天津市静海区第一中学2023-2024学年高二上学期12月学生学业能力调研数学试卷(含答案)

这是一份天津市静海区第一中学2023-2024学年高二上学期12月学生学业能力调研数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知直线与平行,则k的值是( )
A.5B.0或5C.0D.0或1
2．在数列中,,（,）,则( )
A.B.1C.-1D.2
3．若圆截直线所得弦长为2,则实数m的值为( )
A.-1B.-2C.-4D.-31
4．若双曲线与椭圆有相同的焦点,它的一条渐近线方程为,则双曲线的方程为( )
A.B.C.D.
5．已知等差数列的前n项和为,,,直线l过点,,则直线l的斜率为( )
A.2B.-2C.4D.-4
6．已知抛物线的焦点为F,点P是抛物线C上的一点,,过点P作y轴的垂线,垂足为,则( )
A.B.C.D.
7．已知是等差数列的前n项和,且,则( )
A.数列为递增数列B.C.的最大值为D.
8．已知双曲线的右焦点为F,过点F的直线与双曲线E的右支交于B,C两点,且,点B关于原点O的对称点为点A,若,则双曲线E的离心率为( )
A.B.C.D.
二、填空题
9．在商店里,如图分层堆砌易拉罐,最顶层放1个,第二层放4个,第三层放9个.如此下去,第六层放___________个.
10．若抛物线的准线与直线间的距离为3,则抛物线的方程为______.
11．若方程表示焦点在y轴上的双曲线,则实数m的取值范围为__________.
12．已知O为坐标原点,点P在圆上运动,则线段OP的中点M的轨迹方程为__________.
13．设等差数列,的前n项和分别为,,,都有,则的值为__________.
14．直线l与双曲线的一条渐近线平行,l过抛物线的焦点,交C于A,B两点,若,则E的离心率为_______.
三、解答题
15．（1）数列的前n项和,求数列的通项公式;
（2）已知数列中,,前n项和 ,求数列的通项公式;
（3）请写出与的关系,并写出已知求时应注意什么?
16．如图,在三棱柱中,AB平面,已知,,,点E是棱的中点．
（1）求证：平面ABC;
（2）求平面与平面夹角正弦值;
（3）求点到平面的距离.
17．已知椭圆：的上顶点为B,左焦点为F,且B,F在直线上.
（1）求E的标准方程;
（2）设直线l与E交于P,Q两点,且四边形BPFQ为平行四边形,求l的方程.
18．已知数列中,,,记
（1）求证：数列是等差数列,并求出;
（2）设,求;
（3）若,对任意的,恒成立,求的取值范围.
19．已知椭圆右焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且轴,直线AB交y轴于点Q,若;
（1）求椭圆的离心率;
（2）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心在直线上,且.求椭圆的方程.
参考答案
1．答案：C
解析：若直线与平行,则,解得或;
而当时两直线重合.
综上所述,k的值为0.
故选：C
2．答案：A
解析：,,,
可得数列是以3为周期的周期数列,,
故选：A
3．答案：C
解析：由题,由圆的一般方程可得圆的标准方程为,则圆心为,半径为,
所以圆心到直线距离为,
则弦长为,即,所以,
故选：C.
4．答案：D
解析：设双曲线方程为,因为双曲线与椭圆有相同的焦点,且焦点为,
且,得.
故选：D.
5．答案：D
解析：因为数列为等差数列,设数列的首项为,公差为d,
又,,所以,解得到,
所以,得到,所以直线l的斜率为-4,
故选：D.
6．答案：D
解析：
由抛物线,得焦点,设,
所以,由,解得,所以,所以.
故选：D.
7．答案：C
解析：,因为,所以,所以B错
公差所以错
因为前7项均为正,从第8项开始为负,所以的最大值为,所以C对,,所以D错
故选：C.
8．答案：D
解析：设双曲线的左焦点为,连接AF,,,如图所示,
又因为,所以,所以四边形为矩形,
设,则,由双曲线的定义可得：,,
又因为为直角三角形,
所以,即,解得,
所以,,又因为为直角三角形,,
所以,即：,所以,即.
故选：D.
9．答案：36
解析：最顶层放1个,第二层放4个,第三层放9个,可知,第n层放个,
所以第六层放36个,
故答案为：36.
10．答案：或
解析：抛物线的准线为,则,解得或,
故抛物线的方程为或.
故答案为：或.
11．答案：
解析：由变形得到,
因为方程表示焦点在轴上的双曲线,所以,解得,
故答案为：.
12．答案：
解析：设点,点,则所以
因为点在圆上,
所以,所以,
所以点M的轨迹方程为,即,
故答案为：.
13．答案：
解析：因为,所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为的焦点为,设直线l的方程为,,,
由,消y得到,
由韦达定理得,又,
所以,得到,所以,
又直线l与双曲线的一条渐近线平行,所以,
故双曲线的离心率为,
故答案为：.
15．答案：（1）;
（2）;
（3）答案见解析.
解析：（1）因为数列的前n项和,
当时,,
当时,,
不满足,故;
（2）数列中,,前n项和 ,则,
当时,由可得,
上述两个等式作差可得,可得,
所以,,
因为,则,,,,
以此类推可知,对任意的,,
所以,当时,,
所以,,,,,,
上述等式全部相乘可得,
所以,,
也满足,故对任意的,;
（3）,
解题时需注意令等于初始值,求出初始项的值,同时要注意等差、等比数列的定义从第几项开始.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）在中,因为,,,
由余弦定理知,得到,
所以,故,
又AB平面,平面,所以,
又,AB,BC平面ABC,所以平面ABC.
（2）如图所示,以BC,,BA为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
因为,,,
则,,,,,
又点E是棱的中点,所以,
设平面的法向量为,,,
由,得到,取,,,得到,
设平面的法向量为,,,
由,得到,取,,,得到,
平面与平面夹角的平面角为锐角,
故余弦值.
（3）因为平面的法向量为,,
所以距离为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为椭圆的上顶点为B,左焦点为F,均在直线上,
令,得,令,得到,所以,,得到,,
所以,故椭圆E的标准方程为.
（2）
因为四边形BPFQ为平行四边形,则直线过BF中点,
易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为,,,
由,消y得到,
易知,直线l与椭圆恒有两个交点,又由韦达定理知,,,
又,,
因为四边形BPFQ为平行四边形,所以,得到,
又,,代入,
整理得,即,
将代入,得到,即,
所以或,又,故舍去,
所以,直线的方程为,即.
18．答案：（1）证明见解析,
（2）
（3）
解析：（1）由,得到,即,
又,所以为常数,又,得到,
所以数列是公差为2,首项为-5的等差数列,
.
（2）由（1）知,,
当时,,所以,
当时,,所以,
得到,综上,.
（3）由（1）知,得到,所以,对任意的,恒成立,
即,对任意的,恒成立,
又,显然有,得到,对任意的,恒成立,
令,对称轴,所以在区间上单调递增,
故当时,有最小值为3,所以,得到,所以的取值范围为.
19．答案：（1）;
（2）;
解析：（1）,所以即,可得;
（2）,,即,,可得椭圆方程为,
设直线FP的方程为,
代入椭圆方程可得,解得或,
代入直线PF方程可得或（舍去）,可得,
圆心在直线上,且,
可设,可得,解得,即有,可得圆的半径为2,
由直线FP和圆C相切的条件为,可得,解得,
可得,,可得椭圆方程为.