数 与函数 是同一函数
D. 已知函数 ，则
【答案】CD
【解析】
【分析】对于 A，根据偶函数的定义判断即可；对于 B，根据充要条件的定义判断即可；对于 C，根据同一
函数的定义判断即可；对于 D，利用配凑法先求出 ，再计算即可判断.
【详解】对于 A，函数 的定义域为 ，不关于原点对称，
则函数 不是偶函数，故 A 错误；
对于 B， 等价于 且 ，或 且 ，
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则“ ”且“ ”不是“ ”的充要条件，故 B 错误；
对于 C，函数 和 的定义域均为 ，
且 ，则函数 与函数 是同一函数，故 C 正确；
对于 D，由 ，则 ，
即 ，故 D 正确.
故选：CD
11. 已知 ， ，下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B.
C. D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据条件变形，利用均值不等式求解即可判断 A，取特殊值判断 B，利用不等式 判
断 C，根据条件化双变量为单变量，再由均值不等式求解即可判断 D.
【详解】对 A，由 可得 ，解得 或 （舍），
当且仅当 ，即 时等号成立，故 A 正确；
对 B，当 时， 不成立，故 B 不正确；
对 C， ，
当且仅当 时，等号成立，故 C 正确；
对 D， ， ， ，由 ，
所以 ，所以
，当且仅当 ，即 ，
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时等号成立，故 D 正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.
函数 的奇偶性为________函数.（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）
【答案】偶函数
【解析】
【分析】先根据诱导公式对函数进行化简，最后利用余弦函数的奇偶性判断即可.
【详解】由已知条件得 ，且函数定义域为 R，关于原点对称，
则 ，
故函数为偶函数；
故答案为：偶函数.
13. 已知向量 与 的夹角是 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量是______
【答案】
【解析】
【分析】先求出 ，再利用投影向量公式求解即可.
【详解】由题意， ，
则向量 在向量 上的投影向量为 .
故答案为： .
14. 设函数 若方程 有四个不相等的实根 ，则 的取
值范围为__________； 的最小值为__________.
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【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据解析式作出函数 的图象，条件方程 有四个不相等可转化为 的图象
与 的图象有四个交点，观察图象确定 的范围，结合图象确定 与 的关系，利用 表示
，利用换元法求其最值.
【详解】当 时， ，
的图象关于直线 对称，画出 的图象，如图所示.
方程 有四个不相等的实根，
的图象与 有 个交点，
由图可知 ，即 的取值范围为 .
不妨设 ，
由 的图象可知， ，
所以 ，化简得 ，且 .
又 ，
则
.
令 ，则 ，
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，
当 时， 取得最小值，且最小值为 .
故答案为： ， .
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将方程 有四个不相等的实根，转化为函数 的
图象与直线 的图象有四个交点，再通过做函数图象确定 的范围.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知平面向量 与 夹角为 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 与 垂直，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积的定义及运算律，结合模长公式即可求解；
（2）根据向量垂直可得 ，再结合向量数量积的运算律和公式，即可求解.
【小问 1 详解】
由题意，得 ，
则 .
【小问 2 详解】
因为 与 垂直，
所以 ，
即 ，解得 .
16. （1）已知角 的终边经过点 ，求 ；
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（2）已知 ，其中 均为锐角，求角 的值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）先根据三角函数的定义求得 ，再运用诱导公式和同角三角函数的基本关系求解即
可；
（2）先求出 的值，再运用两角差的正弦公式求解即可.
【详解】（1）由题意： ，
则 ；
（2）因为 ， 为锐角，所以 ，则 ，
所以 ，
，
则 ，
而 为锐角，则 .
17. 已知定义域为 的函数 是奇函数.
（1）求 值；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
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【解析】
【分析】（1）先由 求得 ，再进行检验即可；
（2）先得到函数 在 上单调递增，结合 为奇函数，将问题转化为
对于 恒成立，进而求解即可.
【小问 1 详解】
由题意， ，解得 ，
此时 ，则 ，
所以 ，
则 ，即 为奇函数，符合题意，故 .
【小问 2 详解】
由（1）得， ，
因为函数 在 上单调递增，且 ，
则函数 在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，又 为奇函数，
由 ，
得 ，
则 ，即 对于 恒成立，
则 ，解得 ，
则实数 的取值范围为 .
18. 已知函数 的两条相邻对称轴的距离为 .
（1）求 的解析式；
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（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，
得到函数 的图象.
①若 ，且 ，求 的值；
②若关于 的方程 在区间 上恰有两个不同的实数解，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式对解析式进行化简，结合函数图象的对称性及周期性求出 的
值，即得函数解析式；
（2）根据三角函数图象的平移伸缩变换得到 的解析式，①由题求得 ，结合
的范围，求得 ，通过 凑角后利用和角的正弦公式求解即
得；②先将问题转化为函数 和函数 的图象在区间 上有且只有 2 个交点，
通过数形结合即可求得参数范围.
【小问 1 详解】
由
，
因为函数 的相邻两条对称轴的距离为 ，
所以函数 的周期 ，则 ，即 ．
【小问 2 详解】
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将函数 的图象向右平移 个单位长度，得 ，
再将所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），得到 ．
①因为 ，所以 ，
又 ，则 ，所以 ，
则
．
②由题知，方程 在 上恰有两个不同的实数解，
可转化为函数 和函数 的图象在区间 上有且只有 2 个交点，
令 ， ，则 ， ，
则可转化为函数 和函数 的图象在区间 上有且只有 2 个交点，
当 时， ；
当 时， ；当 时， ，
作出函数 在 上的图象如图：
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由图可知， ，则 ，
所以实数 的取值范围是 ．
19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691 年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的
一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数 .类似的有双曲正弦函数 ，我们也可以定义双曲正切
函数 .已知函数 和 具有如下性质：①定义域都为 ，且 是增函数；②
是奇函数， 是偶函数；③ .（常数 e 是自然对数的底数， ）
（1）求双曲正弦函数 和双曲余弦函数 的解析式；
（2）求证： ；
（3）函数 在区间 上的值域是 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【 分 析 】 (1)根 据 ， 函 数 为 上 的 奇 函 数 ， 为 上 的 偶 函 数 得
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联立方程组即可求解；
（2）由（1）得函数 和 的解析式代入即可得证；
（3）由（1）知，函数 为 上的单调增函数， 函数 在区间
上的值域是 ，得关于 的方程 有两个互异实根，令 ，方程
有两个互异正根，根据一元二次方程根的分布即可求解.
【小问 1 详解】
函数 为 上的奇函数， 为 上的偶函数，且 ，
即
解得 .
函数 均为 上的增函数，
函数 为 上的增函数，合乎题意.
小问 2 详解】
.
【小问 3 详解】
，
.
第 15页/共 16页
又 ，则 .
由（1）知，函数 为 上的单调增函数.
函数 在区间 上的值域是 ，
即
关于 的方程 有两个互异实根.
令 方程 有两个互异正根.
解得 .
【点睛】方法点睛：函数新定义问题，解题方法是抓住新定义，把新定义转化为已知函数的表达式，需要
用换元法等进行化简转化，如本题转化为一元二次方程，根据一元二次方程根的分布求解．