河北省2025-2026学年高二第一学期高中新课程模块期末考试数学试题（有解析）

这是一份河北省2025-2026学年高二第一学期高中新课程模块期末考试数学试题（有解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（本试卷满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相切B. 相交且直线过圆心
C. 相交但直线不过圆心D. 相离
2. 若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一个焦点的距离为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
3. 双曲线的离心率，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知数列，则该数列的第36项为（ ）
A. B. 36C. D. 6
5. 已知是抛物线焦点， 是该抛物线上的两点， 则线段的中点到轴的距离为（ ）
A B. C. D.
6. 将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，，，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知公比不为1的等比数列的前项和为，，且成等差数列．则（ ）
A. B. C. D.
8. 双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则的面积的最小值为（ ）
A. B. C. 2D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 关于，的方程(其中)表示的曲线可能是（ ）
A. 焦点在轴上的双曲线B. 圆心为坐标原点的圆
C. 焦点在轴上的双曲线D. 长轴长为的椭圆
10. 已知直线与圆交于A､B两点，且（其中O为坐标原点），则实数b的值可以是（ ）
A. B. C. D. 4
11. 已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ）
A. 数列为等比数列B. 数列为等差数列
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线l的一方向向量为，且过点，则直线l的方程为________．
13. 在公比为的正项等比数列中，,则当取得最小值时，__________．
14. 已知椭圆C：1(a>b>0)的左､右焦点分别为，且椭圆C与双曲线C'：1共焦点，若椭圆C与双曲线C'的一个交点M满足，则的面积是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知点P是曲线上的一点，到两点，的距离之差是．
（1）点P的轨迹是什么曲线？写出它的标准方程；
（2）写出该曲线的实半轴长和虚半轴长、离心率、渐近线方程．
16. 已知抛物线焦点为F，点在抛物线上，且的面积为（O为坐标原点）．
（1）求抛物线标准方程；
（2）过点斜率为的直线l与抛物线交于M，N两点，若以MN为直径的圆经过O点，求直线l的方程．
17. 如图，四棱锥P－ABCD中，面，底面ABCD为直角梯形，，，E，F分别为PD，PB的中点．
（1）求证CF∥平面PAD；
（2）若，求截面CEF与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值．
18. 已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足
（1）求数列和通项公式；
（2）令求数列的前n项和；
19. 已知椭圆的焦距为，为的右焦点，为坐标原点，过且垂直于轴的直线与交于、两点（在的上方），且．
（1）求的标准方程；
（2）过点且斜率为的直线与交于不同的两点、（在的左侧）．证明直线与的斜率之差的绝对值为定值．
第一学期高中新课程模块期末考试试题（卷）
高二数学（人教版）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相切B. 相交且直线过圆心
C. 相交但直线不过圆心D. 相离
【答案】C
【解析】
【分析】
求出圆心到直线的距离，与半径比较大小，即可得到结论.
【详解】圆的圆心，半径.
因为圆心到直线的距离
.
所以直线与圆相交但直线不过圆心.
故选：C
2. 若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一个焦点的距离为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】利用椭圆的定义列式计算得解.
【详解】椭圆的长轴长，而点到椭圆一个焦点的距离为7，
所以到另一个焦点的距离为.
故选：A
3. 双曲线的离心率，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由，结合可得解.
【详解】双曲线中，，
又，所以，解得.
故选：C.
4. 已知数列，则该数列的第36项为（ ）
A. B. 36C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】归纳可得该数列的通项公式为，再代入计算可得.
【详解】因为数列，即，
所以归纳可得该数列的通项公式为，
所以.
故选：C
5. 已知是抛物线的焦点， 是该抛物线上的两点， 则线段的中点到轴的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的方程求出焦点和准线方程，利用抛物线的定义，列出方程，求出的中点横坐标，即可求出线段的中点到轴的距离．
【详解】因为是抛物线的焦点，
所以，准线方程，
设，
所以，
所以，
所以线段的中点横坐标为，
所以线段的中点到轴的距离为．
故选：C．
关键点点睛：解题的关键是利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离．
6. 将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，，，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出异面直线与所成角的大小.
