河北省邢台市威县2025-2026学年九年级上学期期末教学质量检测+数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份河北省邢台市威县2025-2026学年九年级上学期期末教学质量检测+数学试卷（原卷版+解析版），共31页。
2．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁．
3．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知的半径为，圆心到直线的距离为，那么直线与的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相离C. 相切D. 无法确定
2. 若双曲线在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可能是（ ）
A. B. C. 0D. 1
3. 如图，四边形四边形，则（ ）
A. 10B. 12.5C. 20D. 50
4. 黄庄月饼是河北特色月饼之一，嘉嘉从一个装有1个板栗月饼，2个枣泥月饼，3个五仁月饼和4个豆沙月饼黄庄月饼礼盒中，随机拿出一个月饼（月饼的外观都一样），则拿出的月饼可能性最大的是（ ）
A 板栗月饼B. 枣泥月饼C. 五仁月饼D. 豆沙月饼
5. 下列抛物线的顶点坐标为的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，为的外接圆，，点D 在优弧上，连接． 若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，D为上一点，添加下列条件后，能使有（ ）
①；② ；③
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
8. 一定质量的氧气，其密度与体积是反比例函数关系．当时，，则ρ与V之间的函数图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
9. 用6m长的铝合金材料做一个形状如图所示的窗框（由矩形和矩形组成），窗框的面积为，求宽的长．小冀的解答过程如下，则开始出错的一步是（ ）
设宽的长为，则的长为……①
可列方程为……②
解方程，得……③
不符合题意，故舍去……④
答：宽的长为
A ①B. ②C. ③D. ④
10. 二次函数的图象如图所示．关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（ ）
甲：b，c的值可能为1，4；
乙：．
A. 甲对，乙错B. 甲错，乙对C. 两人均对D. 两人均不对
11. 如图是函数 与 在第二象限内的图象，点在的图象上，轴于点A，轴于点B，分别交的图象于C，D两点，连接，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
12. 如图，点C，D在线段上，且，．若，，．关于结论①，②，下列判断正确是（ ）
结论①：；
结论②：的周长为．
A. ①、②都对B. 只有①对C. 只有②对D. ①、②都不对
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是_____．
14. 如图是某款折叠凳的侧面示意图，凳面地面，经过点O，且垂直于．若，，，则的长为__________．
15. 如图，为正六边形的外接圆，以点F为圆心，的长为半径画弧，得到扇形．若，则的半径为_________．
16. 已知二次函数 （是常数，且），当时对应的函数值均为正数，则满足条件的的整数值有______个．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求m的值；
（2）解这个方程．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）在图中画出将绕点O逆时针旋转的，并写出点的坐标；
（2）在y轴右侧，且与关于点O 位似，且，写出点的坐标，并在图中画出．
19. 如图是正面写有元素周期表中相邻的四个元素的卡片，背面相同，正面朝下打乱放在桌面上，化学老师随机取一张卡片（不放回），小明再从剩下的卡片里随机取一张．
（1）化学老师取出的卡片上所写的元素符号是N是 事件（填“随机”“必然”或“不可能”）；
（2）用列表或画树状图的方法，求化学老师与小明取出的卡片上所写的元素能组成“一氧化氮（）”（ 不考虑顺序）的概率．
20. 如图，与关于点C成中心对称，，，．
（1）求的长；
（2）在上取一点F，连接．若，求证：．
21. 如图是古代手推车的侧面示意图，为过圆心O的车架，且与交于点B，地面与车轮相切于点D，连接，，已知车轮的半径为．
（1）若，求的度数及的长（结果保留π）；
（2）已知M为的中点，连接交于点H．若，求的长．
22. 如图，直线 与双曲线交于，两点．
（1）求L 和l的函数解析式；
（2）在第一象限内，当时，直接写出x的取值范围；
（3）直线与L，l和x轴分别交于点E，F，G（点 E，F，G不重合）．当点F，G关于点E对称时，求a的值．
23. 综合与实践
【问题背景】中招体育考试实心球项目男生满分的评分标准为：投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于．嘉嘉为了在中招体育考试实心球项目得满分进行了投掷实心球训练．
