北师大版数学七上期末培优训练专题13 一元一次方程的应用（12大题型）（2份，原卷版+解析版）

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1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
注意：
（1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，及它们之间的关系，寻找等量关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
2 .建立书写模型常见的数量关系
1）公式形数量关系：生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。
长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长
2）约定型数量关系：利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。
3）基本数量关系：在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。
单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量等。
3.分析数量关系的常用方法
1）直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
2）列表分析数量关系：当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
3）图解法分析数量关系：用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。
题型1 分段计费问题
【解题技巧】总费用=未超标部分的费用+超标部分的费用。
已知费用求需判定的所属范围；若无法知道费用对应的具体范围时，需对其进行不同范围的分类讨论。
注：需审题仔细，看清计费标准是否有“超过部分”。
常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等
1．（2022·福建·上杭县第三中学七年级阶段练习）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，如表中是某省的电价标准（每月），例如：王女士家6月份用电420度，电费＝180×0.6＋220×0.7＋20×0.9＝280元，实行“阶梯价格”收费以后，居民用电__________千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时恰好为0.65元．
2．（2022·海南鑫源高级中学八年级期中）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过10吨（含10吨）时，水价为每吨1.2元；每月超过10吨，超过部分按每吨1.8元收费．
(1)小黄家5月份用水15吨，应交水费多少元？
(2)该市某户6月份用水量为吨（x＞10），应交水费为元，写出与之间的函数关系式；
3．（2022·浙江绍兴·一模）为节约用水，某市居民生活用水按级收费，水费分为三个等级（如图）；
例如：某户用水量为35吨，则水费为（元）．
(1)若某住户收到一张自来水总公司水费专用发票，其中上期抄表数为587吨，本期抄表数为617吨，请计算本期该用户应付的水费．(2)若该住户的用水量为x吨，应付水费为y元，求出y关于x的函数表达式．(3)小明爸爸收到水费短信通知：2022年2月本期用水量为45吨，水费为150.5元．根据此通知求出第三级收费标准a的值．
4．（2022·辽宁大连·）下表是中国移动两种“G套餐”计费方式（月租费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费）
（1）若某月小张主叫通话时间为260分钟，上网流量为4G，则他按方式一计费需________元，按方式二计费需_______元；（2）若某月小张按方式二计费需78元，主叫通话时间为320分钟，则小张该月上网流量为多少G？（3）若某月小张上网流量为G，是否存在某主叫通话时间t（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
5．（2022·浙江杭州·）为提高公民的社会责任感，保证每个纳税人公平纳税，调节不同阶层贫富差距，营造“纳税光荣”社会氛围，2019年我国实行新的《个人收入所得税征收办法》，将个人收入所得税的起征点提高至5000元（即全月个人收入所得不超过5000元的，免征个人所得税）：个人收入超过5000元的，其超出部分称为“应纳税所得额”，国家对纳税人的“应纳税所得额”实行“七级超额累进个人所得税制度”该制度的前三级纳税标准如下：
（1）若某人1月份应纳税所得额为2900元，应纳税______元．
（2）若甲1月份应纳税所得额为x元且时，则甲应纳税__________元（用含x的代数式表示并化简）．（3）若小明的爸爸1月份应纳税1390元，应纳税所得额为多少元？
6．（2022·浙江杭州·七年级期中）为充分发挥市场机制和价格杠杆在水资源配置中的作用，促进节约用水，提高用水效率，2017年7月1日起某地实行阶梯水价，价目如表（注：水费按月结算，表示立方米）：
例：某户居民5月份共用水，则应缴水费（元）．
