新疆克拉玛依市独山子第二中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份新疆克拉玛依市独山子第二中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了答题前，考生务必将自己的姓名，考试范围等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级信息填写在答题卡上．
2、将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．考试结束后请妥善保管好试卷，以备考试后上课老师讲评试卷时使用．
3、考试范围：人教A版选择性必修第一册+选择性必修第二册的第四章
4、本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1. 已知空间向量，，若，则实数的值为（ ）
A. 6B. -6C. 3D. -3
2. 如图，在长方体中，（ ）
A. B. C. D.
3. 在等比数列中，，则公比 （ ）
A. B. C. 3D. 13
4. 在等差数列中，若，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
5. 直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆，过点的直线与椭圆交于点，弦被点平分，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列选项不正确的是（ ）
A. B.
C. 取到最大值D.
二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分)
9. 以下四个命题是错误的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 若直线与互相垂直，则
C. 已知直线与平行，则
D. 过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为
10. 已知双曲线：，则下列关于双曲线结论正确的是（ ）
A. 实轴长为6B. 焦点坐标为，
C. 离心率为D. 渐近线方程为
11. 已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ）
A. 数列为等差数列B. 数列为等比数列
C. D.
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12. 已知抛物线的方程为，则其焦点到准线的距离为________．
13. 已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，则
（1）圆的方程是___________；
（2）过点（1，1）的直线交圆C于点两点，则弦长的最小值为___________．
14. 设数列满足，记的前项和为，则的通项公式为______，前项和为______．
四．解答题（共6小题，满分77分）
15. （1）已知等差数列前项和为，已知，求；
（2）已知的前项和为．若，求．
16. 已知的内角所对的边分别为，向量，且．
（1）求角；
（2）若，求的面积；
（3）若，求的取值范围．
17 已知抛物线过点．
（1）求抛物线的方程，并求其准线方程；
（2）过该抛物线的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于两点，求线段的长度；
（3）过抛物线焦点的直线交抛物线于C，D两点，若，求直线的方程．
18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求平面和平面夹角的余弦值；
（3）点在线段上，满足，当与平面所成角为时，求的值．
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点（2，1）在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与圆相切，与椭圆相交于两点．且直线过椭圆的右焦点，
①求直线的方程；
②求的面积．
20. 已知等比数列的公比，且．
（1）求数列通项公式；
（2）记，求数列前项和；
（3）设是数列的前项和，对任意正整数，不等式恒成立，求的取值范围．
独山子第二中学2025-2026学年第一学期期末考试
高二数学试卷
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级信息填写在答题卡上．
2、将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．考试结束后请妥善保管好试卷，以备考试后上课老师讲评试卷时使用．
3、考试范围：人教A版选择性必修第一册+选择性必修第二册的第四章
4、本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1. 已知空间向量，，若，则实数值为（ ）
A. 6B. -6C. 3D. -3
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量平行的坐标公式即可求解.
【详解】由可知，解得.
故选：B
2. 如图，在长方体中，（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以为基底，由空间向量的线性运算结合长方体的结构特征进行运算.
【详解】在长方体中，以为基底，
则，
所以.
故选：A.
3. 在等比数列中，，则公比 （ ）
A. B. C. 3D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】由等比数列的项之间的关系得到关于公比的等式，求出.
【详解】，
∴，
故选：C.
4. 在等差数列中，若，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由等差数列的等差中项求得结果.
【详解】在等差数列中，，解得.
故选：C.
5. 直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两直线垂直，斜率相乘得，可求得斜率，利用点斜式求解即可.
【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：.
6. 已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由实轴长可列方程求得参数的值，进一步即可求得渐近线方程.
【详解】由题可知双曲线的实轴长为，则，解得，所以该双曲线的渐近线方程为．
故选：A.
7. 已知椭圆，过点的直线与椭圆交于点，弦被点平分，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用点差法求出，设，由弦被点平分得到，，将代入椭圆方程得到，这两个等式相减，经过整理结合斜率公式得到直线的斜率，利用点斜式求出直线的方程.
【详解】椭圆，设过点的直线与椭圆交于点，
弦被点平分，，，
，这两个等式相减得到，
，
，，
，，
，
设直线的斜率为，， .
直线的方程为，整理得.
故选：A.
8. 已知数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列选项不正确的是（ ）
A. B.
C. 取到最大值D.
【答案】D
【解析】
分析】由已知可得，进而计算可判断选项A；再逐一计算判断BCD即可.
【详解】因为，所以，得到，
所以，故选项A正确；
选项B，又，故选项B正确；
选项C，因为，所以数列前19项均为正数，从第20项起为负数，
所以取到最大值，故选项C正确；
选项D，又，故选项D错误.
故选：D.
二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分)
9. 以下四个命题是错误的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 若直线与互相垂直，则
C. 已知直线与平行，则
D. 过点直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出直线过定点，判断A；根据直线的垂直关系可求出m的值，判断B；根据直线的平行关系可求出a的值，判断C；讨论直线的截距是否为0，求出直线方程，判断D.
【详解】对于A, 直线，即，
由于，故，即直线恒过定点，A错误；
对于B，直线与互相垂直，
则，解得，B正确；
对于C，直线与平行，
则，解得或，
当时，直线与平行，符合题意；
当时，直线与平行，符合题意，C错误；
对于D，过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，
当直线在两坐标轴上的截距均为0时，该直线方程为，即，
当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设方程为，
将点代入，即得，解得，此时直线方程为，
即，综合可知直线方程为或，D错误，
故选：ACD
10. 已知双曲线：，则下列关于双曲线的结论正确的是（ ）
A. 实轴长为6B. 焦点坐标为，
C. 离心率为D. 渐近线方程为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据双曲线的几何性质即可逐项分析求解.
【详解】根据题意可得，，所以，
所以双曲线的实轴长为，故A正确；
双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标为，，故B错误；
双曲线的离心率为，故C正确；
双曲线的渐近线方程为，即，故D错误.
