初中数学华师大版八年级上册2 直角三角形的判定优秀一课一练

14.1.2直角三角形的判定同步练习华师大版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，已知中，，，，AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，连接BD，则CD的长为

A. 1 B.  C.  D.

2. 已知a，b，c是的三边长，且满足，则下列对的形状的判断最准确的为   

A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形

3. 下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是

A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 1，，2

4. 如图，点P为等边内一点，且，，，将绕点A逆时针旋转使P与对应，C与B对应，则四边形的面积为    

A.
B.
C. 60
D. 42

5. 在中，，，的对边分别为a，b，c，下列条件中，能判断是直角三角形的是

A. ：：：4：5 B. ，，
C. ， D.

6. 若中，，，，则下列判断正确的是

A.  B.
C.  D. 是锐角三角形

7. 由下列条件不能判断是直角三角形的是

A. ：：：4：5 B. AB：BC：：4：5
C.  D.

8. 满足下列条件的，不是直角三角形的是

A.  B. a：b：：4：5
C.  D. ：：：12：15

9. 如图，ABCD是一张长方形纸片，将AD，BC折起、使A、B两点重合于CD边上的P点，然后压平得折痕EF与若，，，则长方形纸片ABCD的面积为   

A.  B.  C.  D.

10. 如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为

A. 47
B. 62
C. 79
D. 98

11. 给出下列四个说法：
    由于，，不是勾股数，所以以，，为边长的三角形不是直角三角形；
    由于以，，为边长的三角形是直角三角形，所以，，是勾股数；
    若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有；
    若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，其中正确的是

A.  B.  C.  D.

12. 下列命题中，假命题的是

A. 中，若，则是直角三角形
B. 中，若，则是直角三角形
C. 中，若，则是直角三角形
D. 中，若，则是直角三角形

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 在中，，，D是BC边所在直线上的点，，，则______．
14. 中，，，所对的边分别为a，b，c，下列条件中能判断出是直角三角形的有______．
    ：：：4：5；：b：：4：3；；；．
15. 如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，          
    
    
     

16. 如图，ABC中，C，AB，AC，BC，点O为ABC与CAB平分线的交点，则点O到边AB的距离为__________．

17. 我们学习了勾股定理的逆定理后，知道了勾股数的概念．观察下列勾股数：4、3、5；6、8、10；8、15、17；10、24、26；，发现这些勾股数的第一个数都是偶数，且从4起再没有间断过．观察并利用上述勾股数的规律，若第一个数用字母n表示为偶数，且，则最大的数可以用含n的式子表示为______．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 如图，四边形ABCD中，，，，，，求四边形ABCD的面积．
    
    
     

19. 如图，在正方形网格上有一个．

发现AB与BC的数量关系是________ ，位置关系是__________ 。

画关于直线MN的对称图形不写画法；

若网格上的每个小正方形的边长为1，则的面积为_____．

在直线MN上找一点P，使最短．






 

20. 如图，已知，，，，．

证明：是直角三角形．

请求图中阴影部分的面积．






 

21. 如图，在四边形ABCD中，，，，，．
     

判断是否为直角，并说明理由．

求四边形ABCD的面积．






 

22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
    
    将向下平移5个单位后得到，请画出；
    将绕原点O逆时针旋转后得到，请画出；
    判断以O，，B为顶点的三角形的形状．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在中是AB边的中点，于点D，交AC于点E，且，
    试说明：；
    若，，求CE的长．
    
    
     

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形．根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用线段垂直平分线得出，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】
解：中，，，，
，
是直角三角形，
的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，
，
设CD为x，，
在中，，
即，
解得：，
即，
故选C．  

2.【答案】C
 

【解析】略
 

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】
此题考查了直角三角形的判定，判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可。
【解答】
A.故不是直角三角形，错误；
B.，故不是直角三角形，错误；
C.，故不是直角三角形，错误；
D.故是直角三角形，正确．
故选D．  