（1）若A居民家1月份共用水，则应缴水费_______元；
（2）若B居民家2月份共缴水费66元，则用水_________；
（3）若C居民家3月份用水量为（a低于，即），且C居民家3、4两个月用水量共，求3、4两个月共缴水费多少元？（用含a的代数式表示）
（4）在（3）中，当时，求C居民家3、4两个月共缴水费多少元？
题型2.方案优化问题
解题技巧：此类题型，一般会提供多种方案供选择，要求我们选出最合算的方案。解此类题型有2种思路。
思路1：分别求解出每种方案的最终费用，在比较优劣
思路2：求解出每种方案费用相同时的临界点，在根据临界点进行讨论分析。
1．（2022·仪征市实验初中七年级月考）现有甲、乙两个瓷器店，出售茶壶和茶杯，茶壶每只价格20元，茶杯每只5元，已知甲店制定的优惠方法是：买一只茶壶送一只茶杯，乙店为总价的 90%付款，现某单位需购买茶壶10只，茶杯若干只（不少于10只）：
（1）当购买茶杯多少时，两种优惠方法一样？
（2）当购买40只茶杯时，请聪明的你去办这件事，你打算怎样购买更省钱？请通过计算说明理由．
2．（2022·山东青岛·八年级期末）某单位计划组织员工到某地旅游，参加旅游人数为40人，景点票价为每人30元，该景点规定满40人可购买八折的团队票，当天恰逢母亲节活动所有女士可打五折，但是不能同时享受两种优惠，若团队中有女士x人，请你帮助他们选择购票方案．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校期中）工厂制作大小两种长方体纸盒的尺寸如下：（单位：cm，接头处忽略不计）
(1)做一个大纸盒和一个小纸盒共用料多少平方厘米（用含m、n的代数式表示）？
(2)当，时，求制作一大一小两个纸盒共用料多少平方厘米？
(3)班级现计划购买大纸盒10个，小纸盒a个（），现从A，B两家商店了解到；两家商店的纸盒价格相同，大纸盒每个1.9元，小纸盒每个0.5元．A商店的优惠政策为：每买一个大纸盒赠送一个小纸盒，B商店的优惠政策为：大小纸盒都按八折优惠．那么学校到两家商店购买各应付款多少元（用含a的式子表示）？若规定只能选择一家商店购买，当a为何值时，到两家商店购买付款一样多？
4．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学七年级期中）某中学全体教师集体出去参观考察，出发前去购买饮用水．学校附近有两家超市同一款矿泉水的单价均为1.5元，但优惠策略不同，A超市：一律打九折优惠；B超市：买5瓶赠送一瓶，如果需要购买120瓶矿泉水．(1)去哪家超市比较便宜？(2)比原价能便宜多少钱？
5．（2022·湖北武汉·七年级期末）如表中有两种移动电话计费方式：
其中，月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费．
(1)如果某月主叫时间500min，按方式二计费应交费______元；
(2)如果某月的主叫时间为350min时，两种方式收费相同，求a的值；
(3)在（2）的条件下，如果每月主叫时间超过400min，选择哪种方式更省钱？
6．（2022·湖南长沙七年级期末）明德中学某班需要购买20本笔记本和x(x＞40)支圆珠笔作为期末考试的奖品，笔记本每本8元，圆珠笔每支0.8元．现有甲、乙两家文具店可供选择，甲文具店优惠方法：买1本笔记本赠送2支圆珠笔；乙文具店优惠方法：全部商品按九折出售．
(1)求单独到甲，乙文具店购买奖品，应各付多少元？
(2)圆珠笔买多少支时，单独到甲文具店和单独到乙文具店购买所花的总钱数一样多？
(3)若该班需要购买60支圆珠笔，则怎么样购买最省钱？写出购买方案．
题型3 行程问题
解题技巧：行程问题总公式为：路程=速度×时间。
解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．
行程问题可分为四大类，不同类型的问题，在求解速度时有所不同，具体如下：
①相遇问题（或相向问题）：
速度和×时间=总路程
②追及问题：
同时不同地：
速度差×时间=起点间的距离
同地不同时：
速度差×时间=先行路程
不同时不同地：
速度差×时间=起点间的距离+先行路程
③航行问题：（1）顺流速度=静水速度+水流速度；（2）逆流速度=静水速度-水流速度。
④火车过桥问题：火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意的是从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的基本数量关系为：车速×过桥时间=车长+桥长。
1．（2022·福建泉州·七年级期末）轮船在河流中来往航行于A、两码头之间，顺流航行全程需小时，逆流航行全程需小时，已知水流速度为每小时，求、两码头间的距离．若设A、两码头间距离为，则所列方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江苏·七年级单元测试）一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以40km/h的速度前进，突然，6号队员以50km/h的速度独自行进，行进15km后掉转车头，仍以50km/h的速度往回骑，直到与其他队员会合．设6号队员从离队开始到与队员重新会合经过了xh，则x为（ ）
A．1.5B．0.75C．D．
3．（2022·四川广元·七年级期末）已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米．
