河北省石家庄市第二中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份河北省石家庄市第二中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知幂函数在上单调递减，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．对于实数a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．存在，使得B．若，则
C．若，则D．存在，使得
6．下列函数既是奇函数，又在定义域上单调递减的是（ ）
A．（为常数，）B．
C．D．
7．已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数在上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知集合，，则（ ）
A．，B．，
C．若，则D．若，则
10．已知关于的不等式的解集为，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．的解集为D．
11．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．若a，b为正实数，则的最大值为
D．若，则的最小值为
三、填空题
12．若函数则 .
13．已知函数是奇函数，则 .
14．若存在，，则实数的最大值为 ．
四、解答题
15．已知：，，：或.
(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题p是真命题，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围.
16．已知，.
(1)若，求M；
(2)若，且满足，求实数的值；
(3)若，求实数的取值范围.
17．某芯片生产企业准备再建一条AI芯片生产线，在现有条件下，每月生产（千片）芯片，每片芯片售价0.3万元且全部销售完.该生产线每月需投入500万元的固定成本，另需投入的成本（万元）与的关系满足：
(1)求每月的利润（万元）关于月产量（千片）的函数解析式（利润=销售额-成本）；
(2)求该企业每月所获取的最大利润及相应的月产量.
18．已知函数满足：对任意正实数x，y，.
(1)求；
(2)是否存在整数k，使得函数是偶函数?证明你的结论；
(3)若时，，证明：在上单调递减.
19．权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．更一般的元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解决下列问题：（其他方法不给分）
(1)已知均为正实数，且，求证：；
(2)已知均为正实数，且，求的最小值；
(3)对任意实数，，不等式恒成立，求正实数a的取值范围．
1．B
由交集的运算可得.
【详解】因为集合，，∴.
故选：B.
2．B
由存在量词命题的否定为全称量词命题可得答案.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选：B.
3．D
根据幂函数的定义以及在第一象限的单调性求解出的值，代入解析式可求结果.
【详解】函数为幂函数，，
，又在上单调递减，，
，，
故选：D．
4．A
利用基本不等式先求的范围，进而求解.
【详解】因为（当且仅当，即时，取等号），
所以，但，所以是的充分不必要条件，
故选：A.
5．C
由条件结合不等式性质逐项判断各选项即可.
【详解】对于A，∵，∴，A不正确；
对于B，当时，由 ，可得，B不正确；
对于C，若，则，
∴，，，
∴，两边同除以，得，C正确；
对于D，若，则，所以，D不正确.
故选：C.
6．C
直接由解析式判断ABD，利用复合函数的单调性和奇函数的性质可得C.
【详解】对于A，该函数是反比例函数且是奇函数，在与上分别单调递减，A不正确；
对于B，是奇函数且在上单调递增，B不正确；
对于C，与均是减函数，∴在上单调递减，
∵，∴是奇函数，C正确；
对于D，是上的增函数，D不正确.
故选：C.
7．D
利用函数的单调性和奇偶性并根据不等式分类讨论，进而求解.
【详解】由题意知在上单调递减，且，
由或，
即或，
解得或，
故选：D.
8．A
结合题意由二次函数的单调性和分段函数在间断点处函数值列不等式组，再解不等式即可.
【详解】因为函数在上单调递减，
所以
即
∴.
故选：A
9．BD
对于ABC：根据集合间的运算求解分析判断；对于D：根据包含关系列式求解即可.
【详解】，，
对于A，，故A不正确；
对于B，，则，故B正确；
对于C，，若，则，所以，故C不正确；
对于D，，若，则，故D正确.
故选：BD.
10．ACD
根据一元二次不等式的解集和二次函数图象之间关系可知A错误；根据解集与一元二次方程根之间关系，结合韦达定理可用表示，由此依次判断BCD选项即可.
【详解】对于A，的解集为，即函数图象在轴下方的图象对应的的取值范围为，
，A错误；
对于B，的解集为且，
的两根分别为和，
，，B正确；
对于C，，，
，，解得：，
的解集为，C错误；
对于D，，D错误.
故选：ACD.
11．ABD
由基本不等式结合指数的运算可得A；由基本不等式可判断B，由基本不等式的乘“1”法可判断CD.
【详解】对于A，易知，可得，当且仅当时取等号，A正确；
对于B，，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，若a，b为正实数，则（当且仅当时，取等号），C不正确；
对于D，若，则，，
所以
（当且仅当，即时，取等号），D正确.
故选：ABD.
12．2
由分段函数解析式代入可得.
【详解】，，则.
故答案为：2.
13．
解法一：由在处有定义的奇函数，利用即可求解；
解法二：利用奇函数的定义得，进而求解.
【详解】解法一：∵在处有定义，
∴是为奇函数的必要不充分条件，
由解得（舍去），
经检验，时，为奇函数.
故答案为：.
解法二：由为奇函数得，
即，
解得（舍去）.
故答案为：.
14．
分离参数，根据存在得到，再利用换元法求出的最大值即可.
【详解】原不等式化为
存在
只需，
令，则，
当且仅当，即时，等号成立，
，则实数的最大值为
15．(1)
(2) .
（1）先求，分和两种情况讨论，即可求解；
（2）先求命题p为真命题时，的范围，再由q是p的必要不充分条件即可求解.
【详解】（1）：，，
∵是真命题，∴当时，显然成立；
当时，，∴.
综上所述，实数的取值范围是；
（2）若为真命题，则当时，则，显然不成立；
当时，，解得或.
∴p为真命题时，或.
∵q是p的必要不充分条件，∴，且，
∴且，即，
∴实数的取值范围是 .
16．(1)
(2)或.
(3).
（1）先求集合，由，得为集合的子集，进而求解；
（2）由题意得是关于的方程的两个不等实数根，即，由韦达定理得，，代入即可求解；
（3）由得，分和两种情况讨论，进而求解.
【详解】（1）由，解得或，所以，
∵，∴为集合的子集，
∴；
（2）∵，
∴是关于的方程的两个不等实数根，
则，即，
且，，
∴.
解得或，均满足.
∴或；
（3）∵，∴.
当时，，此时.
当时，B中有一个元素或两个元素，
当B中有一个元素时，，解得，此时，满足条件；
当B中有两个元素时，，即1，3是关于x的方程的两个根，
由（2）得，且，，无解.
综上，实数的取值范围是.
17．(1)
(2)最大利润是800万元，此时月产量为50000片.
（1）根据，分、分别求出函数解析式，即可得解；
（2）当时根据二次函数的性质求出最大值，当时利用基本不等式求出最大值，即可得解.
【详解】（1）当月产量为千片时，销售额为（万元），
∴ ，
又
当时
，
当时
，
所以
（2）当时，
，
当且仅当时取等号.
当时，，
当且仅当，即时，取等号，
∵，
∴该企业每月所获取的最大利润是万元，此时月产量为片.
18．(1)
(2)不存在，证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）在中，
令，得，
∴
（2）不存在整数k，使得函数是偶函数
证明：由题意可知的定义域为，故不关于原点对称，
故不存在整数k，使得函数是偶函数
（3）证明：对于任意，不妨设，
则，
即，，
∴由题意得，
∴
，
∴在上单调递减.
19．(1)证明见解析
(2)36
(3).
【详解】（1）证明：因为均为正实数，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
（2）因为均为正实数，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为36.
（3）对任意实数，，不等式恒成立，
又，则只需，
因为，所以，
所以，
设，则，
当且仅当
即时，两个等号同时成立，
故.