湖北省部分省级示范高中2024-2025学年高一下学期期中测试数学试卷（解析版）

这是一份湖北省部分省级示范高中2024-2025学年高一下学期期中测试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，且，解得，所以.
故选：D
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以．
故选：C．
3. 在中，内角所对的边分别为，已知，则角等于（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】在△ABC中，，，，
由正弦定理得，
且，则，可得，
所以．
故选：B．
4. 如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，
则，，
所以.
故选：A．
5. 年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
.
故选：C．
6. 在下列函数中，周期为的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，，周期为，A不是；
对于B，，周期为，B不是；
对于C，，周期为，C是；
对于D，，周期为,D不是.
故选：C
7. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的最小正周期为
C. 在区间上单调递减
D. 在区间上共有8100个零点
【答案】D
【解析】由图可知，，且，可得，
又，∴，故A错误；
由五点作图法可知，，解得，则的最小正周期为，
故B错误；
函数解析式为，
当时，，，
在区间上不是单调减的，故C错误；
由，可得，即，
再由，解得，
由，解得，
∴，则在区间上共有8100个零点，
故D正确．
故选：D．
8. 若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：
，
即是上的“完整函数”，所以存在，
使得成立；
即存在，使得成立；
又因为，因此，即在上至少存在两个最大值点，所以，解得；
当，即时，一定满足题意；
若，因为，，所以，
又易知；
所以只需保证即可，解得，
综上可知．
故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 已知，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 与的夹角为
D. 在方向上的投影向量是
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意可得，
所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，
所以，故C错误；
对于D，在方向上的投影向量是，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是的一条对称轴
B. 的对称中心是
C. 在区间上的值域是
D. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则
【答案】AD
【解析】由，解得，
所以的对称轴方程为，
当时，，所以是的一条对称轴，故A正确；
由，可得，
所以的对称中心是，故B错误；
当时，，此时的最小值为，故C错误；
将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，所以，所以是奇函数，
所以，故D正确.
故选：AD.
11. 在锐角中，设分别表示角对边，，，则下列选项正确的有（ ）
A.
B. 的取值范围是
C. 当时的外接圆半径为
D. 若当变化时，存在最大值，则正数的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于A：，且，即，
由正弦定理得：，即，
或（舍去），，故A正确；
对于B：由正弦定理，则，
为锐角三角形，则，即，
，所以，故B不正确；
对于C：且，，所以，
由正弦定理，求得，即的外接圆半径为；故C正确；
对于D：
，且，
，即；
要使得有最大值，即有最大值，
此时，当有最大值时，即时，
有最大值为，此时，
，又，
，，
∴的取值范围为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若复数为纯虚数，则实数的值为_______．
【答案】
【解析】因为为纯虚数，则，
解得.
故答案为：.
13. 在中，角的对边分别为，则___________．
【答案】
【解析】由余弦定理可得：，∴，
所以．
故答案为：
14. 在中，，点为三边上的动点，是外接圆的直径，则的取值范围是___________．
【答案】．
【解析】如图：记的外接圆半径为，
，
由图可知的最大值为时，取最大值0；
因为中，所以当为中点时，最小，
此时，所以取最小值，
故答案为：．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”．
（1）求实数；
（2）定义复数的一种运算“”：，求．
解：（1）由题得，
，
是“理想复数”，
，
；
（2）由（1）知，
所以，
由，
得，
.
16. 已知.
（1）求；
（2）求.
解：（1）因为，，则，
所以.
（2）因为，所以，
又，所以，
所以
.
17. 已知的内角的对边分别为，且向量与向量共线.
（1）求；
（2）若的面积为，求的值.
解：（1）向量与向量共线，有，由正弦定理得，
∴，
由，，∴，，又，∴.
（2）由（1）知，∴，，
，得，
由余弦定理：，
∴，解得.
18. 已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为.
（1）求的单调递减区间；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围.
解：（1），
，
因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，得，所以，
令，则，
所以的单调递减区间为
（2）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，
再向左平移个单位得，
令，则，所以，
因为在上只有一个解，
由的图象可得，或，
所以的取值范围是
19. 如图，扇形的半径为1，圆心角为是弧上的动点（不含点），作交于点，作交于点，同时以为斜边，作，且．
（1）设，将的面积表示成的函数并求其最大值；
（2）从点出发，经过线段，到达点，求途经线段长度的最大值．
解：（1）由，则，
在中，，，
则，，
所以，
因为，则，
当时，即当时，的面积取最大值，且最大值为.
（2）过点作，垂足为点，
因为，，，则四边形为矩形，
所以，，，
因为，，则为等腰直角三角形，则，
所以，，
，，
所以，，
令，
因为，则，则，
所以，，，
所以，，
所以，，
故当时，取最大值，
因此，从点出发，经过线段、、、，到达点，求途径线段长度的最大值为.