4．（2022·青岛市崂山七年级开学考试）一辆货轮往返于上下两个码头，逆流而上需用38小时，顺流而下需用32小时，若水流速度为8千米/时，则下列求两码头距离 的方程正确的是( )
A．.B．C．D．
5．（2022·黑龙江·大庆市第四十四中学校期末）甲乙两车分别从A、B两城同时相对开出，经过4小时，甲车行了全程的80%，乙车超过中点13千米，已知甲车比乙车每小时多行3千米，A、B两城相距多少千米？
6．（2022·山西浑源·初一期末）七年级开展迎新年“迷你小马拉松健身跑”活动，跑步路线为学校附近一段笔直的的健身步道，全长4200米．甲、乙两名同学相约健身，二人计划沿预定路线由起点A跑向终点B．由于乙临时有事，于是甲先出发，3分钟后，乙才出发．已知甲跑步的平均速度为150米/分，乙跑步的平均速度为200米/分．根据题意解决以下问题：（1）求乙追上甲时所用的时间；（2）在乙由起点A到终点B的过程中，若设乙跑步的时间为m分，请用含m的代数式表示甲乙二人之间的距离；（3）当乙到达终点B后立即步行沿原路返回，速度降为50米/分．直接写出乙返回途中与甲相遇时甲离终点B的距离．
题型4工程问题
【解题技巧】我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。
工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。
1．（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）整理一批图书，由一个人做要30小时完成，现计划由一部分人先做3小时，然后增加2人与他们一起做6小时，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？如果设安排x人先做3小时，下列四个方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·南阳市宛城区官庄镇第一初级中学七年级阶段练习）一项筑路工程，甲队单独完成需要80天，乙队单独完成需要120天．若甲队每天比乙队多筑路50米，求这项工程共需筑路多少米？
3．（2022·河南三门峡·七年级期末）整理一批快递，如果由一个人单独做要用20小时，现先安排一部分人用1小时整理，随后又增加4人和他们一起做了2小时，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么应先安排多少人整理这批快递？
4．（2022·吉林·东北师大附中七年级期中）[教材改编]改编华师版七年级下册数学教材第19页的部分内容．
问题3 课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天”就停住了．根据以上信息解答下列问题：
（1）两人合作需要__________天完成．
（2）李老师选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出：现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到报酬450元，如果按各完成工作量计算报酬，那么该如何分配？
[拓展]在问题3中，如果两人合作完成后共得报酬450元，工作量相同部分的报酬，师徒按3：2分配，余下的工作量所得报酬分配给该部分完成者，请直接写出师徒各得的报酬．
5．（2022·广西桂林·七年级期末）甲、乙两工程队共同承包了一段长9200米的某“村村通”道路硬化工程，计划由两工程队分别从两端相向施工．已知甲队平均每天可完成460米，乙队平均每天比甲队多完成230米．（1）若甲乙两队同时施工，共同完成全部任务需要几天？（2）若甲乙两队共同施工5天后，甲队被调离去支援其他工程，剩余的部分由乙队单独完成，则乙队需再施工多少天才能完成任务？
6．（2022·黑龙江）某中学库存若干套桌凳，准备修理后支援贫困山区学校，现有甲、乙两木工组，甲每天修桌凳16套，乙每天修桌凳比甲多8套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费．（1）问该中学库存多少套桌凳？（2）在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③甲、乙合作同时修理．请你通过计算说明哪种方案省钱．
题型5 商品销售问题
【解题技巧】此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。
实际售价＝标价×打折率 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
在解决复杂商品销售问题时，通常会多设原价为a这个未知数，虽然在解题过程中，这个未知数会被消掉。但是，若不设这个未知数，许多关系就不好表达了。
1．（2022·山西·右玉县第三中学校七年级期末）把一批上衣按进价提高50%后作为售价，因打6折促销，售价相应调整为90元，打折后每件上衣（ ）
A．赚20元B．赚10元C．亏20元D．亏10元
