第二十三章旋转 单元复习 同步训练2024-2025学年人教版九年级数学上册（含答案+解析）

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第二十三章旋转一、选择题： 1.关于中心对称的两个图形中，对应线段的关系是(    )A. 相等B. 平行C. 相等且平行D. 相等且平行或相等且在同一直线上2.下列属于中心对称图形的是(    )A. B. C. D. 3.下列选项中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是(    )A. B. C. D. 4.在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径，点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即P(3,60°)或P(3,−300°)或P(3,420°)等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是(    )A. Q(3,240°)B. Q(3,−450°)C. Q(3,600°)D. (3,−120°)5.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED，若线段AB=3，则BE=(    ) A. 2B. 3C. 4D. 56.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD.下列结论一定正确的是(    )A. ∠ABD=∠EB. ∠CBE=∠CC. AD//BCD. AD=BC7.如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D(5,3)在边AB上，以点C为中心，将△CDB旋转90∘，则旋转后点D的对应点D′的坐标是(    ) A. (2,10)B. (−2,0)C. (2,10)或(−2,0)D. (10,2)或(−2,0)8.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是(    )A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°9.如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心是(    )A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D10.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE按顺时针方向旋转，得到△BA′E′.连接DA′.若∠ADC = 60°，∠ADA′ = 50°，则∠DA′E′的度数为  (    )A. 130°B. 150°C. 160°D. 170°二、填空题： 11.在平面直角坐标系中，点P(−10,a)与点Q(b,1)关于原点对称，则a+b=          ．12.一个等边三角形至少绕其中心旋转_______，就能与其自身重合．13.如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色.现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有_______种选择．14.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=2，∠A=90°，将△ABC绕着点B顺时针旋转60°后，点C落在点D处，那么AD的长度是______．15.如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与点P′之间的距离为______．16.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150∘，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为          ．17.如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120∘后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB为120∘，则图中阴影部分的面积之和为          cm2．三、解答题： 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,1)，B(−4,5)，C(−5,2)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；(3)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°的△A3B3C3．19.如图①、②均是边长为1的小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B均在格点上，按下列要求画一个以AB为一边的四边形，且另外两个顶点也在格点上．(1)在图①中画一个是中心对称图形但不是轴对称图形的四边形；(2)在图②中画一个既是中心对称图形又是轴对称图形的四边形．20.如图所示，△ABC绕点C旋转后，点A转到了点D处，作出旋转后的三角形．21.如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．(1)三角尺旋转了多少度____度；(2)连接CD，试判断△CBD的形状是：____．(3)求∠BDC的度数：____度．22.如图，∠HAB=30°，点B与点C关于射线AH对称，连接AC.D点为射线AH上任意一点，连接CD.将线段CD绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接BE．(1)求证：直线EB是线段AC的垂直平分线；(2)点D是射线AH上一动点，请你直接写出∠ADC与∠ECA之间的数量关系．答案和解析1.【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是中心对称的性质.根据中心对称的性质：中心对称的两个图形，其对应线段互相平行(或在同一条直线上)且相等．【解答】解：根据中心对称的性质，得中心对称的两个图形，其对应线段互相平行(或在同一条直线上)且相等．故选D．2.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形，只要把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形．