2025-2026学年江苏省连云港外国语学校八年级（上）期末数学练习试卷（14）-自定义类型

这是一份2025-2026学年江苏省连云港外国语学校八年级（上）期末数学练习试卷（14）-自定义类型，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列运算正确的是（ ）
A. a12÷a6=a6B. m2+m3=m5C. 3ab2•b3=3ab6D. （ab）4=ab4
2.如果分式中的x,y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A. 不变B. 扩大为原来的2倍C. 缩小为原来的D. 缩小为原来的
3.下列给出的三条线段的长，其中能组成直角三角形的是（ ）
A. 3、5、7B. 6、8、9C. D.
4.点M（3，-2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A. （-3，2）B. （-3，-2）C. （3，-2）D. （2，-3）
5.下列等式中，从左边到右边变形属于因式分解的是（ ）
A. （x+1）（x+2）=x2+3x+2B. a2-2a-1=（a-1）2
C. x2+6x+10=（x+3）2+1D. m2-4m=m（m-4）
6.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将△ACD沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则∠B等于（ ）
A. 19°B. 20°C. 24°D. 25°
7.对于函数y=-2x+3，下列说法正确的是（ ）
A. 图象经过点（1，4）B. y随着x的增大而减小
C. 图象与y轴交于点（0，-2）D. 图象经过第一、二、三象限
8.如图，在底面周长约为5米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约24米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（ ）
A. 14米
B. 28米
C. 13米
D. 26米
9.如图，在平面直角坐标系中，已知A1（2，4），A2（4，4），A3（6，0），A4（8，-4），A5（10，-4），A6（12，0），…按这样的规律，则点A2025的坐标为（ ）
A. （4048，4）B. （4050，0）C. （4050，-4）D. （4048，-4）
10.设∠MON=20°，A为OM上一点，OA=4，D为ON上一点，OD=8，C为AM上任一点，B是OD上任一点，那么折线ABCD的长AB+BC+CD最小值是（ ）
A. 12B. C. 8D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”.已知梅花花粉的直径约为0.000023米.数据“0.000023”用科学记数法表示为 .
12.若分式的值为零，则x的值为 .
13.若式子有意义，则m的取值范围是 .
14.分解因式：a2-4a+4=______．
15.一个等腰三角形两边的长分别为3和8，那么这个三角形的周长是_________.
16.如图，在数轴上点A表示的实数是______．
17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，若AD=3，CE=5，则CD等于______．
18.已知A、B两地是一条直路，甲骑自行车从A地到B地，乙骑摩托车从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离s（km）与运动时间t（h）的函数关系大致如图所示，则下列结论正确的有 .
①两人出发2h后相遇；
②甲骑自行车的速度为60km/h；
③乙比甲提前2h到达目的地；
④乙到达目的地时两人相距200km.
三、解答题：本题共7小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题24分)
计算与化简：
（1）；
（2）分解因式：3a4-3b4；
（3）计算：；
（4）解方程：.
20.(本小题12分)
如图，点B、C、D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，连接AD、BE，分别交AC、AD于点F、G.
（1）求证：AD=BE；
（2）求∠AGB的度数.
21.(本小题12分)
如图，正方形网格中的每一个小正方形边长都为1，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图.
（1）在图1中作出一个等腰△ABC，使点C在格点上；
（2）在图2中作出等腰直角△ABD，使点D在格点上.
22.(本小题10分)
在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,且c≥b≥a.
（1）当△ABC是锐角三角形时，小明猜想：a2+b2＞c2.以下是他的证明过程：
小明的证明过程
其中，①是______；②是______.
（2）如图②，当△ABC是钝角三角形时，猜想a2+b2与c2之间的关系并证明.
23.(本小题12分)
某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
24.(本小题12分)
我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”.
如分式A==2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2.
（1）已知分式C=，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”；
（2）已知分式P=，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值；
（3）已知分式M=（a,b为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求ab的值.
25.(本小题14分)
建立模型：
（1）如图1，已知在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，顶点C在直线l上，操作：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，求证：△CAD≌△BCE．
模型应用：
（2）如图2，在直角坐标系中，直线l1：y=x+8与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，求l2的函数表达式；
（3）如图3，在直角坐标系中，点B（10，8），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q（a，2a-6）位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时点Q的坐标；若不能，请说明理由．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】2.3×10-5
12.【答案】-1
13.【答案】m≠3
14.【答案】（a-2）2
15.【答案】19
16.【答案】-
17.【答案】
18.【答案】①②④
19.【答案】 3（a2+b2）（a+b）（a-b） 无解
20.【答案】∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB+∠ACE=∠BCE，∠DCE+∠ACE=∠ACD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE 60°
21.【答案】如图1中，△ABC即为所求（答案不唯一）； 如图2中，△ADB即为所求
22.【答案】解：（1）c2-（a-x）2；2ax；
（2）a2+b2＜c2；
证明：如图，
过点A作AD⊥BC的延长线，垂足为D，设CD=x,
∵在Rt△ADC中，AD2=b2-x2，
在Rt△ADB中，AD2=c2-（a+x）2，
∴b2-x2=c2-（a+x）2，
化简得，a2+b2-c2=-2ax,
∵a＞0，x＞0，
∴-2ax＜0，
∴a2+b2-c2＜0，
∴a2+b2＜c2．
23.【答案】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；
根据题意得，解得．
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；
（2）①根据题意得，y=100x+150（100-x），
即y=-50x+15000；
②据题意得，100-x≤2x，
解得x≥33，
∵y=-50x+15000，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x=34时，y取最大值，则100-x=66，
此时最大利润是y=-50×34+15000=13300．
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元．
24.【答案】解：（1）C是D的“雅中式”，理由如下：
∵C=，
∴C-D=-===-1，
∴C是D的“雅中式”，C关于D的“雅中值”为-1；
（2）∵P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，
∴P-Q=1，
∵P=，
∴=1，
∴，
∴E-3x-x2=9-x2，
∴E=9-x2+3x+x2=3x+9，
∴P==，
∵x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，
∴3-x为±1或±3，
∴x为0或2或4或6；
（3）∵M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，
∴M-N=1，
∵M=（a,b为整数），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴a-b-1=1，b=0，
∴a=2，b=0，
∴ab=20=1．
25.【答案】（1）证明：∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠C=90°，
∴∠ACD=90°-∠BCE=∠CBE，
在△CAD和△BCE中，
，
∴△CAD≌△BCE（AAS）；
（2）解：作CB⊥AB交l2于C，作CD⊥x轴于D，如图：