2．（2022·重庆十八中两江实验中学九年级阶段练习）万盛是重庆茶叶生产基地和名优茶产地之一，以“重庆第一泡 万盛茶飘香”为主题的采茶制茶、品茶赏茶、茶艺表演活动在万盛板辽湖游客接待中心开幕，活动持续两周，活动举办方为游客准备了三款年的新茶：清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗．第一批采制的茶叶中清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗的数量盒之比为：：．由于品质优良宣传力度大，网上的预订量暴增，举办方加紧采制了第二批同种类型的茶叶，其中清明香增加的数量占总增加数量的，此时清明香总数量达到三种茶叶总量的，而云雾毛尖和滴翠剑茗的总数量恰好相等．若清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗三种茶叶每盒的成本分别为元、元、元，清明香的售价为每盒元，活动中将清明香的供游客免费品尝，活动结束时两批茶叶全部卖完，总利润率为，且云雾毛尖的销售单价不高于另外两种茶叶销售单价之和的，则滴翠剑茗的单价最低为______元．
3．（2022·甘肃·甘州中学七年级期末）元旦节期间，百货商场为了促销，每件夹克按成本价提高50%后标价，后因季节关系按标价的8折出售，每件仍盈利20元，这批夹克每件的成本价是多少元？
4．（2022·山东·日照市北京路中学七年级期末）某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，加价50%作为售价；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件售价为_____元，乙种商品每件的利润为 元，利润率为 ％．
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
(3)按以下优惠条件，若小梅一次性购买乙种商品实际付款504元，则此次小梅在该商场最多购买乙种商品多少件？
5．（2022·辽宁·阜新蒙古族自治县蒙古贞初级中学七年级期末）某水果销售店用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
(1)这两种水果各购进多少千克？
(2)若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元？
6．（2022·重庆实验外国语学校九年级二模）4月30日，某水果店购进了100千克水蜜桃和50千克苹果，苹果的进价是水蜜桃进价的1.2倍，水蜜桃以每千克16元的价格出售，苹果以每千克20元的价格出售，当天两种水果均全部售出，水果店获利1800元．（1）求水蜜桃的进价是每千克多少元？
（2）5月1日，该水果店又以相同的进价购进了300千克水蜜桃，第一天仍以每千克16元的价格出售，售出了8a千克，且售出量已超过进货量的一半．由于水蜜桃不易保存，第二天，水果店将水蜜桃的价格降低了a%，到了晚上关店时，还剩20千克没有售出，店主便将剩余水蜜桃分发给了水果店员工们，结果这批水蜜桃的利润为2660元，求a的值．
题型6 比赛积分问题
解题技巧：此类问题，主要是通过积分来列写等式方程。需要注意，有些比赛结果只有胜负；有的比赛结果又胜负和平局。
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数 比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分
1．（2022·湖南娄底·七年级期中）2022年2月6日女足亚洲杯决赛，在逆境中铿锵玫瑰没有放弃，逆转夺冠！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，某班开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该班获胜的场数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．（2022·福建福州·七年级期末）姚明在一次“NBA”比赛（美国篮球联赛）中，22投14中得28分，除了3个三分球全部投中外，他还投中了______________个两分球和______________个罚球（一分球）．
3．（2022·黑龙江哈尔滨·一模）某年全国足球甲级A组的前11场比赛中，某队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了________场．
4．（2022·江西宜春·七年级阶段练习）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．
5．（2022·安徽合肥·七年级期末）聪聪同学到某校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如表）：
聪聪同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙解决：
(1)从表中可以看出，负一场积 分，胜一场积 分；
(2)某队在比完22场的前提下，胜场总积分能等于负场总积分吗？请说明理由．
6．（2022·山西七年级期中）某电视台组织学习党史知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对一题得5分，可以选择不答，下表记录的是3名参赛者的得分情况．
（1）由表格知，不答一题得______分，答错一题扣______分．
（2）某参赛者D答错题数比不答题数的2倍多1题，最后得分为64分，他答对几道题？
（3）在前10道题中，参赛者E答对8题，1题放弃不答，1题答错，则后面10题中，至少要答对几题才有可能使最后得分不低于79分？为什么？
题型7 配套问题
【解题技巧】因工艺上的特点，某几个工序之间存在比例关系，需这几道工序的成对应比例才能完全配套完成，这类题型为配套问题。配套问题，主要利用配套的比例来列写等式方程。