根据中心对称图形的定义，对每个选项分别分析，解答出即可．【解答】解：将A，B，C，D各选项中图形绕一点旋转180∘后与本身重合的只有D项中的图形，所以D项中的图形是中心对称图形．故选D．3.【答案】A 【解析】【分析】本题考查中心对称的性质，关键是根据中心对称，轴对称，平移变换，旋转变换的性质解答．根据中心对称，轴对称，平移变换，旋转变换的性质对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是平行变换图形，故本选项错误；D、是旋转变换图形，故本选项错误．故选A．4.【答案】B 【解析】【分析】根据极坐标的定义以及中心对称的性质判断出点Q的坐标，可得结论．本题考查中心对称，坐标与图形变化−旋转等知识，解题的关键是理解极坐标的定义，属于中考常考题型．【解答】解：点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标Q(3,240°)或(3,600°)或(3,−120°)．故选：B．5.【答案】B 【解析】【分析】     根据旋转的性质可得AB=AE，∠BAE=60°，然后判断出△AEB是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得BE=AB．     本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义．【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED，∴AB=AE，∠BAE=60°，∴△AEB是等边三角形，∴BE=AB，∵AB=3，∴BE=3．故选：B．6.【答案】C 【解析】【分析】由旋转的性质得到∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，推出△ABD是等边三角形，得到∠DAB=∠CBE，于是得到结论．本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，∴∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB=60°，∴∠DAB=∠CBE，∴AD//BC，故选：C．7.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了坐标与图形变化−旋转，正方形的性质，该题的旋转方向未指明，所以解题时要注意分类讨论，以防漏解.首先根据已知条件和正方形的性质，求出BC和BD的长，然后分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论，直接求解即可．【解答】解： ∵点D(5,3)在边AB上，∴BC=5，BD=5−3=2． ①若顺时针旋转，则点D′在x轴的负半轴上，OD′=2，所以D′(−2,0); ②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，且在第一象限，所以D′(2,10)．综上所述，点D′的坐标为(2,10)或(−2,0)．故选C．8.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CA′A=∠CAA′=45°，进而∠BAC=20°，根据∠BAA′=∠BAC+∠CAA′可得结果．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC=A′C，∠CA′B′=∠BAC，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CA′A=∠CAA′=45°，∵∠1=25°，∴∠CA′B′=45°−25°=20°，∴∠BAC=20°，∴∠BAA′=∠BAC+∠CAA′=45°+20°=65°．故选C．9.【答案】B 【解析】【分析】本题考查旋转的性质，掌握旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上是关键．根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接PP1，NN1，分别作出PP1，NN1的垂直平分线，交点即为旋转中心．【解答】解：连接PP1，NN1，分别作出PP1，NN1的垂直平分线，如图所示：PP1，NN1的垂直平分线的交点为B，所以旋转中心是点B．故选B．10.【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理及推论，旋转的性质，关键是能综合运用以上知识点求出∠DA′B和∠BA′E′，解答此题根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC=60°，∠DCB=120°，再由∠A′DC=10°，可运用三角形外角求出∠DA′B=130°，再根据旋转的性质得到∠BA′E′=∠BAE=30°，从而得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，∴∠ABC=60°，∠DCB=120°，∵∠ADA′=50°，∴∠A′DC=10°，∴∠DA′B=130°，∵AE⊥BC于点E，∴∠BAE=30°，∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，∴∠BA′E′=∠BAE=30°，∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°．故选C．11.【答案】9 【解析】【分析】此题考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点对称的点是P′(−x,−y)，正确得出a，b的值是解题关键．直接利用关于原点对称的点的坐标特征得出a，b的值，再代入计算即可得出答案．【解答】解：∵点P(−10,a)与点Q(b,1)关于原点对称，∴b=10，a=−1，则a+b=−1+10=9．故答案为：9．12.【答案】120° 【解析】解：∵360°÷3=120°，∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合．故答案为：120°．根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．本题考查了旋转角的定义及求法．对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．13.【答案】3 【解析】【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的定义是解题关键.利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：当将1，2，3处涂黑色可以使整个黑色部分的图形构成轴对称图形，故共3个．