天津市静海区第一中学2024−2025学年高一下学期3月学生学业能力调研 数学试卷（含解析）

这是一份天津市静海区第一中学2024−2025学年高一下学期3月学生学业能力调研 数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知、，若向量是与方向相同的单位向量，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，均为单位向量，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．在中，若，，，则等于（ ）
A．105°B．60°或120°C．15°D．105°或15°
4．设，是非零向量，“”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ）
A．2B．8C．9D．18
7．在平行四边形中，与交于点，，的延长线与交于点.若，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确个数是（ ）
①若，则定为等腰三角形
②若，则一定是锐角三角形
③若点M是边BC上的点，且，则的面积是面积的
④若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形
⑤若，则点O是的内心
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共5小题）
9．已知向量，则在方向上的投影向量为 .
10．在中，若，，，则 .
11．已知向量，.若为锐角，则x的取值范围是 .
12．如图，要计算西湖岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两点，现测得，则两景点与的距离为 ．
13．在平面四边形中，，则 ； .
三、解答题（本大题共5小题）
14．已知平面向量，，其中，．
(1)求与的夹角；
(2)若与共线，求实数的值．
15．在中，内角所对的边分别为.已知，.
（I）求的值；
（II）求的值.
16．在三角形中，已知内角，，所对的边分别为，，，，，.
（1）求边的长；
（2）若为直线上的一点，且，求.
17．如图，在边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，且，则
(1)求；
(2)若点M为线段BD（含端点）上的动点，求的最小值；
(3)求数量积是向量中常见常考的问题，根据本题试总结常用的求数量积的方法以及每个方法适用范围．
18．在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求角的大小．
(2)若，的面积为，求的周长．
(3)若为锐角三角形，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题意可得，则，所以，.
故选D.
2．【答案】A
【详解】因为，均为单位向量，所以，
所以，
即，所以，
所以，
因为，
所以，
故选A.
3．【答案】D
【详解】由题知：，所以，
又因为，，所以或.
所以或.
故选D.
4．【答案】A
【详解】，由已知得，即，.而当时，还可能是，此时，故“”是“”的充分而不必要条件，故选A.
考点：充分必要条件、向量共线.
5．【答案】A
【详解】因为为的内角，则，
由二倍角的余弦公式可得，解得，
由正弦定理可得，所以，.
故选A.
6．【答案】C
【详解】由题意，，又共线，则，
且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为9.
故选C.
7．【答案】B
【详解】解：如图所示：
由得，
由得∽，∴，
又∵，∴，
，故选B.
8．【答案】B
【详解】对于①，在中，由，得或，
即或，则是等腰三角形或直角三角形，①错误；
对于②，由及余弦定理，得，则为锐角，
而是否为锐角不确定，②错误；
对于③，由，得，即，
则，的面积是面积的，③错误；
对于④，由，得是的重心，由，
得是的外心，即的重心、外心重合，则为等边三角形，④正确；
对于⑤，由，得，则，
平分，由，同理得平分，因此点O是的内心，⑤正确，
所以正确命题的个数是2.
故选B.
9．【答案】/
【详解】
在方向上的投影向量为.
10．【答案】5
【解析】根据余弦定理和三角形的边之间的关系求解.
【详解】解：因为在中,,,,
由余弦定理：,
,
所以.
11．【答案】
【详解】∵为锐角，
∴，且，不共线，
∴，解且，
∴x的取值范围为．
12．【答案】
【详解】在中， 根据余弦定理得：， ，由于，在中，根据正弦定理得：.
13．【答案】
【详解】∵，
又，故，
∵，故，
∴为等边三角形，则；
∵，∴，又，∴，
得，
∴，
根据以上分析作图如下：
则∠BCD=150°，
则
．
14．【答案】(1);
(2).
【详解】（1）因为，，
所以，，
，，
，
，.
（2），，
与共线，，
解得.
即实数的值为.
15．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【详解】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，
进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.
试题解析：（Ⅰ）解：由，及，得.
由，及余弦定理，得.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.
由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，
，故
.
考点：正弦定理、余弦定理、解三角形
【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
16．【答案】（1）（2）或
【详解】（1）方法一：∵，，∴ ①.
又 ②，所以①与②平方相加得，
即，∴或.
又，∴为锐角，∴，∴，.
∴，∴，所以为等腰直角三角形，∴.
方法二：∵，∴为锐角，∴，∵，∴.
∴，
（也可以直接由得，即）.
由正弦定理与余弦定理得：，
又∵，，∴，即.
（2）解法一：（i）当时，
，
∴；
（ii）当时，
，
∴.
解法二：（i）当时，在中，，，，
∴ ；
（ii）当时，在中，，，，
∴ .
17．【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【详解】（1）因为四边形ABCD是边长为的正方形，所以，.
已知，且，则.
那么.
.
所以
根据向量数量积的分配律展开可得：
.
由于，且，，则：
.
（2）以为坐标原点，AB所在直线为轴，AD所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
则，，，，.
因为，所以，则.
设，因为点在直线BD上，直线BD的方程为，即，所以.
则，.
所以
展开可得.
进一步展开得，令.
所以在处取得最小值，，即的最小值为.
（3）总结常用的求数量积的方法以及每个方法适用范围：
定义法：（为与的夹角）.适用范围：已知向量的模长和夹角时，可直接使用定义求数量积.
坐标法：若，，则.适用范围：当向量的起点在坐标原点，或者可以通过建立平面直角坐标系方便地得到向量的坐标时，使用坐标法较为简便.
基底法：将所求向量用已知向量表示出来，然后根据向量数量积的运算律进行计算.适用范围：在一些几何图形中，已知一些向量的关系，通过向量的加减法、数乘等线性运算将未知向量转化为已知向量，进而求数量积.
其他方法：极化恒等式，适用于共点的数量积问题，求最值小题使用比较快；投影法，对于几何问题，投影固定或者模长固定，比较好用.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）∵，∴，即，
∵，∴，
∴，故.
（2）由（1）得，，
∵的面积为，∴，即，解得，
由余弦定理得，，
∴，故的周长为.
（3）由得，则，
∴
.
∵为锐角三角形，∴，故，
∴，故，
∴，即的取值范围是.