“配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的零件数；（3）不同零件的配套比。利用（3）得到等量关系，先构造分式方程，再利用比例的性质交叉相乘积相等得到一元一次方程。
1．（2022·河南·郑州市七年级期末）新型冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产400个口罩面或500个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下列所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·山东菏泽·八年级期中）某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织初一年级200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为______套．
3．（2022·河北沧州·七年级期末）某工厂有28名工人生产零件和零件，每人每天可生产零件18个或零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个零件配两个零件.工厂将零件批发给商场时，每个零件可获利10元，每个零件可获利5元.(1)若每天生产的零件和零件恰好配套，求该工厂每天有多少工人生产零件？(2)因市场需求，该工厂每天在生产配套的零件外，还要多生产出一部分零件供商场零售.在（1）的人员分配情况下，现从生产零件的工人中调出多少名工人生产零件，才能使每天生产的零件全部批发给商场后总获利为3120元？
4．（2022·广东·七年级期末）2020年3月，我县新冠肺炎疫情最为严重．为支持抗疫，某工厂紧急加工一批医用口罩．已知某车间有52名工人，每名工人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳，一个口罩面需要配2个口罩耳绳．请问安排多少名工人生产口罩面，能使每天生产的口罩面与口罩耳绳刚好配套．
5．（2022·江西赣州·七年级期末）石城县矿山机械设备闻名省内外．在某矿山机械设备车间工人正在紧张地按订单进度进行生产，若每人每天平均可以生产轴承12个或者轴杆16个，1个轴承与2个轴杆组成一套，该车间共有90人，应该怎样调配人力，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套？
6．（2022·吉林七年级期末）某丝巾厂家70名工人义务承接了2020年上海进博会上志愿者佩戴的手环、丝巾的制作任务．已知每人每天平均生产手环180个或者丝巾120条，一条丝巾要配两个手环．
（1）为了使每天生产的丝巾和手环刚好配套，应分配多少名工人生产手环，多少名工人生产丝巾？
（2）在（1）的方案中，能配成 套．
题型8 调配问题
【解题技巧】调配问题中，调配前后总量始终保持不变，可利用这个关系列写等式方程，有时又在调配前后的变化中找等量关系。
调出者的数量=原有的数量－调出的数量 调进者的数量=原有的数量+调入的数量
1.（2022·浙江七年级月考）温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台，温州厂可支援外地10台，杭州厂可支援外地4台，现在决定给武汉8台，南昌6台，每台机器的运费如下表，设杭州运往南昌的机器为台．
（1）用的代数式来表示总运费（单位：元）
（2）若总运费为8400元，则杭州运往南昌的机器应为多少台？
（3）试问有无可能使总运费是8600元？请说明理由．
2．（2022·广东七年级期中）某市水果批发欲将A市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时，其它主要参考数据如下：
(1) 如果汽车的总支出费用比火车费用多1100元，你知道本市与A市之间的路程是多少千米吗？请你列方程解答.（总支出包含损耗、运费和装卸费用）
(2) 如果A市与B市之间的距离为S千米，你若是A市水果批发部门的经理，要想将这种水果运往B市销售，试分析以上两种运输工具中选择哪种运输方式比较合算呢？
3．（2022·山东禹城市·七年级期中）在天府新区的建设中，现要把176吨物资从某地运往华阳的甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为12吨/辆和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
（1）求这两种货车各用多少辆？（2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，运往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的关系式；（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资为100吨，请求出安排前往甲地的大货车多少辆，并求出总运费．
4．（2022·广东罗湖区·七年级期末）某市水果批发部门欲将 A 市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为 200 元/ 时．其它主要参考数据如下：
运输过程中，火车因多次临时停车，全程在路上耽误 2 小时 45 分钟，火车的总支出费用与汽车的总支出费用相同，请问某市与本地的路程是多少千米?
