新疆维吾尔自治区昌吉州2025-2026学年第一学期高二期末质量监测数学试题（原卷版+解析版）

这是一份新疆维吾尔自治区昌吉州2025-2026学年第一学期高二期末质量监测数学试题（原卷版+解析版），共24页。
注意事项：
1．答题前，将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的指定位置上.
2．选择题在答题卡上用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔在答题卡相应区域内直接作答，写在试卷、草稿纸上无效.
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ）
A 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2. 已知实数成等比数列，则（ ）
A B. C. D.
3. 已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（ ）
A. 1B. 13C. 1或13D. 15
4. 已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
5. 如图，在四面体中，点，分别是，的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，令，则（ ）

A. B.
C. D.
6. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则点P到准线l的距离为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
7. 在直三棱柱中，分别是的中点，则与直线所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过作直线l与双曲线的右支交于两点（M在第一象限），，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是递增的等比数列，其前项和为，若，则（ ）
A.
B.
C.
D. 是等比数列
10. 已知抛物线的焦点为，点在上，则（ ）
A. 坐标为
B. 抛物线的准线方程为
C. 若，则
D.
11. 如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点M满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则三棱锥的体积为定值
C. 若，则直线与直线所成角的最小值为
D. 若动点M在三棱锥外接球的表面上，则点M的轨迹长度为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若等差数列中，，则________．
13. 若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为__________．
14. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的直线交该椭圆于两点，若的内切圆（圆心记为C）面积为两点的坐标分别为，则的面积______，的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．
15. 已知圆C过点和，且圆心C在y轴上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线l过点，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程.
16. 如图，长方体中，，点P为中点．
（1）求证：平面；
（2）求点D到平面的距离．
17. 在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离为3．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线与抛物线C相交于两点，求的面积．
18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2等边三角形，底面为直角梯形，其中，，.
（1）取线段中点M，连接，证明：平面;
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）线段上是否存在一点E，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19. 已知右焦点为的椭圆过点.
（1）求的方程；
（2）若点在上，点为圆上一点，求的最大值；
（3）过点的直线与交于点，与抛物线交于点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
昌吉州2025~2026学年第一学期期末质量监测
高二数学测试卷
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前，将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的指定位置上.
2．选择题在答题卡上用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔在答题卡相应区域内直接作答，写在试卷、草稿纸上无效.
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】D
【解析】
【分析】根据斜率的概念，求出两点之间的斜率，根据正切函数，求出倾斜角大小即可.
【详解】由，得，
设直线倾斜角为，则，可得.
故选：D.
2. 已知实数成等比数列，则（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设公比，利用等比数列的性质及等比中项得到方程，求出.
【详解】设等比数列的公比为，则，且，解得.
故选：C
3. 已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（ ）
A. 1B. 13C. 1或13D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的定义求解．
【详解】由双曲线，可得，
所以，所以，
因为点P在双曲线C上，，又因为，
所以，解得或，
①当在下支时，，
②当在上支时，，
综上所述：，
所以.
故选：B.
4. 已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】先判断圆与圆外切，依题意只需使所求圆的半径等于两圆半径之和即可.
【详解】依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为，
则，故两圆外切，
因圆C覆盖圆，，所以圆半径的最小值为.
故选：A.
5. 如图，在四面体中，点，分别是，的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，令，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算来求得正确答案.
【详解】连接，，
则
.
故选：A

6. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则点P到准线l的距离为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】求出焦点的坐标，过点作轴的垂线，垂足为，由可得，求出，结合抛物线的定义，即可得解．
【详解】解：由抛物线，可知，准线的方程为，
过点作轴的垂线，垂足为，
因为，所以，
所以，
所以点到准线的距离为．
故选：C．

