初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）2. 直角三角形的判定达标测试

这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）2. 直角三角形的判定达标测试，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.下列由三条线段a、b、c构成的三角形：① a=2mn ， b=m2−n2 ， c=m2+n2m>n>0 ， ② a=2n+1 ， b=2n2+2n+1 ， c=2n2+2nn>0 ， ③ a=3k ， b=4k ， c=5kk>0 ， ④ a:b:c=1:3:2 ， 其中能构成直角三角形的有（ ）
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
2.下列各数中，以 a ， b ， c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A . a=4 ， b=5 ，c=6
B . a=3 ， b=4 ，c=5
C . a=3 ， b=3 ，c=23
D . a=5 ， b=12 ，c=13
3.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，则小正方形与大正方形的面积比是（ ）
A . 1：2 B . 1：4 C . 1：5 D . 1：10
4.以下四组数中，不是勾股数的是（ ）
A . 3，4，5 B . 5，12，13 C . 4，5，6 D . 8，15，17
5.若三角形三边的长分别为6，8，10，则最短边上的高是（ ）
A . 6 B . 7 C . 8 D . 10
二、填空题
1.如图，点C在直线AB上，按如下步骤作图：①以点C为圆心，任意长为半径作圆弧，交AB于点D、E；②分别以点D、E为圆心，大于 12​DE的长为半径作圆弧，两弧相交于点F；③作直线CF，连结DF、EF．若∠FDC=50°，则∠CFE的大小为 ________ 度．
2.我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边．
观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是 129−1 ， 129+1；勾是5时，股和弦的算式分别是 1225−1 ， 1225+1 ． 根据你发现的规律：
（1）当勾是十一时，则股和弦分别为： ________ ；（直接写出结果）
（2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且 m>6）的代数式来表示所有这些勾股数的股为 ________ ．
3.如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则 A,B,C,D四个正方形的面积之和为 ________ ．
4.折纸能锻炼人的综合协调能力，包括手、眼和大脑． 如图，纸艺社团的小凡拿出一张长方形纸片 ABCD ， 他先将纸片沿 EF 折叠，再将折叠后的纸片沿 GH 折叠，使得 GD'与 A'B'重合，展开纸片后测量发现 ∠AEF=110° ， 则 ∠D'GH的度数是 ________ ．
5.如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积分别是为1、13，则直角三角形两直角边和a+b= ________
6.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票图1所示．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在如图2的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，则RQ= ________ ，△PQR的周长等于 ________ ．
7.如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯水平方向的长度 AB与右边滑梯的高度 DE相等．若右边滑梯与地面的夹角 ∠DFE=55° ， 则 ∠ABC的度数为 ________ °．
8.有一根长24cm的小木棒，把它分成三段，组成一个直角三角形，且每段的长度都是偶数，则三段小木棒的长度分别是 ________ cm， cm， ________ cm．
三、作图题
1.如图，每个小正方形的边长为1，请借用网格解决以下问题：
（1） 如图 1所示，请计算 △ABC的面积；
（2） 在图 2中画 △DEF ， 使三边 DE、 EF、 DF的长分别为 10、 10 ， 25 ， 并判断 △DEF的形状，说明理由．
2.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1， △ABC为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）．
（1） 请作出 △ABC关于 x轴对称的 △A'B'C'；
（2） 判断 △ABC的形状并说明理由．
3.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点.
（1） 在图1中以格点为顶点画一条线段MN，使长MN= 10 .
（2） 在图2中以格点为顶点画△ABC，使AB= 5 ，AC= 20 ，BC=5.并判断它是否是直角三角形.
四、综合题
1.定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.
（1） 已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由.
（2） 已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长.
2.如图，小区有一块三角形空地 ABC ， 某市为创建全国文明典范城市，小区计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路 AD、DE隔开， DE⊥AB ． 经测量， AB=15米， AC=13米， AD=12米， DC=5米．
（1） 求 BD的长；
（2） 若铺设小路 AD、DE每米30元，则需花费多少．
3.我们运用图（Ⅰ）中大正方形的面积可表示为（a+b） 2 ， 也可表示为c 3+4（ 12ab），即（a+b） 2=c 2+4（ 12ab）由此推导出一个重要的结论a 2+b 2=c 2 ， 这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．
（1） 请你用图（Ⅱ）（2002年国际数学家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）．
（2） 请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+2y） 2=x 2+4xy+4y 2 ．
4.如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1） 求修建的公路CD的长；
（2） 若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
五、解答题
1.如图所示，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形拼成，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）证明勾股定理；
（2）说明a2+b2≥2ab及其等号成立的条件．
2.在一条东西走向的河流一侧有一村庄 C ， 河边原有两个取水点 A ， B ， 其中 AB=AC ， 由于某种原因，由 C到 A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点 D(A、 D、 B在同一条直线上 ) ， 并新修一条路 CD ， 测得 CB=6.5千米， CD=6千米， BD=2.5千米．
（1） 求证： CD⊥AB；
（2） 求原来的路线 AC的长；
3.法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x 2+y 2=z 2的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解（x，y，z）叫做勾股数．如，（3，4，5）就是一组勾股数．
（1）请你再写出两组勾股数.
（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n2﹣1，z=n2+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直径三角形（即a，y，z为勾股数），请你加以证明．
4.聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知 AB＝9m， BC＝12m， CD＝17m， AD＝8m，∠ ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
六、阅读理解
1.[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”（勾股定理）带到其它星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言；
[定理表述]请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理；
[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，将两个直角边长为a，b，斜边长为c的三角形按如图所示的方式放置，连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶点（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；
[知识扩展]利用图2中的直角梯形，我们可以证明 a+bc＜ 2 ， 其证明步骤如下：
∵BC=a+b，AD= ________ ，
又∵在直角梯形ABCD中，有BCAD（填大小关系），即 ，
∴ a+bc＜ 2 ．
2.阅读理解并解答问题
如果a、b、c为正整数，且满足a2+b2=c2 ， 那么，a、b、c叫做一组勾股数．
（1）请你根据勾股数的意思，说明为什么3、4、5是一组勾股数；
（2）写出一组不同于3、4、5的勾股数；
（3）如果m表示大于1的整数，且a=2m，b=m2﹣1，c=m2+1，请你根据勾股数的意思，说明a、b、c为勾股数．