湖北省部分学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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祝考试顺利
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效.
3.填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用并集求解即可.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：D
2. 命题：“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，即可得解.
【详解】“，”的否定是“，”，
故选：C.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】解：因为在定义域上单调递增，所以由可得，
所以由可得，即充分性成立，
由推不出，如、满足，但是，即必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要条件；
故选：A
4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用抽象函数定义域来确定自变量满足的条件，然后求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，则函数的自变量满足：
，解得，
所以函数的定义域为，
故选：B
5. 已知函数，则（ ）
A. 0B. 3C. 8D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】利用分段函数的解析式计算即可.
【详解】因为函数，
所以.
故选：A.
6. 已知幂函数在区间上单调递减.则（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用幂函数的定义及单调性，结合可求解参数，即可判断选项.
【详解】由幂函数可得：，
此时幂函数，在区间上单调递减，可得，
由代入可得：，
因为，所以，
即，所以，
故选：C.
7. 若函数是上的增函数.则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用分段函数的单调性来确定参数的满足条件，即可求解.
【详解】要使得函数是上的增函数，
则，解得，
故选：C．
8. 已知函数是定义域为的偶函数，当时.恒成立.且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得的单调性与对称性，结合，可解不等式.
【详解】当时，恒成立，所以，
所以在上为减函数，
又函数是定义域为的偶函数，所以关于对称，
所以在上为增函数，
所以，又，所以，
所以当时，；当时，；
当时，，
由，得或，所以或，
所以不等式的解集为.
故选：D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】直接由解析式判断函数的单调性和奇偶性即可得解.
【详解】对于A，因为的定义域为，且，所以函数为偶函数，
又在区间上单调递增，故A错误；
对于B，因为的定义域为，且，所以函数为偶函数，
又在区间上单调递减，故B正确；
对于C，因为的定义域为，且，所以函数为奇函数，故C错误；
对于D，因为的定义域为，且，所以函数为偶函数，
又在区间上单调递减，故D正确.
故选：BD.
10. 若，，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用同向不等式的可加性等性质进行判断即可.
【详解】因为，所以，即，故A正确；
因为，所以，又因为，所以，故B错误；
因为，所以，又因为，所以，故C正确；
因为，，所以，故D正确；
故选：ACD
11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 当时，
C. 不等式的解集为
D. 函数的单调增区间为
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用奇函数可判断A，利用对称性可判断B，利用解分段函数不等式可判断C，利用分段二次函数的单调性可判断D．
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，故A正确；
当时，由奇函数得：，故B正确；
当时，由，
因为，所以解得，
当时，由，
显然此时无解，综上可得不等式的解集为，故C正确；
当时，由二次函数的递增区间可得，
当时，由递增区间可得，
故函数的单调增区间为，故D错误；
故选：ABC．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，若则实数________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到，讨论和，解方程验证得到答案.
【详解】，故，
当，，此时，不满足互异性，舍去；
当，或，时，，不满足互异性，舍去；
时，，，满足条件.
综上所述：.
故答案为：.
【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力.
13. 已知实数，满足，，则的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用待定系数法进行运算，利用同向不等式可加性求解即可.
【详解】令，
则，
因为，，
所以，，
则上两式相加得：，
故答案为：
14. 教材87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数.的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.请根据上面阅读材料解决下面问题：
若函数是定义在上的减函数，且函数为奇函数，则函数图像的对称中心为_____；不等式的解集为_____.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由函数.的图像关于点成中心对称图形的充要条件可求对称中心；由题意可得，可得，代入利用单调性可求解不等式.
【详解】因为函数为奇函数，所以函数图像的对称中心为；
因为函数为奇函数，所以，
所以，即，
所以，
由，可得，所以，
又因为函数是定义在上的减函数，所以，
所以，所以，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：①；②.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式求得集合，结合集合的补集、交集的运算，即可求解；
（2）由题意得到，分和两种情况讨论即可求解.
【小问1详解】
由，解得，
，
当时，，
或，
.
【小问2详解】
若，则，
①时，满足，此时，解得；
②当时，有，
解得.
综上所述，当时，实数的取值范围是.
16. （1）已知，，，且不等式恒成立，求实数a的取值范围.
（2）设命题q：，使得不等式成立，若q为真命题，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式求最值，利用不等式恒成立求参数范围；
（2）利用二次函数求出最小值，再利用存在不等式成立求参数范围.
【详解】（1）由题意可知：，
当且仅当，即，时取等号，
因为不等式恒成立，所以，
即，即，
解得，即实数的取值范围是.
（2）当为真命题时，对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为，
则在区间上，，
故，成立等价于，
即，
故实数的取值范围是.
17. 已知，，，表示，的最小者，记为.
（1）请在如图所示的坐标系中作出函数m（x）的图象，并写出解析式；
（2）请直接写出函数单调区间及值域（无需说明理由）；
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）作图见解析，
（2）单调递减区间为，不存在单调递增区间；值域为R
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意判断，的大小关系，即可得的解析式和图像；
（2）根据图像判断的单调性和值域；
（3）根据的单调性解不等式即可.
【小问1详解】
令，即，解得或；
令，即，解得；
综上所述：，
函数的图像如图所示：
【小问2详解】
由图像可知：的单调递减区间为，不存在单调递增区间；值域为R.
【小问3详解】
因为，所以，即为，
且是上的减函数，则，
即，解得或，
故实数的取值范围是.
18. 已知函数，当时，恒有.
（1）求实数的值；
（2）证明：为奇函数；
（3）试判断在上的单调性，并证明.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）增函数，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得，计算可求得实数的值；
（2）利用奇偶性的定义证明即可；
（3）利用单调性的定义证明即可.
【小问1详解】
因，，
所以.
【小问2详解】
由题意可知：的定义域，关于原点对称，
且，
所以为奇函数.
【小问3详解】
在上为增函数，证明如下：
，且，
则
因为，则，，，
可得，即，
故在上为增函数.
19. 近年来，某县大力发展旅游业，带动周边乡村游.该县某乡村计划在2026年新增一个特色体验项目，通过调查分析：运营该项目全年需投入固定成本12万元，年接待游客（千人），需另投入成本（万元），且由市场调研知，每人收费90元，且每年内接待的游客当年能全部服务完.
（1）求出2026年的利润（万元）关于年接待游客量（千人）的表达式；
（2）2026年年接待游客量为多少（千人）时，该乡村所获利润最大？最大利润是多少？
（3）若该乡村希望至少盈利5万元，求年接待游客量的取值范围.
（参考数据：，）
【答案】（1）
（2）最大利润为8万元，在年接待游客量为10千人时取得
（3）
【解析】
【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，列出函数即可；
（2） 利用分段函数求最值，再作比较，即可得最大利润；
（3）利用分段函数解不等式，从而可求年接待游客量的取值范围.
【小问1详解】
当时，；
当时，，
所以；
【小问2详解】
若，即，
当时，万元；
若时，，
当且仅当时，即时，万元，
因为，
所以2026年最大利润8万元，在年接待游客量为10千人时取得.
【小问3详解】
当时，由，即；
即，判别式，该不等式无解.
因此，在区间内，无法达到盈利5万元.
当时，由，即，
解方程，得两根为，
由于，所以解得
综合两段区间，年接待游客量在千人范围内时，该乡村至少盈利5万元.