初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）1. 直角三角形三边的关系练习

这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）1. 直角三角形三边的关系练习，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为-2，2， CB⊥AB于点B，且 BC=2.连接 AC ， 在 AC上截取 CD=BC ， 以点A为圆心， AD的长为半径画弧，交线段 AB于点E，则点E表示的实数是（ ）
A . 25−2 B . 25−4 C . 45−4 D .2−45
2.如图，在水塔O的东北方向 32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向 24m处有一建筑工地B，在 AB间建一条直水管，则水管的长为（ ）
A . 45m B . 40m C . 50m D .56m
3.如图，在3 ×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 A ， B ， C都在格点上，若 BD是 △ABC的高，则 BD的长为（ ）

A . 101313 B . 191313 C . 181313 D .71313
4.如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则 ∠BAC的大小是（ ）
A . 30° B . 60° C . 75° D .90°
5.在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1 ， S 2 ， S 3 ， S 4 ， 则S 1+S 2+S 3+S 4=（ ）
A . 4 B . 5 C . 6 D . 7
6.由四个全等的直角三角形如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，一个锐角为30°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A . 1 B . 3 C . 4﹣2 3 D . 4+23
二、填空题
1.已知关于x，y的方程组 x+2y=3n+2y−x=1的解中的x，y的值分别为等腰直角三角形的一条直角边和斜边的长，则 n= ________ ．
2.三角形ABC中，AB=5， AC=42 ，BC边上的高AD=4，BC= ________
3.代数式 x2+4+x2−24x+153的最小值是 ________ ．
4.已知：如图 Rt△ABC中， ∠B=90°,AB=BC=16 ， M在 BC上，且 BM=4 ， N是 AC上一动点，则 BN+MN的最小值为 ________ ．
5.构图法是解决数学问题的一种常见的方法．比如：在 △ABC中， AB、 BC、 AC三边的长分别为 5、 10、 13 ， 求这个三角形的面积．可以先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1) ， 再在网格中画出格点 △ABC（即 △ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），这样不需求 △ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．试运用构图法求 m2+2m+2+m2−6m+34的最小值为 ________ ．
6.已知：Rt △ ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一个动点（其中0°＜∠BAD＜45°），以AD为直角边作Rt △ ADE，其中∠DAE＝90°，且AD＝AE，DE交AC于点F，过点A作AH⊥DE于点G，交BC于H，在D点的运动过程中，有下列结论：① △ ABD≌ △ ACE：②BD 2+DC 2＝2AD 2；③BD 2+HC 2＝DH 2；④当BD =2− 1时，AC平分∠HAE；⑤当∠BAD＝22.5°时， S△ADG=2S△AGF ，其中正确的有 ________ .（将所有正确结论的番号填在答题卡对应题号的横线上）
7.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则CD＝ 12 AB，运用：如图2，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED连接BE，CE，DE，则CE的长为 ________ ．
8.一个长方体形盒子的长、宽、高分别为2cm、2cm、3cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，则这只蚂蚁要爬行的最短距离是 ________ ．
三、作图题
1.如图是一个 12×12的正方形网格．在网格中建立平面直角坐标系 xOy ， 已知点 A坐标为 −5,−3 ， 点 B坐标为 1,−5 ．
（1） 作出线段 AB关于 x轴对称的线段 A1B1；
（2） 在正方形网格中作以 A1B1为斜边的等腰直角三角形 A1B1C ， 并求出 △A1B1C的面积．
2.问题背景：
在 △ABC中， AB、 BC、 AC三边的长分别为 5、 10、 13 ， 求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点 △ABC（即 △ABC三个顶点都在小正方形的顶点处， AB=22+12=5 ， BC=10 ， AC=13），如图①所示．这样不需求 △ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求 △ABC面积的方法叫做构图法．
（1） 请你将 △ABC的面积直接填写在横线上：______．
（2） 思维拓展：若 △ABC三边的长分别为 5a、 22a、 17aa>0 ， 请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的 △ABC ， 并求出它的面积．
（3） 探索创新：若 △ABC三边的长分别为 m2+16n2、 9m2+4n2、 2m2+n2（ m>0 ， n>0 ， 且 m≠n），求这个三角形的面积．
（4） 直接写出当x为何值时，函数 y=x2+9+12−x2+4有最小值，最小值是多少？
3.如图(1)，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点．
（1） 画出△ABC关于直线MN对称的△A 1B 1C 1；
（2） 写出AA 1的长度；
（3） 如图(2)，A、C是直线MN同侧固定的点，B是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点B，使AB+BC最小．
4.确定合适的数轴，在数轴上画出表示 −10−1 的点 A 和表示 13 的点 B ．
四、综合题
1.解答下列各题
（1） 如图1，已知OA＝OB，数轴上的点A所表示的数为m，且|m+n|＝2
①求点A所表示的数m为；
②求代数式n2+m﹣9的值．
（2） 旅客乘车按规定可以随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需购买行李票，设行李票y（元）是行李质量x（千克）的一次函数，其图象如图2所示．
①当旅客需要购买行李票时，求出y与x之间的函数关系式；
②如果张老师携带了42千克行李，她是否要购买行李票？如果购买需买多少行李票？
2.某花店老板李某为培育花苗，于2023年租了一块如图所示的四边形土地， ∠B=90° ， AB=40m ， BC=30m ， AD=130m ， CD=120m ， 该土地的租金为一年 45元/ m2 ， 则李某租用该土地一年需租金多少元？
3.已知在等腰直角△ ABC中，∠ BAC＝90°，点 D从点 B出发沿射线 BC方向移动．在 AD右侧以 AD为腰作等腰直角△ ADE ， ∠ DAE＝90°．连接 CE ．