5．（2022·浙江柯桥区·七年级期中）公共自行车的普及给市民的出行带来了方便．现有两个公共自行车投放点A地、B地．要从甲、乙两厂家向A、B两地运送自行车．已知甲厂家可运出20辆自行车，乙厂家可运出60辆自行车；A地需30辆自行车，B地需50辆自行车．甲、乙两厂家向A、B两地的运费如下表：
（1）若设甲厂家运往A地的自行车的量数为x，则甲厂家运往B地的自行车的量数为 ；
则乙厂家运往A地的自行车的量数为 ；则乙厂家运往B地的自行车的量数为 ；
（2）当甲、乙两厂家各运往A、B两地多少辆自行车时，总运费等于470元？
6．（2022·四川八年级期末）大学生运动会将在成都召开，大批的大学生报名参与志愿者服务工作．某大学计划组织本校大学生志愿者乘车去了解比赛场馆情况，若单独调配36座（不含司机）新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座（不含司机）新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．求计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名大学生志愿者？
题型9 数字与日历问题
解题技巧：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖邻相邻两数相差7，即可设日历中某数为（在日历中该数上下左右都有相应数字），横行相邻数为，；竖邻两数为，；
注：求出的数必须是整数且符合画框要求。
1．（2022·江苏·七年级专题练习）有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大1，如果把这两位数的个位与十位对调，那么所得的新数与原数的和是121，求这个两位数．设十位上的数字为x，则可列方程为__．
2．（2022·广东江门·七年级期末）我国古代的“九宫格”是由3×3的方格构成的，每个方格内均有不同的数，每一行每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图，给出了“九宫格”的一部分，则阴影部分的数值是______．
3．（2022·河南驻马店·七年级期末）将连续的奇数1、3、5、7、9、11等，按一定规律排成如图：图中的T字框框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数．若将T字框上下左右移动，则框住的四个数的和不可能得到的数是（ ）
A．34B．62C．118D．158
4．（2022·安徽阜阳·七年级期末）下表所示是2022年元月的月历表．下列结论：
①每一竖列上相邻的两个数，下面的数比上面的数大7；
②可以框出一竖列上相邻的三个数，这三个数的和是24；
③可以框出一个的矩形块的四个数，这四个数的和是82；
④任意框出一个的矩形块的九个数，这九个数的和是中间数的9倍，其中正确的是__________（把所有正确的序号都填上）．
5．（2022·云南七年级期末）下图是某月的月历，通过观察发现：
（1）在月历中，观察一个横列上相邻的三个数，如果三个数的和为63，则这三个数分别为 、 、 ；
（2）在月历中，观察一个竖列上相邻的三个数，如果设中间的数为，则另外两个数分别为 、 ；
（3）随手拿出一张月历，在上面任意圈出一个如图所示"22"的正方形，请问这4个数的和可能是112吗？如果可能，请你求出4个数分别是多少？如果不可能，请说明理由。
6．（2022·湖北荆州·七年级期末）把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、第3行……，从左到右分别称为第1列、第2列、第3列……．用如图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为a，b，c，d．设a＝x．

(1)在图1中，数2022排在第几行第几列？(2)若，求出d所表示的数；
(3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变，此时的值能否为2700？如果能，请求出a所表示的数，并求出a在图1中排在第几行第几列；如果不能，请说明理由．
题型10．和、差、倍、分（比例）问题
（1）和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几，“是”、“比”相当于“=”；
即：当较大量是/比较小量的几倍多几时：较大量=较小量×倍数+多余量；
当较大量是/比较小量的几倍少几时：较大量=较小量×倍数-所少量。
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．
1．（2022·河南开封·七年级期中）《九章算术》是我国古代的数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：令有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱，每人出7钱，会差3钱，问合伙人数：羊价各是多少？设合伙人数为x，所列方程正确的是（ ）
A．5x﹣45＝7x﹣3B．5x+45＝7x+3C．D．