【建模分析】如图，嘉嘉某次投掷实心球训练时，实心球运行的路线为抛物线 的一部分，x为实心球运行时距离出手点A 的水平距离，y为实心球运行时距离地面的高度，已知出手点A 的高度为，当实心球运行的水平距离为时，实心球距地面的高度与出手时的高度相等．
【问题解决】
（1）求a，c的值及此次训练实心球运行时距离地面的最大高度；
（2）淇淇说：“嘉嘉此次训练没有得满分．”请你通过计算帮淇淇说明理由；
（3）嘉嘉为了得到满分，在此次训练的基础上，计划通过提高出手点（即掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变）来提高成绩．若嘉嘉能得到满分，求提高出手点的高度h的取值范围．
24. 【问题情境】如图1，图2，图3，四边形为正方形，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转到，点的对应点为点，连接．
【特例】（1）如图1，当点位于边上，时，的值为______；
【探究】（2）若点位于射线上，射线与射线交于点．
①如图2，当点位于边上时，求证：；
②若，当时，求的长；
【拓展】（3）如图3，若，正方形的边长为8，直接写出的最大值．2025~2026学年九年级第一学期期末教学质量检测数学（人教版）
注意事项：
1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟．
2．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁．
3．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知的半径为，圆心到直线的距离为，那么直线与的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相离C. 相切D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系．根据“若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离”即可得到结论．
【详解】解：∵的半径等于，圆心O到直线l的距离为，，
∴直线l与相交．
故选：A．
2. 若双曲线在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可能是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了反比函数的图象和性质，反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的增减性可得，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数在每个象限内，随的增大而减小，
∴，
观察四个选项，的值可能是1．
故选：D．
3. 如图，四边形四边形，则（ ）
A. 10B. 12.5C. 20D. 50
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的对应边成比例求解即可．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，即，
解得，经检验，符合题意，
故选：C．
4. 黄庄月饼是河北特色月饼之一，嘉嘉从一个装有1个板栗月饼，2个枣泥月饼，3个五仁月饼和4个豆沙月饼的黄庄月饼礼盒中，随机拿出一个月饼（月饼的外观都一样），则拿出的月饼可能性最大的是（ ）
A. 板栗月饼B. 枣泥月饼C. 五仁月饼D. 豆沙月饼
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查可能性的大小．根据各种月饼数量的多少，直接判断可能性的大小，哪种月饼的数量越多，拿出的可能性就越大．
【详解】解：由题意得，所有事件可能的结果数是，
∵豆沙月饼有4个，数量最多，
∴拿出的可能性最大的是豆沙月饼，
故选：D．
5. 下列抛物线的顶点坐标为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．先根据二次函数的性质确定各抛物线的顶点坐标，然后进行判断．
【详解】解：A、，顶点坐标为，本选项不符合题意；
B、，顶点坐标为，本选项不符合题意；
C、，顶点坐标为，本选项符合题意；
D、，顶点坐标为，本选项不符合题意；
故选：C．
6. 如图，为的外接圆，，点D 在优弧上，连接． 若，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等．根据等腰三角形性质求出，根据即可求出．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
7. 如图，在中，，D为上一点，添加下列条件后，能使的有（ ）
①；② ；③
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键，根据相似三角形的判定方法逐一分析判断即可．
【详解】解：①∵，，
∴，
又，
∴，故符合题意；
②∵，，
∴，故符合题意；
③，，不是夹角的两边对应成比例，不能得到，故不符合题意，
故选：C．
