精品解析：天津市静海区第一中学2024-2025学年高二上学期12月学生学业能力调研数学试题（解析版）

这是一份精品解析：天津市静海区第一中学2024-2025学年高二上学期12月学生学业能力调研数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：尹海燕 审题人 ：陈中友
考生注意：
本试卷分第Ⅰ卷基础题（130分）和第Ⅱ卷提高题（17分）两部分共147分，卷面分3分，共150分.
第Ⅰ卷 基础题（共130分）
一、选择题: 每小题5分，共40分.
1. 已知数列满足：，，则（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】根据题设有，累加可得，即可求结果.
【详解】由题设，则，
即，则
故选：B
2. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将方程化成标准式，即可求解.
【详解】由可得，故，则，
故焦点坐标为，
故选：C
3. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线与圆相切得圆心到直线的距离即为圆的半径，由此可求得结果.
【详解】因为点为圆心到直线的距离为，
所以圆的半径为，圆的方程为.
故选：D.
4. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点是上一点，且，，则的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的定义结合，求得，，在中，利用余弦定理求得之间的关系，进而求得之间的关系，即可得出答案.
【详解】
由双曲线定义知，因为，
所以，，
在中，因为，，
所以，
即，化简得，
又，所以，解得，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
5. 已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由数列是单调递增数列可知当时，单调递增，当时，单调递增，且，列出不等式，解不等式即可.
【详解】数列是单调递增数列，
可知当，时，单调递增，即或，解得；
当时，单调递增恒成立，
且，即；
解得，
所以若数列是单调递增数列，则，
故选：A.
6. 设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．
【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．
7. 已知过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若，AB的中点到轴的距离为，则p的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用焦点弦的几何性质推理计算得解.
【详解】抛物线的焦点，准线，准线交轴于点，
由对称性，不妨令点在第一象限，过分别作，垂足分别为，
过作于，交于，令，，
，由，得，即，则，
线段中点，过作于，则，
由AB的中点到轴的距离为，得，因此，所以.
故选：B
8. 在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的性质，结合不等式的“乘1法”即可求解.
【详解】由题可知，，
所以有，
当且仅当，即时等号成立，
此时满足，，所以的最小值是3.
故选：C.
二、填空题：每小题5分，共30分.
9. 已知为数列的前n项和，且满足，则的通项公式为_____.
【答案】
【解析】
【分析】先求，再利用（）计算即可求解.
【详解】当时，，
当时，，
整理得：，，
当时，上式不成立，
所以.
故答案为：
10. 已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两圆外切，圆心距离等于半径之和，可得，接着计算到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.
【详解】由得，
将化为标准方程，得，，
因为两圆外切，所以，即，解得.
到直线的距离，如下图：

则直线被圆所截弦长.
故答案为：.
11. 已知正方体的棱长为，在正方体内部且满足，则点到直线的距离为 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求向量，，，的坐标，利用向量方法求点到直线的距离.
【详解】如图，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，
所以，
又，
取，，则，，
所以点到直线的距离为.
故答案为：.

12. 已知抛物线的焦点为，以点为圆心的圆与直线相切于点，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得直线与直线垂直，进而可得出答案.
【详解】，
因为以点为圆心的圆与直线相切于点，
所以直线与直线垂直，
则，解得.
故答案为：.
13. 一条倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且该直线与圆相交于A，两点，则________．
【答案】
【解析】
【分析】求出直线方程和抛物线焦点坐标，再利用直线被圆所截弦长公式即可得到答案.
【详解】由题意得，抛物线的焦点为，
则直线方程为，即，
圆化为，则圆心为，半径，
设圆心到直线的距离为，则，
则，
故答案为：.
14. 设公差的等差数列中，满足，则的值为________.
【答案】##
【解析】
【分析】先根据已知条件求得，再利用等差数列的性质化简、，即可求得比值.
【详解】因为为等差数列，所以，
所以，，，
因为，所以，
整理得：，即，
因为，所以，根据等差数列的性质，有：
，
，
所以.
故答案为：
三、解答题：(本大题共4小题，共60分)
15. 已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足.
（1）数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由.
（2）若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式.
【答案】（1）数列是等差数列，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据题意得，然后利用等差数列的定义判断即可；
（2）由（1）结合已知可得数列的首项为，公差为，从而可求出数列的通项公式.
【小问1详解】
数列是等差数列，理由如下：
因为数列，都是等差数列，公差分别为，，
所以，，
因为，
所以
为常数，
所以数列是以为公差的等差数列；
【小问2详解】
因为，，
所以，
由（1）可知数列是等差数列，且公差为，
因为的公差为，的公差为，
所以数列的公差，
所以数列的通项公式为.
16. 如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，四边形为矩形.

