河北省廊坊市2024-2025学年高二上学期期末数学试题（含答案解析）

这是一份河北省廊坊市2024-2025学年高二上学期期末数学试题（含答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 若向量，，，则的值为（ ）
2. 已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
3. 已知，，若为a，c的等差中项，d为a，c的等比中项，则的值为（ ）
4. 如图，在三棱锥中，，且，，两两垂直，M，N分别为，的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（ ）
5. 已知数列，满足：，，则的值为（ ）
6. 已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ）
7. 一条光线从点射出，经直线反射后，与圆：相切，则反射后光线所在直线的斜率为（ ）
8. 已知椭圆与双曲线具有相同焦点，记左、右焦点分别为，，是它们的一个交点，且，记椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最小值是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
9. 在递增的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
10. 如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在上，且，则下列命题正确的为（ ）
11. 已知抛物线方程为，点为抛物线上任意一点，则下列命题正确的为（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为_______．
13. 有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为的形式，则将化为的形式为_______．
14. 如图，矩形中，，，，，点在线段上，点在轴的非负半轴上，且，则与的交点的轨迹所在的曲线方程为_______．（注：可不用标注范围）
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分)
15. 已知以点为圆心的圆A与直线：相切，直线：．
(1)求圆A的标准方程，并求直线所过的定点坐标；
(2)求直线被圆A截得的最短弦长及此时直线的方程．
16. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且．
(1)求证：；
(2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值．
17. 在各项均为正数的数列中，，，
(1)设，求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)求证：．
18. 经过抛物线：上一点（除坐标原点外），作垂直于轴的直线与轴交于点．若．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线交于A，B两点，且，过坐标原点O，作交于点D，问平面内是否存在定点N，使垂足点D到N点的距离为定值，若存在，求出定点N的坐标；若不存在，说明理由．
19. 在数列研究中，后一项与前一项的关系往往是人们关注的重点．例如：对于数列1，2，4，7，11，16，…，用其后一项减去前一项可得新数列：1，2，3，4，5，…，进而可利用等差数列的相关知识研究原数列．类比上述过程，一般地，对于数列，记，，，，则称数列为数列的“阶差数列”．
(1)已知，，求，，，；
(2)已知，若，且对恒成立，求的取值范围；
(3)已知，设为任意正数．证明：存在，当，，时总有．
河北省廊坊市2024-2025学年高二上学期期末数学试题
整体难度：适中
考试范围：空间向量与立体几何、平面解析几何、数列、等式与不等式、函数与导数、集合与常用逻辑用语
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．4
B．5
C．6
D．7
A．
B．
C．
D．
A．3
B．4
C．2或
D．2或4
A．
B．
C．
D．
A．1
B．2
C．4
D．8
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．±3
D．
A．
B．4
C．
D．5
A．
B．
C．数列是等比数列
D．数列是公差为1的等差数列
A．
B．当的长度最小时，
C．平面
D．存在使得与平面的夹角为
A．抛物线的准线方程为
B．点到点距离的最小值为
C．经过坐标原点与抛物线相切的两条切线互相垂直
D．点到直线的距离最小值为
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
6
适中
11
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
求空间向量的数量积；空间向量的坐标运算
2
0.85
已知方程求双曲线的渐近线；由双曲线的离心率求参数的取值范围
3
0.85
等差中项的应用；等比中项的应用
4
0.65
异面直线夹角的向量求法
5
0.65
由递推数列研究数列的有关性质；数列周期性的应用
6
0.65
由弦中点求弦方程或斜率
7
0.65
光线反射问题(2)——直线关于直线对称；过圆外一点的圆的切线方程
8
0.65
求椭圆的离心率或离心率的取值范围；求双曲线的离心率或离心率的取值范围；双曲线定义的理解；基本不等式“1”的妙用求最值
二、多选题
9
0.85
判断等差数列；由定义判定等比数列；等比数列通项公式的基本量计算；求等比数列前n项和
10
0.65
空间位置关系的向量证明；线面角的向量求法
11
0.65
已知切线（斜率）求参数；根据抛物线方程求焦点或准线；求点到直线的距离；抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
三、填空题
12
0.94
由两条直线平行求方程
13
0.85
常用数集或数集关系应用
14
0.65
轨迹问题——椭圆
四、解答题
15
0.85
由圆心（或半径）求圆的方程；直线过定点问题；圆的弦长与中点弦；已知圆的弦长求方程或参数
16
0.65
空间位置关系的向量证明；面面角的向量求法；锥体体积的有关计算
17
0.65
由递推关系证明等比数列；错位相减法求和；写出等比数列的通项公式；求等比数列前n项和
18
0.65
根据抛物线上的点求标准方程；直线与抛物线交点相关问题；抛物线中存在定点满足某条件问题；根据韦达定理求参数
19
0.15
累加法求数列通项；由递推数列研究数列的有关性质；求等比数列前n项和；数列新定义
序号
知识点
对应题号
1
空间向量与立体几何
1,4,10,16
2
平面解析几何
2,6,7,8,11,12,14,15,18
3
数列
3,5,9,17,19
4
等式与不等式
8
5
函数与导数
11
6
集合与常用逻辑用语
13