2．（2022·山东滨州·七年级期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5．某厂每天生产这种消毒液22.5t，则这些消毒液分装成的这两种产品中有______瓶大瓶产品．
3．（2022·湖南省临湘市教研室九年级期中）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醐洒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清跴酒各几何？”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子，一斗醐洒酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清洒，醐洒酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为_________．
4．（2022·吉林长春·七年级期末）新冠疫情肆虐春城期间，全市有大批志愿者不畏艰险加入到抗疫队伍中来．“大白”们的出现，给封控小区居民带来了信心，为他们的生活提供了保障．已知某社区在甲小区原有志愿者23名，在乙小区原有志愿者17名．现有来自延边州支援该社区的志愿者20名，分别去往甲小区和乙小区支援，结果在甲小区的志愿者人数比乙小区志愿者人数的三分之二还多5名，求延边州志愿者去往甲小区的人数．
5．（2022·江西吉安·七年级期末）直播带货已经成为年轻人购物的新时尚．某网红为回馈粉丝，在直播间为某品牌带货促销：凡购买该品牌产品均享受13%的补贴（凭付款截屏到线上客服处返现）．某粉丝购买该品牌电视和空调各一台共花去6000元，且该空调的单价比所买电视的单价的2倍还多600元．(1)该粉丝可以到线上客服处返多少元现金？(2)该粉丝所买的空调与电视的单价各是多少元？
6．（2022·陕西·交大附中分校模拟预测）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能．某学校购进了一批冰墩墩吉祥物分配给各班，若每班分4个，则剩余2个；若每班分5个，则还缺16个．求这个学校有几个班级？
题型11 几何问题（等积问题）
解题技巧：图形无论如何切割或边形，其面积或体积始终不变，利用这个不变的特点，列写等式方程。
1．（2022·江苏·七年级单元测试）一个长方形的周长为28cm，若把它的长减少1cm，宽增加3cm，就变成一个正方形，则这个长方形的面积是（ ）
A．48B．45C．40D．33
2．（2022·河南南阳·七年级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当△APE的面积为5cm2时，x的值为__________．
3．（2022·重庆丰都·七年级期末）在边长为的正方形中，放置两张大小相同的正方形纸板，边在上，点，分别在，上，若区域的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大，则正方形纸板的边长为______．
4．（2022·重庆丰都·七年级期末）在边长为9cm的正方形中，放置两张大小相同的正方形纸板，边EF在AB上，点K，I分别在BC，CD上，若区域Ⅰ的周长比区域Ⅱ与区域Ⅰ的周长之和还大6cm，则正方形纸板的边长为________cm．
5．（2022·浙江八年级期中）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为，用两个相同的管子在容器的高度处（即管子底端离容器底）连通．现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示、，若每分钟同时向乙和丙注入等量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升，则注水___________分钟后，甲与乙的水位高度之差是．
6．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图所示，有甲、乙两个容器，甲容器盛满水，乙容器里没有水，现将甲容器中的水全部倒入乙容器，问：水会不会溢出？如果不会溢出，请你求出倒入水后乙容器中的水深；如果水会溢出，请你说明理由．（容器壁厚度忽略不计，图中数据的单位：cm）
题型12 一元一次方程之动点问题
1．（2022·山东济南·七年级期末）如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的项点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边________上．

2．（2022·河南南阳·七年级期中）如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别是和． 动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿数轴在A、B之间往返运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在B、A之间往返运动，设运动时间为秒，当时，若原点O恰好是线段PQ的中点，则的值是_______．