（1）若是的中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值：
（3）若点到平面的距离为，求的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）矩形对角线交点即为线段中点，在内应用中位线定理，即可得证；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，先求直线的方向向量，再求平面的法向量，应用线面角的向量求法即可；（3）设定，应用点面距的向量解法求解即可.
【小问1详解】
设，连接，
因为四边形为矩形，所以为中点，
又为中点，则，
又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
以为坐标原点，的正方向分别为轴，
可建立如图所示空间直角坐标系，

则
，
设平面的法向量为：n=x,y,z，
且，令，解得：；
设直线与平面所成角为，所以.
则直线与平面所成角的正弦值为.
【小问3详解】
，
设
由平面的法向量为：，
点到平面的距离为：.
解得：，且，
所以
17. 已知椭圆的两个焦点分别为，，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若与直线平行的直线交椭圆于，两点，当时，求的面积.
【答案】(1) (2)
【解析】
【详解】试题分析：（1）布列方程组求得椭圆的标准方程；（2）直线AB方程为，．将直线AB的方程代入椭圆的方程并整理得，利用韦达定理及可得，从而求得.
试题解析：
（Ⅰ）设椭圆的方程为，
由题意可得解得
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）直线的方程为，
设直线AB方程为，．
将直线AB的方程代入椭圆的方程并整理得，
由，得，
，
由得，，
，
，
，
，
得．
又，
到直线AB的距离．
所以．
18. 求通项公式
（1）已知数列、、、、求通项公式；
（2）在数列中，，且点在直线上，求数列的通项公式；
（3）数列的首项为，且前项和满足，求数列的通项公式；
（4）数列满足，，求数列的通项公式；
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）利用观察法可得出数列的通项公式；
（2）分析可知，数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；
（3）推导出数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得的表达式，再由可求得数列的通项公式；
（4）求出的值，分析可知，数列的奇数项、偶数项分别成以为公差的等差数列，对分奇数和偶数两种情况讨论，综合可得出数列的通项公式.
【小问1详解】
因为，，，，
由观察法可得.
【小问2详解】
在数列中，，且点在直线上，
则，所以，，
所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为，
所以，.
【小问3详解】
数列的首项为，且前项和满足，
即，
由题意可知，对任意的，则，则当时，，
所以，，
所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，，则，
故当时，，
且且满足，故对任意的，.
【小问4详解】
因为数列满足，，则，可得，
当时，，，
上述两个等式作差可得，
所以，数列的奇数项、偶数项分别成以为公差的等差数列，
当为奇数时，设，可得，
则；
当为偶数时，设，可得，
则.
故对任意的，.
学法题：解决数列问题的关键是求通项公式，请同学们通过解答18题归纳求通项公式的方法（至少2种）
第Ⅱ卷 提高题（共17分）
19. 已知，分别为椭圆在轴正半轴，轴正半轴上的顶点，原点到直线的距离为，且．
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线与圆相切，并与椭圆交于，两点，若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由椭圆的方程可得的坐标及直线的方程，由题意可得，的值，由，，之间的关系求出其离心率，
（2）由（1）可求出椭圆的方程，将直线的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长由题意可得，的关系，由于直线与圆相切可得，的关系，两式联立求出的值．
【详解】解：（1）由椭圆方程可得，，所以，直线的方程为：
所以原点到直线的距离为：，
由题意可得，①，
②，
由①②可得，，，
所以离心率；
（2）由（1）可得椭圆的方程为：，
由直线与圆相切可得，即①，
设，，，，联立直线与椭圆的方程：，
整理可得：，
，即，
，，
所以
②
将①②联立可得，解得：，符合判别式大于0．
所以值为．
【点睛】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，和弦长公式，及直线与圆相切的性质，属于中档题．
知 识 与 技 能
学习能力（学法）
内容
空间向量与立体几何
直线
直线与圆
圆锥曲线
数列
计算能力
数形结合
转化化归
分数
37
10
70
30
60
48
39