8. 一定质量的氧气，其密度与体积是反比例函数关系．当时，，则ρ与V之间的函数图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了由实际问题列反比例函数解析式，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
首先根据题意，一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；进一步求解可得答案．
【详解】解：设，当时，，
所以，即，
所以ρ与V的函数关系式是，
当时，，选项A不符合题意；
当时，，选项B不符合题意；
当时，，选项C不符合题意；
当时，，选项D符合题意；
故选：D．
9. 用6m长的铝合金材料做一个形状如图所示的窗框（由矩形和矩形组成），窗框的面积为，求宽的长．小冀的解答过程如下，则开始出错的一步是（ ）
设宽的长为，则的长为……①
可列方程为……②
解方程，得……③
不符合题意，故舍去……④
答：宽的长为
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设宽的长为，然后表示出长，利用面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：设宽的长为，则的长为，
可列方程为，
解方程，得，
答：宽的长为，
故原解答过程中第③步错误，
故选：C．
10. 二次函数的图象如图所示．关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（ ）
甲：b，c的值可能为1，4；
乙：．
A. 甲对，乙错B. 甲错，乙对C. 两人均对D. 两人均不对
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系．根据图象得出抛物线开口向下，且对称轴在y轴左侧，与y轴的交点在原点上方，与x轴有两个交点，分别判断各选项即可．
【详解】解：由函数图象得，抛物线开口向下，且对称轴在y轴左侧，与y轴交点在原点上方，与x轴有两个交点，
∴，，，，
则，
观察甲的说法，明显不正确，乙的说法正确；
故选：B．
11. 如图是函数 与 在第二象限内的图象，点在的图象上，轴于点A，轴于点B，分别交的图象于C，D两点，连接，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数中k的几何意义．根据反比例函数的图象和性质，求得点，，，求得，，，，根据，代入数据计算，即可得出正确答案．
【详解】解：∵点在的图象上，
∴，
∴点，
∵轴，轴，C，D两点在的图象上，
∴四边形是矩形，
∴点，，
∴，，，，
，
∴，，
∴
，
故选：B．
12. 如图，点C，D在线段上，且，．若，，．关于结论①，②，下列判断正确的是（ ）
结论①：；
结论②：的周长为．
A. ①、②都对B. 只有①对C. 只有②对D. ①、②都不对
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定及其性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．根据等腰三角形的性质可得，可知，可证得，列出比例式求得，作于点，利用等腰三角形的性质结合勾股定理求得，据此计算即可解决问题．
【详解】解：①∵，
∴，则，
∵，
∴；故①说法正确；
②∵，
∴，即：，
∵，则，
∴，
作于点，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
综上，①、②都对．
故选：A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是_____．
【答案】（4，﹣3）
【解析】
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
【详解】点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（4，﹣3）．
故答案为（4，﹣3）．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，比较简单．
14. 如图是某款折叠凳的侧面示意图，凳面地面，经过点O，且垂直于．若，，，则的长为__________．
【答案】30
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：30．
15. 如图，为正六边形的外接圆，以点F为圆心，的长为半径画弧，得到扇形．若，则的半径为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，先根据正六边形的性质和等边对等角等知识求出，然后根据扇形面积公式求出，连接，，，过O作于H，证明是等边三角形，得出，根据圆周角定理得出，根据三线合一的性质得出，，然后根据正弦的定义求出，即可求解．
【详解】解：∵为正六边形的外接圆，
∴，，，
∴，，
∴，
又，
∴，
解得，
连接，，，过O作于H，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
即半径为2，
故答案为：2．
16. 已知二次函数 （是常数，且），当时对应的函数值均为正数，则满足条件的的整数值有______个．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，分和求出时的取值范围，进而求出整数的值即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴二次函数的对称轴为直线，