详解】
如图所示，建立空间直角坐标系
，，，，，
，
设异面直线与所成角为，
，
，
异面直线与所成角的大小是.
故选：C.
7. 已知公比不为1的等比数列的前项和为，，且成等差数列．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设等比数列的公比为，根据题中条件，列出方程求出首项和公比，再由求和公式，即可得出结果.
【详解】设等比数列的公比为，且，
由题意可得，即，即，解得，
因此.
故选：D.
本题主要考查等比数列前项和基本量的运算，熟记公式即可，属于常考题型.
8. 双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则的面积的最小值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点得到点A的坐标，再根据D是线段OF的中点，得到D点的坐标，继而可以得到直线AD的方程，又由于点B是圆上的点，点B到直线AD距离的最小值也就是圆心O到直线AD的距离d减去半径，即得解.
【详解】根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为，
因此点A的坐标是，点D是线段OF的中点，
则
直线AD的方程为，
点B是圆上的一点，
点B到直线AD距离的最小值也就是圆心O到直线AD的距离d减去半径，即，
则
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 关于，的方程(其中)表示的曲线可能是（ ）
A. 焦点在轴上的双曲线B. 圆心为坐标原点的圆
C. 焦点在轴上的双曲线D. 长轴长为的椭圆
【答案】BC
【解析】
【分析】根据各曲线的定义逐项验证参数的取值即可得出答案.
【详解】解：对于A：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，
则，无解，选项A错误；
对于B：若曲线表示圆心为坐标原点的圆，
则，解得，选项B正确；
对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，
则，所以或，选项C正确；
对于D：若曲线表示长轴长为的椭圆，
则，，
则或，
无解，选项D错误.
故选：BC.
10. 已知直线与圆交于A､B两点，且（其中O为坐标原点），则实数b的值可以是（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】AD
【解析】
【分析】根据可得，分析圆心O到直线的距离．
【详解】圆的圆心,半径
∵则
∴O到直线的距离，则
故选：AD．
11. 已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ）
A. 数列为等比数列B. 数列为等差数列
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先根据递推公式，结合等比数列和等差数列的定义，即可判断AB，再利用累加法，判断C，最后根据通项公式求和，判断D.
【详解】A.由条件，可知，，
且，则，所以数列为等比数列，故A正确；
B.由条件可知，，，，，，数列的前3项2,5,14不能构成等差数列，
所以数列不是等差数列，故B错误；
C.由A可知，，所以时，，
，也适合，故C正确；
D.由C可知，，
所以，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线l的一方向向量为，且过点，则直线l的方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到直线的斜率，结合直线的点斜式，即可求解.
【详解】由直线的一方向向量为，可得直线的斜率为，
又因为直线过点，由直线的点斜式方程得，即.
故答案为：.
13. 在公比为的正项等比数列中，,则当取得最小值时，__________．
【答案】##
【解析】
【分析】先将用与公比表示，利用基本不等式求解即可.
【详解】，
当且仅当即取得最小值时，所以.
故答案为：.
方法点睛：本题考查等比数列的性质，以及基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
14. 已知椭圆C：1(a>b>0)的左､右焦点分别为，且椭圆C与双曲线C'：1共焦点，若椭圆C与双曲线C'的一个交点M满足，则的面积是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由椭圆和双曲线的定义可得，解得，再代入，解得的值，从而得|MF1|､|MF2|和|F1F2|的长，由勾股定理可知，是直角三角形，结合面积公式，即可求解.
【详解】由题意，将双曲线C'：化成标准形式为，
不妨设点M在双曲线的右支上，
则由椭圆和双曲线的定义，可得，解得，
因为，代入可得，解得或 (舍负)，
所以，双曲线的焦距，
显然有，所以是直角三角形，
所以的面积为：.