故答案为3．14.【答案】 6− 2 【解析】解：如图，连接CD，延长DA交BC于H，∵将△ABC绕着点B顺时针旋转60°，∴BD=BC，∠DBC=60°，∴△BDC是等边三角形，∴BD=CD=BC，又∵AB=AC，∴DH是BC的垂直平分线，∴BH=CH，DH⊥BC，又∵AB=AC，BC=2，∠A=90°，∴BC=2 2=BD，BH=CH=AH= 2，∴DH= BD2−BH2= 8−2= 6，∴AD= 6− 2，故答案为： 6− 2．由旋转的性质可得BD=BC，∠DBC=60°，可得△BDC是等边三角形，可证DH是BC的垂直平分线，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求DH，AH的长，即可求解．本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．15.【答案】6 【解析】【分析】本题考查了旋转的两个性质：①旋转角相等，②对应点到旋转中心的距离相等．由旋转的性质可知，旋转角∠PAP′=∠BAC=60°，旋转中心为点A，对应点P、P′到旋转中心的距离相等，即AP=AP′，可判断△APP′为等边三角形，故PP′=AP．【解答】解：连接PP′，由旋转的性质可知，旋转中心为点A，B、C为对应点，P、P′也为对应点，旋转角∠PAP′=∠BAC=60°，又AP=AP′，∴△APP′为等边三角形，∴PP′=AP=6．故答案为：6．16.【答案】15∘ 【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．由旋转的性质可得AB=AD，∠BAD=150°，由等腰三角形的性质可求∠B的度数．【解答】解： ∵将△ABC绕点A逆时针旋转150∘，得到△ADE，∴∠BAD=150∘，AD=AB．∵点B，C，D恰好在同一直线上，∴△BAD是顶角为150∘的等腰三角形，∴∠B=∠BDA=12(180∘−150∘)=15∘．17.【答案】4 【解析】【分析】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据旋转的性质和图形的特点解答．【解答】解：每个叶片的面积为4cm2，因而图形的面积是12cm2，∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB为120°，∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的13，因而图中阴影部分的面积之和为4cm2．故答案为4．18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；(2)如图，△A2B2C2为所作；(3)如图，△A3B3C3为所作． 【解析】本题考查了作图−旋转变换，对称变换作图.根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．(1)根据关于x轴对称的点的坐标特征写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；(2)根据关于原点对称的点的坐标特征写出点A、B、C的对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2；(3)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A3、B3、C3，即可得到△A3B3C3.19.【答案】解：(1)如图①所示，四边形ABCD即为所求；(答案不唯一)(2)如图②所示，四边形ABCD即为所求． 【解析】(1)依据中心对称图形以及轴对称图形的性质，即可得到结论；(2)依据中心对称图形以及轴对称图形的性质，即可得到结论．此题主要考查了利用轴对称以及旋转变换设计图案，掌握中心对称图形以及轴对称图形的性质是解决问题的关键．20.【答案】解：如图，△DEC即为所求． 【解析】根据旋转的性质即可作出旋转后的三角形．本题考查了作图−旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．21.【答案】(1)150；(2)等腰三角形；(3)15． 【解析】【分析】本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转不变性是解答此题的关键．(1)根据两角互补的性质求出∠ABE的度数即可；(2)根据图形旋转不变形性得出△ABC≌△EBD，故可得出BC=BD，由此即可得出结论；(3)根据图形旋转不变形性的性质求出∠DBE的度数，再由等腰三角形的性质即可求出∠BDC的度数．【解答】解：(1)∵三角尺旋转的度数即为一条边旋转后与原边组成的角，∴三角尺的斜边AB旋转到EB后AB与BE所组成的角∠ABE=180°−∠ABC=180°−30°=150°，故答案为150；(2)∵图形旋转前后两图形全等，∴CB=DB，故△CBD为等腰三角形，故答案为等腰三角形；(3)∵三角形CBD中∠DBE为∠CBA旋转以后的角，∴∠DBE=∠CBA=30°，故∠DBC=180°−∠DBE=180°−30°=150°，又∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD=180°−150°2=15°，故答案为15．22.【答案】(1)证明：连接AE，DB，CB，∵点B与点C关于射线AH对称，∠HAB=30°，∴CD=BD，AC=AB，∴∠HAB=∠HAC=30°，∴∠CAB=2∠HAC=60°，∴△ABC为等边三角形，∠ACB=60°，∵∠DCE=60°，∴∠DCE−∠ACD=∠ACB−∠ACD，∠ECA=∠DCB，在△ECA和△DCB中，EC=DC∠ECA=∠DCBAC=BC，∴△ECA≌△DCB(SAS)，∴BD=EA，∵DC=BD=EC，∴AE=EC，又AB=BC，∴EB垂直平分AC；(2)当∠ADC为钝角时，∠ADC=90°+∠ECA，当∠ADC为锐角时，∠ADC=90°−∠ECA． 【解析】【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，证明△ECA≌△DCB是解题的关键．(1)连接AE，DB，CB，可得△ABC为等边三角形，再利用SAS证明△ECA≌△DCB，得BD=EA，从而证明结论；(2)分∠ADC为钝角和∠ADC为锐角两种情形，分别画出图形，即可得出答案．【解答】(1)见答案．(2)解：如图，当∠ADC为钝角时，∵点B与点C关于射线AH对称，∴AH⊥BC，由(1)知∠ACE=∠BCD，∴∠ADC=90°+∠BCD=90°+∠ECA，如图，当∠ADC为锐角时，∵点B与点C关于射线AH对称，∵∠ADC+∠BCD=90°，∵∠ACE=∠BCD，∴∠ADC=90°−∠ECA．