当时，抛物线的开口向上，
∵当时对应的函数值均为正数，
∴当时，函数取最小值为，
解得；
∴，
∴此时满足条件的的整数值有，共个；
当时，抛物线的开口向下，
∵，
∴函数值，
∵当时对应的函数值均为正数，
∴，
解得，
∴，
∴此时满足条件的的整数值有，共个；
综上，满足条件的的整数值共有个，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求m的值；
（2）解这个方程．
【答案】（1）；
（2），．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的定义和求解方法是解题的关键．
（1）依据一元二次方程未知数最高次数为2的定义，令方程中的次数等于2，从而列方程求解；
（2）把求得的值代入原方程，再用因式分解法解一元二次方程．
【小问1详解】
解：由题意可得，
解得；
【小问2详解】
解：由（1）可知，方程为，
∴，
∴或，
解得，．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）在图中画出将绕点O逆时针旋转的，并写出点的坐标；
（2）在y轴右侧，且与关于点O 位似，且，写出点的坐标，并在图中画出．
【答案】（1）图见解析，点的坐标为；
（2）图见解析，点的坐标为．
【解析】
【分析】此题主要考查了旋转变换、位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案．
【小问1详解】
解：如图所示．
；
点的坐标为；
【小问2详解】
解：如图所示．点的坐标为．
19. 如图是正面写有元素周期表中相邻的四个元素的卡片，背面相同，正面朝下打乱放在桌面上，化学老师随机取一张卡片（不放回），小明再从剩下的卡片里随机取一张．
（1）化学老师取出的卡片上所写的元素符号是N是 事件（填“随机”“必然”或“不可能”）；
（2）用列表或画树状图的方法，求化学老师与小明取出的卡片上所写的元素能组成“一氧化氮（）”（ 不考虑顺序）的概率．
【答案】（1）随机 （2）
【解析】
【分析】本题考查了随机事件的概念，用列表法或树状图法求概率，掌握树状图法或列表法求概率是解题的关键．
（1）根据随机事件概念解答即可；
（2）先根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数以及符合题意的结果数，最后根据概率的计算公式即可求解．
【小问1详解】
解：化学老师取出的卡片上所写的元素符号是N是随机事件，
故答案为：随机；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
由图可知共有12种等可能的结果，其中能组成“”（一氧化氮）的结果有2种，
∴化学老师与小明摸出的卡片上写的元素能组成“”（一氧化氮）的概率为．
20. 如图，与关于点C成中心对称，，，．
（1）求的长；
（2）在上取一点F，连接．若，求证：．
【答案】（1）2 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了中心对称，勾股定理，相似三角形的判定等知识，解题的关键是：
（1）根据中心对称的性质得出，，，根据勾股定理求出，即可求解；
（2）根据勾股定理求出，结合已知可求出，然后根据相似三角形的判定即可得证．
【小问1详解】
解：∵与关于点C成中心对称，，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
又，，
∴，
∴，
又，
∴．
21. 如图是古代手推车的侧面示意图，为过圆心O的车架，且与交于点B，地面与车轮相切于点D，连接，，已知车轮的半径为．
（1）若，求的度数及的长（结果保留π）；
（2）已知M为的中点，连接交于点H．若，求的长．
【答案】（1），的长为
（2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是：
（1）连接，根据切线的性质并结合已知可求出，根据等边对等角求出，根据三角形的内角和定理求出，然后根据圆周角定理和弧长公式求解即可；
（2）根据垂径定理的推论得出，进而求出，根据勾股定理求出，即可求解．
【小问1详解】
解：连接，
∵与相切于点D，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：如图，
∵，M为的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴．
22. 如图，直线 与双曲线交于，两点．
（1）求L 和l的函数解析式；
（2）在第一象限内，当时，直接写出x的取值范围；
（3）直线与L，l和x轴分别交于点E，F，G（点 E，F，G不重合）．当点F，G关于点E对称时，求a的值．
【答案】（1），
（2）
（3）3或4
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，解一元二次方程等知识，解题的关键是：
（1）先把A的坐标代入，求出m，然后把B的坐标代入求出n，最后把A、B的坐标代入求解即可；
（2）观察图象即可求得不等式的解集即可；
（3）先求出E、F、G的坐标，然后根据轴对称的性质得出，则，然后解方程即可．
【小问1详解】