在y=x+8中，令x=0得y=8，令y=0得x=-3，
∴A（0，8），B（-3，0），
∴OA=8，OB=3，
∵∠BAC=45°，CB⊥AB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠CBD=90°-∠ABO=∠BAO，
而∠CDB=∠AOB=90°，
∴△CDB≌△BOA（AAS），
∴CD=OB=3，BD=OA=8，
∴OD=OB+BD=11，
∴C（-11，3），
设l2的解析式为y=kx+8，把C（-11，3）代入得：
3=-11k+8，解得k=，
∴l2的解析式为y=x+8；
（3）解：点A、P、Q能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下：
∵Q（a，2a-6），
∴点Q在直线y=2x-6上，
①当Q在AP下方时，过Q作QE⊥y轴于E，交BC于F，如图：

∵△APQ是等腰直角三角形，
∴∠AQP=90°，AQ=PQ，
∴∠AQE=90°-∠PQF=∠QPF，
又∠AEQ=∠QFP=90°，
∴△AEQ≌△QFP（AAS），
∴EQ=PF，QF=AE，
∵B（10，8），Q（a，2a-6），
∴OE=2a-6，EQ=PF=a，QF=AE=EF-EQ=10-a，
∴OA=AE+OE=10-a+2a-6=a+4，
又OA=8，
∴a+4=8，
∴a=4，
∴Q（4，2）；
②当Q在AP上方时，过Q作QE⊥y轴于E，交CB延长线于F，如图：

同理△AEQ≌△QFP（AAS），
∴EQ=PF，AE=QF，
∵Q（a，2a-6），
∴EQ=PF=a，OE=2a-6，
∴AE=OE-OA=2a-6-8=2a-14=QF，
而EQ+QF=OC=10，
∴a+（2a-14）=10，
∴a=8，
∴Q（8，10）；
综上所述，Q的坐标为：（4，2）或（8，10）． 如图①，过点A作AD⊥CB，垂足为D,设CD=x,
∵在Rt△ADC中，AD2=b2-x2，
在Rt△ADB中，AD2=①，
∴b2-x2=①,
化简得，a2+b2-c2=2ax,
∵a＞0，x＞0，
∴②＞0,
∴a2+b2-c2＞0,
∴a2+b2＞c2.