湖北省部分省级示范高中2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份湖北省部分省级示范高中2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题设，且，则.
故选：B.
2. 已知，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
故选：B.
3. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，，
故.
故选：C.
4. 已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设扇形的半径为，所对弧长为，
则有，解得，
故.
故选：.
5. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】由解析式，有，即，故定义域为，
，即为奇函数，排除C、D；
当时，，即，排除B.
故选：A.
6. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于A选项，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数的最小正周期为，且该函数在上单调递减，A满足条件；
对于B选项，函数的最小正周期为，且该函数在上单调递减，B不满足条件；
对于C选项，函数的最小正周期为，
当时，，则函数在上不单调，C不满足条件；
对于D选项，函数的最小正周期为，
当时，，则函数在上单调递增，D不满足条件.
故选：A.
7. 已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意，函数，可得函数的周期为.
因为，所以.
由函数在区间上有且仅有一个零点，
得，且，即，且.
当时，，解得，所以；
当时，，解得，所以；
当时，，解得，此时解集为空集.
综上，实数的取值范围为.
故选：A.
8. 已知函数，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，
因为所以的定义域为，
则，
又，，所以
所以为奇函数；
在上为增函数，在上为增函数，
又也为增函数，所以根据函数的单调性的性质可得在上为增函数；
等价于，即，
则 解得：或，
即关于x的不等式的解集为.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的定义域为
C. 函数的图象的对称中心为
D. 函数的单调递增区间为
【答案】BD
【解析】函数的最小正周期为，所以A错误；
由，则定义域为，所以B正确；
因为正切函数的对称中心为，则，
可知函数的对称中心应为，所以C错误；
由，得，
所以函数的单调递增区间为，所以D正确.
故选：BD.
10. 已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（ ）
A. 的一个周期为
B. 的图象关于对称
C. 在上单调递增
D. 的值域为
【答案】ABD
【解析】对于A，根据诱导公式可知：
，故的一个周期为，即A正确；
对于B，根据诱导公式可知：
，所以的图象关于对称，即B正确；
对于C，易知
，即为偶函数，
当时，，显然此时函数单调递减，
由偶函数的对称性可知时函数单调递增，故C错误；
由B结论可知为的一个周期，
此区间上，故D正确.
故选：ABD
11. 函数的定义域为为偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. 在上单调递增
B.
C. 函数有2个零点
D. 若关于x的方程在区间上的实数根的之和为12
【答案】BCD
【解析】由于为偶函数，则关于对称，则，
故，结合可得，
用取代，得到，用取代，得到，
于是，的周期为4，由可得，
结合可得，故为奇函数.
对A，由幂函数的性质，在上单调递增，由奇函数的性质，在上递增，
又关于对称，则在上递减，又周期为4，故在上单调递减，故A错误；
对B，奇函数的定义域为，故，又周期为4，故，
由，取得到，取，得到，
故，
所以，故B正确；
对C，在同一直角坐标系中作出和的图像如下：
由图象可得有两个交点，故有两个零点，故C正确；
对D，先作出在上的图象，
由，根据对称性，四个点的横坐标之和为，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知幂函数图象过点，则__________.
【答案】
【解析】由函数为幂函数，得，即，
所以，
又函数过点，
则，
故答案为：.
13. 某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的，要使该物质上的细菌少于原来的，则至少要喷洒______次
【答案】
【解析】设喷洒次，则：，
，
，且，
，
，即至少喷洒次．
故答案为：.
14. 已知定义在R上的函数满足，当时，，若对任意，都有，则实数m的最大值为______．
【答案】
【解析】由得，当时，，
故当时，，
当时，，
当时，，依次类推，
又函数的定义域为R，所以函数的大致图象为
因为，，
所以，，
所以由，可得，
当时，由的，
所以对任意，都有，
得实数取值范围为，则实数的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）计算：；
（2）已知，且，求c的值.
解：（1）原式.
（2）由得，由得，，，
，，，，.
16. （1）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值；
（2）已知，且，求的值．
解：（1）解方程，得，，
是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，则，
（2），且，
，则，而，
则，故，
17. 南京马拉松作为江苏省的省会马拉松赛，创办于2015年，六年的时间它已成为中国马拉松金牌赛事世界田联标牌赛事，有穿越中华门、玄武湖、总统府等经典景点的比赛路线，为了迎接2023年11月南京马拉松赛的回归，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为两个全等的直角三角形和一个等腰三角形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度也都是），．

（1）当时，求海报纸（矩形）的周长：
（2）为了节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
解：（1）设，直角三角形另一个直角边长为，
则有宣传栏的面积为，
且海报周长，
又由，即，
因为，则，所以海报周长，
答：海报纸的周长为．
（2）由（1）知
，
当且仅当时取等，此时，解得，
即长和宽时，使用纸量最少．
18. 已知函数奇函数.
（1）求m的值；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围．
解：（1）因为函数为奇函数，
所以，即，
整理得，又，所以，所以.
（2）设，且，
则，
因为，单调递增，所以，
所以，，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
（3）因为函数为奇函数，
所以，
又因为在上单调递增，
所以，即在区间上恒成立，
令，
因为在上单调递增，
所以，由题意，得，
所以a的取值范围为.
19. 定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质.
（1）分别判断以下两个函数是否具有性质：和；
（2）函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值.
解：（1），，
故，
则函数不具有性质；
，，
故，
则函数具有性质；
（2）若具有性质，则，
则，因为，所以，
则，
由得：，
若，则存在，使得，
而，上式不成立，
故，即，因为，
所以，则，
即，则，
验证：当，时，，
则对任意，，
，
等式成立，
故存在，，使函数具有性质；
（3）由（2）知，，，
令，由题知，在区间上恰有三个实数根，，，
由函数的图象知：，，
则，
故，
化简得，
则.