解：把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得，
∴，
把、代入，得，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：由图象可知：当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴在第一象限内，当时，x的取值范围为；
【小问3详解】
解：∵直线与L，l和x轴分别交于点E，F，G（点 E，F，G不重合），
∴，，，
∵点F，G关于点E对称，
∴，
∴，
整理，得，
解得，，
∴a的值为3或4．
23. 综合与实践
【问题背景】中招体育考试实心球项目男生满分的评分标准为：投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于．嘉嘉为了在中招体育考试实心球项目得满分进行了投掷实心球训练．
【建模分析】如图，嘉嘉某次投掷实心球训练时，实心球运行的路线为抛物线 的一部分，x为实心球运行时距离出手点A 的水平距离，y为实心球运行时距离地面的高度，已知出手点A 的高度为，当实心球运行的水平距离为时，实心球距地面的高度与出手时的高度相等．
问题解决】
（1）求a，c的值及此次训练实心球运行时距离地面的最大高度；
（2）淇淇说：“嘉嘉此次训练没有得满分．”请你通过计算帮淇淇说明理由；
（3）嘉嘉为了得到满分，在此次训练的基础上，计划通过提高出手点（即掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变）来提高成绩．若嘉嘉能得到满分，求提高出手点的高度h的取值范围．
【答案】（1），，
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是：
（1）把、代入，即可求出a、c值，然后把函数解析式化为顶点式即可求出最大高度；
（2）令，求出自变量的值，进行判断即可；
（3）根据嘉嘉可得满分，求出新的解析式，进而求出掷出点的高度即可．
【小问1详解】
解：∵出手点A 的高度为，当实心球运行的水平距离为时，实心球距地面的高度与出手时的高度相等，
∴经过、，
∴，
解得，
∴，
∴此次训练实心球运行时距离地面的最大高度为；
【小问2详解】
解：当时，，
解得，（舍去），
∵，
∴嘉嘉此次训练没有得满分；
【小问3详解】
解：∵嘉嘉掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变，
∴设现在抛物线为，
当抛物线经过时，则，
解得，
∴，
当时，，
∴若嘉嘉能获得满分，则提高出手点的高度h的取值范围．
24. 【问题情境】如图1，图2，图3，四边形为正方形，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转到，点的对应点为点，连接．
【特例】（1）如图1，当点位于边上，时，的值为______；
【探究】（2）若点位于射线上，射线与射线交于点．
①如图2，当点位于边上时，求证：；
②若，当时，求的长；
【拓展】（3）如图3，若，正方形的边长为8，直接写出的最大值．
【答案】（1）；（2）①见解析；②或；（3）
【解析】
【分析】（1）当点位于边上，由题意可得为等腰直角三角形，，，由正方形的性质可得，从而得出、、在一条直线上，证明，利用平行线分线段成比例即可得出结果；
（2）①当点位于边上时，由题意可得为等腰直角三角形，，，先证明，再结合，即可得出；②当点位于边上时，由正方形的性质可得，由①可得，由相似三角形的性质可得，设，则，代入计算得出；当点位于的延长线上时，证明；得出，设，则，代入计算得出，即可得出结果；
（3）连接，证明，得出，从而可得，即可得出点在以点为圆心，为半径的圆上，再由当点在的延长线上时，取得最大值，求出结果．
【详解】解：（1）当点位于边上，
由题意可得：为等腰直角三角形，，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴、、在一条直线上，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）①当点位于边上时，
由题意可得：为等腰直角三角形，，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②当点位于边上时，
∵四边形为正方形，
∴，
由①可得：，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴；
当点位于的延长线上时，如图：
，
由题意可得：为等腰直角三角形，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
∴，
设，则，
∴，
∴（负值不符合题意，舍去），
∴；
综上所述，的长为或；
（3）如图，连接，
，
∵四边形为正方形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由题意可得，为等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
∴当点在的延长线上时，取得最大值，为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质、圆的定义等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．