（1） 求证：△ ACE≌△ ABD；
（2） 点 D在移动过程中，请猜想 CE ， CD ， DE之间的数量关系，并说明理由；
（3） 若 AC＝ 2 ，当 CD＝1时，结合图形，请直接写出 DE的长 ________ ．
4.为了探索代数式 x2+1+(8−x)2+25 的最小值，
小张巧妙的运用了数学思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作 AB⊥BD，ED⊥BD ，连结AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则 AC=x2+1 ， CE=(8−x)2+25 则问题即转化成求AC+CE的最小值．
（1） 我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得 x2+1+(8−x)2+25 的最小值等于 ________ ，此时x= ________ ；
（2） 题中“小张巧妙的运用了数学思想”是指哪种主要的数学思想；
(选填：函数思想，分类讨论思想、类比思想、数形结合思想)
（3） 请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式 x2+4+(12−x)2+9 的最小值．
五、解答题
1.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在 △ABC 中， ∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3 ，求 AC 的长．
2.如图 1 ， 在长方形纸片 ABCD中， ∠B=∠C=∠D=90° ， AB=CD=6 ， BC=AD=8 ， 点 P是射线 BC上的动点，连接 AP ， △AQP是由 △ABP沿 AP翻折所得到的图形．
（1） 若连接 AC ， 当点 Q落在 AC上时， QC的长为 ；
（2） 如图 2 ， 点 M是 DC的中点，连接 AM．当点 Q落在 AM上时，求 BP的长；
（3） 如图 3 ， 点 M是 DC的中点，连接 MP ， MQ ． 当 △PMQ是以 PM为腰的等腰三角形时，请直接写出 BP的长．
3.在一条东西走向河的一侧有一村庄 C ， 河边原有两个取水点 A、 B ， 其中 AB=AC ， 由于某种原因，由 C到 A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 D（ A、 D、 B在同一条直线上），并新修一条路 CD ， 测得 BD=240米， CD=320米， BC=400米．
（1） 问 CD是否为从村庄 C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
（2） 求原来的路线 AC的长．
4.问题：如图1，在等边 △ABC内部有一点P，已知 PA=3 ， PB=4 ， PC=5 ． 求 ∠APB的度数？
（1） 请写出常见四组勾股数：______、______、______、______．
（2） 解决方法：通过观察发现 PA、 PB ， PC的长度符合勾股数，但由于 PA ， PB、 PC不在一个三角形中，想法将这些条件集中在一个三角形，于是可将 △ABP绕A逆时针旋转 60°到 △AP'C ， 此时 △ABP≌△ACP' ， 这样利用等边三角形和全等三角形知识，便可求出 ∠APB=______．
（3） 应用：请你利用（2）题的思路，解答下面的问题：如图2，在 △ABC中， ∠CAB=90° ， AB=AC ， E，F为 BC的点，且 ∠EAF=45° ， 若 BE=m ， FC=n ， 请求出线段 EF的长度（用m、n的代数式表示）；
5.如图，四边形ABCD中， AD//BC ， ∠BAD=90° ， 点M为AB上一点，连接CM，DM．
（1） 求证： ∠CMD=∠BCM+∠ADM；
（2） 若 AD=8 ， AM=6 ， CD=CM=52 ， 求四边形AMCD的面积；
（3） 在（2）的情况下，连接AC，求AC的长．
六、阅读理解
1.阅读下列一段文字，然后回答下列问题.
已知在平面内有两点P1（ x1 ， y1 ），P2（ x2 ， y2 ）其两点间的距离P1P2 = (x1−x2)2+(y1−y2)2 ，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为| x2 − x1 |或| y2 − y1 |.
（1） 已知 A (1，4)、B (-3，2)，试求 A、B两点间的距离；
（2） 已知一个三角形各顶点坐标为 D(-1，4)、E(-2，2)、F(3，2)，你能判定此三角形的形状吗?说明理由：
（3） 在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在 x轴上找一点 P，使得∆PDF是以DF为底的等腰三角形，求点P的坐标.
2.一、阅读理解：
在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；
（1）若∠C为直角，则a2+b2=c2；
（2）若∠C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2＞c2；
（3）若∠C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系．
二、探究问题：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c，若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．