河北省唐山市2025-2026学年度高二年级第一学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河北省唐山市2025-2026学年度高二年级第一学期期末考试数学试题（原卷版+解析版），共22页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在数列中，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线的方程为，则的倾斜角为（ ）
A. B. 60°C. 120°D. 150°
3. 三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（ ）
A. -1B. 1C. -2D. 2
4. 椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5. 在正方体中，为棱中点，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 过圆：上的动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形周长的最大值为（ ）
A. 8B. 16C. D.
8. 经过抛物线焦点直线与抛物线交于两点，若，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知等差数列的公差为，前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知点，动点满足，设动点的轨迹为，下列说法正确的是（ ）
A. 的方程为
B. 上存在点在直线上
C. 上存在点到点的距离为8
D. 与圆的公共弦所在的直线方程为
11. 在正三棱柱中，，则（ ）
A. 直线与所成角的正切值为
B. 直线与平面所成角的余弦值为
C. 若为直线上一动点，则的最小值为
D. 三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则___________．
13. 已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，，则线段的中点坐标为___________．
14. 已知双曲线的右焦点为，实轴长为4，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，为圆上一点，则的最小值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的首项，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
16. 已知圆，直线．
（1）求的圆心坐标与半径；
（2）求直线被圆截得的弦的长度；
（3）过点作圆的切线，求切线所在直线的方程．
17. 记数列的前项和为，已知，数列满足：．
（1）求的通项公式；
（2）求证：数列为等差数列，并求的通项公式．
18. 如图，和所在平面垂直，且．
（1）当时，求的值；
（2）当时，求点到平面距离；
（3）求平面和平面夹角的余弦值．
19. 已知椭圆经过点，离心率为，直线的方程为．
（1）求的方程；
（2）过的左焦点的直线与交于两点．
（i）求（为坐标原点）面积的最大值；
（ii）为上的动点，记直线的斜率之和为，求．
2025-2026学年度高二年级第一学期期末考试
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在数列中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数列递推公式，先由首项求出，再由求出.
【详解】已知，根据递推公式（），
当时，；
当时，.
故选：C.
2. 已知直线的方程为，则的倾斜角为（ ）
A. B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】D
【解析】
【分析】先由方程求出直线的斜率，再求出直线倾斜角即可.
【详解】直线的方程为，，故直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，又，即.
故选：D.
3. 三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（ ）
A. -1B. 1C. -2D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】三棱锥中，由题意可得任意两条棱的夹角为60°，又分别是的中点，再根据数量积的定义求解．
【详解】
分别是的中点，且，即，
又三棱锥的所有棱长都为，任意两条棱的夹角为60°，
，
故选：A.
4. 椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆的定义求出，即可求出，从而求出离心率.
【详解】由题意及椭圆的定义可知，即，
又，，
则离心率为.
故选：D.
5. 在正方体中，为棱的中点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用、、表示向量、、，利用空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出的值.
【详解】如下图所示：
因为为的中点，所以，
又因为，，且，
即
，
显然、、不共面，所以，解得，故.
故选：C.
6. 已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设圆心，根据结合平面内两点间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，可得出圆心的坐标，进而可求出圆的半径，即可得出圆的方程.
【详解】根据题意设圆心，因为圆经过、两点，则，
所以，解得，
故圆心为，圆的半径为，
故圆的方程为.
故选：C.
7. 过圆：上的动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形周长的最大值为（ ）
A. 8B. 16C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由勾股定理表示出切线长以及所求周长，根据几何关系可得当共线且按此顺序排列时取得最大值，计算求解即可.
【详解】由题意，，
四边形周长为，
当共线且按此顺序排列时，，
则四边形周长最大值为16，
故选：B.
8. 经过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，若，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据焦半径公式并结合条件，得到点的横坐标，即可求得弦长.
【详解】由题意得，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设，，
，根据抛物线的定义可知①，
又，，即②，
由①②可得，
.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知等差数列的公差为，前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据条件列方程组求出首项和公差，再结合等差数列的通项公式和求和公式逐一求解.
【详解】由可得，，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
因为，所以，故D正确.
故选：ACD
10. 已知点，动点满足，设动点轨迹为，下列说法正确的是（ ）
A. 的方程为
B. 上存在点在直线上
C. 上存在点到点的距离为8
D. 与圆的公共弦所在的直线方程为
【答案】AD
【解析】
【分析】对A，设，由坐标化化简得解；对B，求出圆心到直线的距离与半径比较得解；对C，求出圆心到点的距离分析判断；对D，将两圆方程相减得解.
【详解】对于A，设，由，则，
化简得，所以点的轨迹的方程为，故A正确；
对于B，由的方程为，圆心到直线的距离，
所以直线和圆相离，即上不存在点在直线上，故B错误；
对于C，设圆的圆心为，半径，
则圆心到点的距离为，
所以圆上点到点的距离满足，即，
故上不存在点到点的距离为8，故C错误；
对于D，由，得，所以与圆的公共弦所在的直线方程为，故D正确.
故选：AD.