故答案为：1.
本题主要考查了椭圆和双曲线的定义、标准方程的应用，以及焦点三角形的面积的求解，其中解答中熟练应用椭圆的定义列出方程，求得的值，得出三角形为直角三角形是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知点P是曲线上的一点，到两点，的距离之差是．
（1）点P的轨迹是什么曲线？写出它的标准方程；
（2）写出该曲线的实半轴长和虚半轴长、离心率、渐近线方程．
【答案】（1）以，为焦点的双曲线的左支，
（2）实半轴长为2，虚半轴长为、离心率为、渐近线方程为.
【解析】
【分析】（1）根据已知可得点P的轨迹是双曲线的左支，由题意求，进而可得结果；
（2）根据（1）中结果，结合双曲线的性质求解即可.
小问1详解】
因为P是曲线上的一点，且到两点，的距离之差为，
所以P的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，
由题意可得：，则，
且焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
由双曲线的标准方程为，可知：，，
所以双曲线的实半轴长为2，虚半轴长为、离心率为、渐近线方程为.
16. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且的面积为（O为坐标原点）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点斜率为的直线l与抛物线交于M，N两点，若以MN为直径的圆经过O点，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得，进而将代入抛物线的方程即可求出的值，进而得到抛物线的方程；
（2）经判断可知直线斜率存在，设直线方程为.联立直线与抛物线的方程，由韦达定理得出，，推出.根据已知可得，即，代入即可得到的值.
【小问1详解】
由已知可得，所以.
又点在抛物线上，所以 和 ，所以 ，又，所以，
所以抛物线的标准方程为.
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与抛物线相切，不满足题意，所以直线的斜率存在.
设的斜率为 ，则的方程为，设，，
联立直线的方程与抛物线的方程，可得，
，解得且，，.
又，，所以，，
所以 .
因为以为直径的圆经过点，所以，所以，
即，解得，满足且，
所以直线的方程.
17. 如图，四棱锥P－ABCD中，面，底面ABCD为直角梯形，，，E，F分别为PD，PB的中点．
（1）求证CF∥平面PAD；
（2）若，求截面CEF与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）若为中点，连接，易得且，再结合已知证为平行四边形，进而有，根据线面平行的判定证结论；
（2）构建空间直角坐标系，求截面CEF与底面ABCD的法向量，应用空间向量夹角的坐标公式求二面角余弦值.
【小问1详解】
若为中点，连接，而F为PB的中点，
所以且，
底面ABCD直角梯形，，即，
由，故且，即为平行四边形，
所以，面，面，故CF∥平面PAD.
【小问2详解】
由面，面，故，
由，可构建如下图示的空间直角坐标系，
则，，，，故，，
所以，，若为面CEF法向量，
则，故满足，
又面ABCD的一个法向量为，截面CEF与底面ABCD所成的锐二面角为，
所以，即截面CEF与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.
18. 已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足
（1）求数列和的通项公式；
（2）令求数列的前n项和；
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到，根据通项公式的求法得到结果；
（2）分组求和即可.
【小问1详解】
设的公差为,
由已知,有解得，
所以的通项公式为, 的通项公式为.
【小问2详解】
，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：.
19. 已知椭圆的焦距为，为的右焦点，为坐标原点，过且垂直于轴的直线与交于、两点（在的上方），且．
（1）求的标准方程；
（2）过点且斜率为的直线与交于不同的两点、（在的左侧）．证明直线与的斜率之差的绝对值为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据椭圆焦距定义，结合椭圆通径的性质、三角形面积公式进行求解即可；
（2）设出直线的方程与椭圆方程联立，根据直线斜率公式、一元二次方程根的判别式、根与系数关系进行求解即可；
【小问1详解】
设的焦距为，由题知，则①.
将代入，解得，则②，
联立①②解得，所以的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）知
设，
联立与的方程得，化简整理得，
则，
，，
.
故直线与的斜率之差的绝对值为定值1.