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理的运用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及直角三角形．
先连接，判定是等边三角形，得出，进而得出，再证明是直角三角形，且，可得，进而得到四边形的面积．
【解答】
解：如图，连接，

由旋转可得，，，
是等边三角形，
，
，
由旋转可得，，
，
是直角三角形，且，
，
四边形的面积为，
故选B．  

5.【答案】D
 

【解析】解：，：：：4：5，
最大角，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，
以，，为边不能组成直角三角形，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，，
，
不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，
，
，
是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
根据三角形的内角和定理和已知求出的度数，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B和D；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可判断C．
本题考查了勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容和三角形内角和定理等于是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边a、b的平方和等于第三边c的平方，即，那么这个三角形是直角三角形．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：，，
，
，
是直角三角形，．
故选：C．
13，12，5正好是一组勾股数，根据勾股定理的逆定理即可判断是直角三角形，从而求解．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形．对于常见的勾股数如：3，4，5或5，12，13等要注意记忆．
 

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断，此题比较容易．
先根据所给的数据，结合勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理即可求出答案．
【解答】
解：：：：4：5，
，，，
故不能判定是直角三角形，故选项A正确；
B.，
设，则，，
，
根据勾股定理的逆定理，
是直角三角形，能判定是直角三角形，
故选项B不正确；
C.，
，
是直角三角形，能判定是直角三角形，
故选项C不正确；
D. ，
根据勾股定理的逆定理，
是直角三角形，能判定是直角三角形，
故选项D不正确；
故选A．  

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

考查直角三角形的判定以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，即可得到结论．

【解答】

，
则，

是直角三角形，

：b：：4：5，

设，，，

则，

是直角三角形；

，

则，

，

是直角三角形；

：：：12：15，

设、、分别为9x、12x、15x，

则，

解得，，

则、、分别为，，，

不是直角三角形；

故选：D．

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查折叠的性质和勾股定理逆定理，利用面积法求出矩形的宽是解题的关键过P作，垂足为M，根据勾股定理逆定理和三角形的面积求出矩形的宽，再根据折叠的性质求出矩形的长，从而求出面积．

【解答】

解：过P作，垂足为M，

，，

又

为直角三角形

，

，

长方形纸片ABCD的面积为：．

故选C．

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了勾股数，数式规律问题，满足的三个正整数，称为勾股数．依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值．
【解答】
解：由题可得，，，，
，，，
，，，为正整数
当时，，
，，
，
故选：C．  

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：
三个数必须是正整数，例如：、6、满足，但是它们不都是正整数，所以它们不是勾股数．
一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．
记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】
解：由于，，不是整数，所以，，不是勾股数，但是，，所以以，，为边长的三角形是直角三角形，故说法错误；
虽然以，，为边长的三角形是直角三角形，但是，，不是整数，所以，，不是勾股数，故说法错误；
若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有，故说法正确；
若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，故说法正确．
故选C．  

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】
此题考查了命题，直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定方法是关键，逐项分析即可得到答案．
【解答】
解：在中，若，则，，即是直角三角形，是真命题，故A错误；
B.在中，若，即，则是直角三角形，是真命题，故B错误；
C.在中，若a：b：：4：5，则是直角三角形，是真命题，故C错误；
D.在中，若：：：4：5，设，，的度数分别为3x，4x，5x， 则， 
解得，，则，，， 不是直角三角形，是假命题，故D正确；
故选D．  

13.【答案】25或7
 

【解析】解：如图1所示，当点D在线段BC上时，
，，，
，
是直角三角形，且，
，
，
；
如图2所示，当点D在CB的延长线上时，
同理可得，，
；
由于，所以点D不在BC的延长线上．
综上所述，BC的长度为25或7．
故答案为：25或7．
分两种情况进行讨论：点D在线段BC上或点D在CB的延长线上．依据勾股定理的逆定理即可得到为直角，再根据勾股定理即可得到CD的长，进而利用线段的和差关系得出BC的长．
本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的运用，解题时注意：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．解决问题的关键是利用分类思想进行求解．
 