7. 在直三棱柱中，分别是的中点，则与直线所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以为原点建系，由向量法求两直线所成角的余弦值，再由平方关系求正弦值.
【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，所以，
设直线与直线所成角为，则，
所以，
故选：B.
8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过作直线l与双曲线的右支交于两点（M在第一象限），，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线定义结合及求得，再由整理可求.
【详解】设，由可得，
由双曲线定义可得，
因为，所以，
即，整理得，因为，所以，
又，即，即，
所以，所以.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是递增的等比数列，其前项和为，若，则（ ）
A.
B.
C.
D. 是等比数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】设出公比，根据函数单调性得到，利用条件求出，进而得到首项，结合等比数列的定义，通项公式，求和公式对选项一一判断，得到答案.
【详解】设的公比为，则由递增，得，
因为，所以，
解得或（舍去），
对于A，，故A正确；
对于B，，，故B错误；
对于C，，，故C正确；
对于D，，，
又，
所以是首项为3，公比为的等比数列，故D正确．
故选：ACD.
10. 已知抛物线的焦点为，点在上，则（ ）
A. 的坐标为
B. 抛物线的准线方程为
C. 若，则
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据抛物线方程确定抛物线的顶点坐标与准线方程即可判断AB，然后再由抛物线的焦半径公式求解判断CD.
【详解】由抛物线，则，准线方程为，故A错误，B正确；
对于C，由于点在上，则，
而，则，即，所以，故C正确；
对于D，，当且仅当，即在原点时，等号成立，故D错误.
故选：BC
11. 如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点M满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则三棱锥的体积为定值
C. 若，则直线与直线所成角的最小值为
D. 若动点M在三棱锥外接球的表面上，则点M的轨迹长度为
【答案】AB
【解析】
【分析】对A，由平面ACD1判断；对B，三棱锥的体积即三棱锥的体积，进而根据面积和高为定值可判断；对C，由向量法计算时的夹角判断；对D，轨迹为平面与外接球面的交圆.
【详解】对于A：由可知，点在平面内，
若，则在上.
在正方体中，平面ACD1，因为平面ACD1，
所以，A正确；
对于B：若，则在直线上，
三棱锥的体积即三棱锥的体积，
中为到平面的距离，
由于在上，且，面积为定值，为定值，
故体积为定值，B正确；
对于C：以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
若，，则的坐标为，
，设直线与直线所成角为，
则，
当时，，所以，故最小角不是，C错误；
对于D：三棱锥的顶点，
其外接球的球心，半径，在平面内且在球面上，
轨迹为平面与球的交圆，
因为球心到平面的距离为，交圆的半径，
轨迹长度为，D错误；
故选：AB.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若等差数列中，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】利用基本量代换求出首项和公差，套公式求出.
【详解】设等差数列的公差为，由，可得：
，解得，
所以，
所以.
故答案为：.
13. 若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出直线过定点，判断点在圆内，当直线时直线与圆相交的弦长最短，再由弦长公式计算可得.
【详解】直线，则，
令，解得，所以动直线恒过点，
又圆的圆心为，半径，
所以，
所以点在圆内，
所以当直线时直线与圆相交的弦长最短，
最短弦长为.
故答案为：
14. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的直线交该椭圆于两点，若的内切圆（圆心记为C）面积为两点的坐标分别为，则的面积______，的值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】对①，根据椭圆的定义，由（其中为周长，为内切圆半径）求解；对②，由求解.
【详解】由椭圆方程可得，
对于①：的周长为
，
设内切圆半径为，由内切圆面积为，得，解得，
所以；
对于②：由图，，
因为，所以，
所以.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．
15. 已知圆C过点和，且圆心Cy轴上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线l过点，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设圆的标准方程为，将和代入求解即可;（2）讨论直线斜率存在与否，当直线斜率存在时，设：，根据圆的弦长公式求得直线方程.
【小问1详解】
∵圆的圆心在轴上，不妨设圆的标准方程为，
代入点，，得,
解得,即圆的标准方程为.
【小问2详解】
∵直线被圆截得的弦长为，且圆的半径为4，
∴圆心到直线的距离为.
①当直线斜率不存在，即直线时，满足；
②当直线斜率存在时，设：，
则由，解得，即直线的方程为.
综上，直线的方程为或.
16. 如图，长方体中，，点P为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点D到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析.
（2）.
【解析】
【分析】（1）先得到，，再利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式直接计算即可.
【小问1详解】
长方体中，，平面，
因为平面,所以，
因为，平面，
所以平面.
【小问2详解】
由题意可知两两垂直，所以以为原点所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
由题意可得
则，
设平面的法向量为，
则，令，得到；
因为,所以点D到平面的距离.
17. 在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离为3．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线与抛物线C相交于两点，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由抛物线定义将点到焦点距离转化为到准线距离求出，得到抛物线方程；
（2）可判断为焦点弦，由焦点弦公式求出，由点到直线距离公式求出到距离，根据面积公式求解.
【小问1详解】
因为抛物线上一点到焦点的距离为，
抛物线的准线方程为，所以根据抛物线定义得，
解得，所以抛物线的方程为；
【小问2详解】
由（1）知抛物线的焦点满足直线方程，
由得，整理得，
设，则
由焦点弦公式.
又点到直线的距离，
所以.
18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，.
（1）取线段中点M，连接，证明：平面;
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）线段上是否存在一点E，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）存在，.
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由向量夹角公式即可求解；
（3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解．
【小问1详解】
在四棱锥中，取中点N，连接，
由为 的中点，且，，
得，，
则四边形为平行四边形，所以，
而平面，不在平面内，
所以平面.
【小问2详解】
取 的中点O，连接，
由为等边三角形，得，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面.
由，，得四边形是平行四边形，
于是，而，则，直线两两垂直，
以O为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【小问3详解】
令，，
，，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
平面法向量为，
于是，
化简得，又，解得，即，
所以线段上存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，.
19. 已知右焦点为的椭圆过点.
（1）求的方程；
（2）若点在上，点为圆上一点，求的最大值；
（3）过点的直线与交于点，与抛物线交于点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在
【解析】
【分析】（1）由求解；
（2）利用两点间距离公式将距离问题转化为函数求最值即可；
（3）由题意得直线的斜率不为0，故设的方程为，将直线方程分别与椭圆方程和抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解即可.
【小问1详解】
由题意得
解得，所以的方程为.
【小问2详解】
设，由题意知，
所以，
因为，所以当时，，
所以.
【小问3详解】
由题意得直线的斜率不为0，
故设的方程为
联立直线与的方程，得消去并整理，得，
所以.
所以.
联立直线与抛物线的方程，
得消去并整理，
得，
所以，
所以，
所以，
若为定值，则，即，
所以存在，使得为定值.