11. 在正三棱柱中，，则（ ）
A. 直线与所成角的正切值为
B. 直线与平面所成角的余弦值为
C. 若为直线上一动点，则最小值为
D. 三棱锥的外接球的表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，可通过平移直线找到角，再利用三角函数求解；对于B，可通过建立空间直角坐标系，利用向量法求解；对于C，可通过向量法求解；对于D，可通过确定球心位置，利用勾股定理求出半径，进而求出表面积.
【详解】选项A，如图取中点，连接，
因为是正三角形，所以，又正三棱柱中平面平面，平面平面，平面，所以平面，
因为，所以就是直线与所成的角，
在正中，，则，，，，，
取中点，连接，则，
，，所以选项A正确；
选项B，如图以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
，所以选项B错误；
选项C，，
设，则，
，
当时，取得最小值，所以选项C正确；
选项D，设的外接圆半径为，由正弦定理，得，
设三棱锥的外接球半径为，球心为到平面的距离为，
则，
所以外接球的表面积，所以选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则___________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据平面法向量性质，结合空间向量平行的性质的坐标运算进行求解即可.
【详解】，直线的一个方向向量与平面的一个法向量垂直，
，解得.
故答案为：.
13. 已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，，则线段的中点坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】设直线方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理、向量垂直的条件求出直线方程，进而求出线段的中点坐标.
【详解】斜率为1的直线，设直线的方程为，，
联立，即，，
又，，
，则，又，
，即，解得或，
当时，直线过原点，则点不能构成三角形，故，
，
设线段的中点坐标为，
则，
则线段的中点坐标为.
故答案为：.
14. 已知双曲线的右焦点为，实轴长为4，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，为圆上一点，则的最小值为___________．
【答案】6
【解析】
【分析】利用已知条件先求出双曲线方程，再利用双曲线定义把转化到，然后再利用到圆上的动点距离转化到圆心的距离，最后易得距离之和的最小值.
【详解】
双曲线的实轴长为4，得，即，
由渐近线方程为，得，即，
双曲线方程为，，
双曲线的右焦点为，左焦点为，
由双曲线的定义得，
为圆上一点，圆心，半径，
，即，
而，的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的首项，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的下标性质和等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）运用裂项相消法进行求解即可.
【小问1详解】
因为数列等差数列，
所以由，
又因为，所以公差，
所以.
【小问2详解】
由（1）得
所以
.
16. 已知圆，直线．
（1）求的圆心坐标与半径；
（2）求直线被圆截得的弦的长度；
（3）过点作圆的切线，求切线所在直线的方程．
【答案】（1）圆心坐标为，半径为4.
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）通过配方法将圆的一般方程转化为标准方程，进而得到圆心坐标和半径；
（2）先求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理即可求出弦长；
（3）分切线斜率存在和不存在两种情况进行讨论，当斜率存在时，利用圆心到切线的距离等于半径求出斜率，进而得到切线方程.
【小问1详解】
圆，
所以的圆心坐标为，半径为.
【小问2详解】
圆心到直线的距离，
所以.
【小问3详解】
，故点在圆外，
当切线的斜率不存在时，过点的方程为，此时的圆心坐标为到直线的距离为，故直线不是圆的切线；
当切线的斜率存在．设切线所在直线的方程为，
即，则圆心到直线的距离，
整理得，解得或，
所以切线所在直线的方程为或.
17. 记数列的前项和为，已知，数列满足：．
（1）求的通项公式；
（2）求证：数列为等差数列，并求的通项公式．
【答案】（1）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）利用的关系即可求出；
（2）利用等差数列的定义即可证明数列为等差数列，进而求出的通项公式.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
当时，成立，
综上，.
【小问2详解】
因为，等式两边同时除以，可得，
又，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
，即.
故的通项公式为.
18. 如图，和所在的平面垂直，且．
（1）当时，求的值；
（2）当时，求点到平面的距离；
（3）求平面和平面夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直性质定理证明线面垂直，建立空间直角坐标系，求直线和直线的方向向量，利用向量方法证明结论.
（2）求出平面的法向量，利用点到平面距离公式求解即可.
（3）分别求出平面和平面的法向量，然后利用平面夹角公式求解即可.
【小问1详解】
如图，在平面内，过点作交于点；在平面内，过点作交于点．
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.
以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，
由可得，解得.
【小问2详解】
设平面的法向量为．
当时，，
则即取.
所以点到平面的距离.
【小问3详解】
由(2)可知平面的一个法向量为，与的值无关.
平面的一个法向量为.
所以平面和平面的夹角的余弦值为.
19. 已知椭圆经过点，离心率为，直线的方程为．
（1）求的方程；
（2）过的左焦点的直线与交于两点．
（i）求（为坐标原点）面积的最大值；
（ii）为上的动点，记直线的斜率之和为，求．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）代入所过点，结合离心率建立方程，求解即可；
（2）（i）设直线的方程为，与椭圆联立，结合韦达定理表示出面积，换元之后利用函数单调性求最大值即可；
（ii）由韦达定理化简直线的斜率之和，再求即可.
【小问1详解】
由题意得
解得
故椭圆的方程为.
【小问2详解】
（i）由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为．
联立得.
设，则，
所以
令，
设，易知在单调递增，
所以当，即时，取得最小值，，
此时取得最大值.
（ii）在（i）中．
所以
.
因此.