14.【答案】
 

【解析】解：：：：4：5，，
最大角，
不是直角三角形；
：b：：4：3，
，
，
是直角三角形；
，
，
是直角三角形；
，
，
，
是直角三角形；
，，
，
，
是直角三角形，
所以能判断出是直角三角形的有，
故答案为：．
根据勾股定理的逆定理即可判断，根据三角形内角和定理即可判断．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能熟记知识点是解此题的关键．
 

15.【答案】45
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理及等腰直角三角形的判定，正确使用勾股定理及逆定理是解题的关键，首先根据勾股定理及逆定理得出为等腰直角三角形，得出，即可得到，再根据平行线的性质即可得出的值．
【解答】
解：
如图，连接AC，
个相同的小正方形拼成的网格，
，，
，，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
 ，
故答案为45．  

16.【答案】2
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，勾股定理逆定理有关知识，直接利用角平分线的性质结合三角形面积求法得出答案．
【解答】
解：点O为与的平分线的交点，
点O在的角平分线上，
连接OC，过点O作于点P，

，
又，，，
为直角三角形，，
，
解得：．
故答案为2．  

17.【答案】
 

【解析】解：第一个数用字母n表示为偶数，且，则股：，弦：．
故答案是：．
由所列数列可知，用n来表示所有这些勾股数的勾，则其股是n的平方减1的一半，弦是n的平方加1的一半．
本题主要考查了勾股数，列代数式以及规律型，考查学生观察、分析、类比和猜想解决问题的能力．属于探索性题目，有利于培养同学们的发散思维能力．
 

18.【答案】解：连结AC，

在中，
，，，
，
，
在中，
，，，
，
是直角三角形，
 
四边形ABCD的面积．
 

【解析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，分别求出和的面积，即可得出答案．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出和的面积，属于中档题．
 

19.【答案】解：相等；垂直；
关于直线MN的对称图形如图所示；

；
如图，连接与MN的交点即为点P，此时最短，其长度为的长．

 

【解析】【解析】
本题考查了利用轴对称变换作图，勾股定理，轴对称最短路径问题，勾股定理逆定理以及三角形的面积有关知识．
首先根据勾股定理分别求出的三边长，然后利用勾股定理逆定理可得出为直角三角形，于是可得答案；
根据网格结构找出点A、B、C关于MN的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；
利用所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解；
根据轴对称的性质，连接与MN的交点即为点P．
【解答】
解：根据勾股定理可得，
，，，
，，
为等腰直角三角形，，即．
故答案为相等；垂直；
见答案；
的面积

．
故答案为；
见答案．
 

20.【答案】证明：在中，，，，
，
取正值．
在中，，，
，
为直角三角形；

解：

．
 

【解析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明为直角三角形；
根据，利用三角形的面积公式计算即可求解．
本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形．
 

21.【答案】解：是直角理由如下：

如解图，连结AC．
 

，

．

，

，

是直角三角形，是直角．

，

．

【解析】略
 

22.【答案】解：如图所示，即为所求：

如图所示，即为所求：
三角形的形状为等腰直角三角形，，，
即，
所以三角形的形状为等腰直角三角形．
 

【解析】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，也考查了平移变换，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定．
利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可得到为所作；
利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点、、，从而得到，
根据勾股定理和勾股定理逆定理解答即可．
 

23.【答案】解：如图所示，连接BE，
是AB边的中点，于点D，
垂直平分AB，
，
又，
，
是直角三角形，且；
中，，
，
设，则，而，
中，，
中，，
，
解得，
．
 

【解析】连接BE，依据DE垂直平分AB，即可得到，再根据，可得，进而得到是直角三角形；
依据勾股定理可得BE的长为10，再根据勾股定理即可得到方程，解方程即可得出CE的长．
本题主要考查了勾股定理及其逆定理，以及线段垂直平分线的性质的运用，关键是掌握：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．