3．（2022·江苏·泰兴市济川初级中学七年级阶段练习）如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从A出发，以1cm/s的速度沿A→B→C运动，最终到达点C，在点P运动了8秒后，点Q开始以2cm/s的速度从D运动到A，在运动过程中，设点P的运动时间为t秒，当△APQ的面积为4cm2时，t的值为________
4．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知多项式的次数为a，常数项为b，a，b分别对应着数轴上的A、B两点．
(1)______，______；并在数轴上画出A、B两点；
(2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度单位的速度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍；
(3)数轴上还有一点C的坐标为30，若点P和Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C点运动，P到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，点Q到达终点C停止．求点P和点Q运动多少秒时，P，Q两点之间的距离为4．
5．（2022·四川·安岳县七年级期中）如图1，在长方形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间；(1)当t 为何值时，线段AQ的长度等于线段AP的长度？(2)当t 为何值时，AQ与AP的长度之和是长方形周长的？(3)如图2，P、Q到达B、A后继续运动，P点到达C点后都停止运动．当t 为何值时，线段AQ的长等于线段CP的长的一半？

6．（2022·河南三门峡·七年级期末）爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上水平移动，如图（1）．他发现当A点移动到B点时，B点所对应的数为24；当B点移动到A点时，A点所对应的数6（单位：单位长度）．
图（1）
(1)由此可得点A处的数字是 ，玩具火车的长为 个单位长度．
(2)如果火车AB正前方10个单位处有一个“隧道”MN，火车AB从（1）的起始位置出发到完全驶离“隧道”恰好用了t秒，已知火车AB的速度为0.5个单位/秒，则可知“隧道”MN的长为 个单位．（自己在草纸上画图分析，用含t的代数式表示即可）
(3)他惊喜的发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：在（1）条件下的数轴上放置与AB大小相同的玩具火车CD，使原点O与点C重合，两列玩具火车分别从点O和点A同时在数轴上同时移动，已知CD火车速度为2个单位/秒，AB火车速度为1个单位/秒（两火车均向右运动），几秒后两火车的A处与C处相距2个单位？
阶梯
电量
电价
一档
0~180度
0.6元/度
二档
181~400度
0.7元度
三档
400度及以上
0.9元/度
月租费
（元）
主叫通话
（分钟）
上网流量
（G）
接听
主叫超时部分
（元/分钟）
超出流量部分
（元/G）
方式一
38
200
3
免费
0.15
10
方式二
60
300
5
免费
0.10
8
全民应纳税所得额
税率
不超过3000的部分
3%
超过3000元至12000元部分
10%
超过12000元至25000元部分
20%
……
……
价目表
每月用水量
单价（元/）
不超过18的部分
3
超出18不超出25的部分
4
超出25的部分
7
长
宽
高
小纸盒
1
2
大纸盒
2
3
月使用费/元
主叫限定时间/min
主叫超时费/（元/min）
方式一
58
200
a
方式二
88
400
0.25
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过450元
不优惠
超过450元，但不超过600元
售价打九折
超过600元
其中600元部分打8.2折优惠超过600元部分3折优惠
甲种
乙种
进价（元/千克）
5
9
售价（元/千克）
8
13
校篮球赛成绩公告
比赛场次
胜场
负场
积分
22
12
10
34
22
14
8
36
22
0
22
22
参赛者
答对题数
不答题数
答错题数
得分
A
19
0
1
94
B
18
1
1
91
C
18
2
0
94
终点
起点
南昌
武汉
温州厂
400
800
杭州厂
300
500
运输工具
途中平均速度（千米/时）
运费（元/千米）
装卸费用（元）
火车
100
15
2000
汽车
80
20
900
运往地
车型
甲地（元/辆）
乙地（元/辆）
大货车
640
680
小货车
500
560
运输工具
途中平均速度（千米/ 时）
运费（元/ 千米）
装卸费用（元)
火车
100
15
2000
汽车
80
20
900
运往
运费（元/辆）
甲厂家
乙厂家
A地
5
10
B地
6
4
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31