故选：AC.
11. 已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ）
A. 数列为等差数列B. 数列为等比数列
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据递推式可得、，再根据等差、等比数列的定义判断A、B；应用累加法求数列通项公式判断C；应用分组求和及等比数列前n项和公式求判断D.
【详解】因为，所以，
则是首项为，公比为2的等比数列，故A错误；
根据题意得，，
所以数列为首项为1，公比为1的等比数列，则 ，故B正确；
所以，故C正确；
，故D正确.
故选：BCD
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12. 已知抛物线的方程为，则其焦点到准线的距离为________．
【答案】2
【解析】
【详解】抛物线的焦点，准线方程为；其焦点到准线的距离为2.
考点：抛物线的标准方程.
13. 已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，则
（1）圆的方程是___________；
（2）过点（1，1）的直线交圆C于点两点，则弦长的最小值为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】对①，由直径的两端点求圆心和半径，得到圆的方程；对②，当圆心与点的连线与垂直时，弦长最短，由弦长公式求解.
【详解】对于①：因为圆一条直径的两个端点分别为，设圆心，则，
所以圆心，又直径长为，
所以圆的半径，
所以圆方程为；
对于②：当圆心与点的连线与垂直时，弦长最短，
此时圆心到直线的距离，
所以弦长.
故答案为：①；②.
14. 设数列满足，记的前项和为，则的通项公式为______，前项和为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】空一：对递推公式再递推一步得到新的递推公式，两个递推公式相减进行求解即可；
空二：利用裂项相消法进行求解即可.
【详解】∵，
故当时，，
两式相减得，∴．
又由题设可得，满足上式，
所以的通项公式为，
又，
.
故答案为：；
四．解答题（共6小题，满分77分）
15. （1）已知等差数列的前项和为，已知，求；
（2）已知的前项和为．若，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先求出等差数列的公差，然后根据等差数列前项和公式求出结果.
（2）分时，分别求出结果.
【详解】（1）因为为等差数列，，所以公差为.
由于等差数列的前项和为，所以.
（2）当时，.
当时，.
所以.
16. 已知的内角所对的边分别为，向量，且．
（1）求角；
（2）若，求的面积；
（3）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用向量平行的坐标表示，结合正弦定理建立方程，求解角.
（2）已知两边及夹角，直接利用余弦定理求第三边，再用面积公式计算.
（3）利用正弦定理将表示成关于角的函数，求出函数的取值范围.
【小问1详解】
且，.
由正弦定理，得，
代入上式得，
，又，.
【小问2详解】
在中，由余弦定理：.
又，代入上式得，或（舍）.
.
【小问3详解】
在中，，由正弦定理得.
.
又，.
.
，，.
即的取值范围是.
17. 已知抛物线过点．
（1）求抛物线的方程，并求其准线方程；
（2）过该抛物线的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于两点，求线段的长度；
（3）过抛物线焦点的直线交抛物线于C，D两点，若，求直线的方程．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将点代入抛物线，解得，从而得到抛物线的标准方程和准线方程；
（2）求出直线的方程，直线和抛物线联立方程组，消去，整理得到的一元二次方程，设，利用根与系数的关系得到，利用公式求出的值.
（3）过抛物线焦点的直线交抛物线与两点，由得到直线一定存在斜率，利用点斜式设出直线的方程，直线和抛物线联立方程组，消去，整理得到的一元二次方程，设，利用根与系数的关系得到， 求出的坐标，由得到，结合抛物线求出的坐标，利用斜率公式求出，从而得到直线的方程.
【小问1详解】
抛物线过点，
，，
抛物线的标准方程为，
准线方程为.
【小问2详解】
抛物线的方程为，
焦点坐标为，
过抛物线的焦点作斜率为1的直线交抛物线于两点，
直线的方程为，
联立，消去，得到，
整理得到，
设，
则，
.
【小问3详解】
过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，
，直线一定存在斜率，
焦点坐标为，
设直线的方程为，
联立，消去，得到，
整理得到，
设，则，
，
，，
，
，
，，
，，，，
，，，，，
当时，，，
，，
直线的方程为，
当时，，，
，，
直线的方程为，
综上可得，直线的方程为.
18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求平面和平面夹角的余弦值；
（3）点在线段上，满足，当与平面所成角为时，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先建立空间直角坐标系，列出向量与的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出余弦值，进而得到异面直线间的夹角.
（2）先求出平面和平面的法向量坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出平面和平面夹角的余弦值.
（3）先求出向量的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出线面角的正弦值，进而求得结果.
【小问1详解】
因为底面，平面，
所以，因为，
所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
设，则.
所以，所以向量与所成角的余弦值为
.
因为异面直线与所成角的范围为，所以异面直线与所成角的大小为.
【小问2详解】
因为平面，
所以平面，所以平面的一个法向量为.
因为，设平面的一个法向量为.
则有，即，令，则，所以.
所以平面和平面夹角的余弦值为.
【小问3详解】
因为，因为根据勾股定理，所以.
所以，所以.
由（2）得平面的一个法向量为.
所以当与平面所成角为时，有.
化简得，解得，
由于，所以.
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点（2，1）在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与圆相切，与椭圆相交于两点．且直线过椭圆的右焦点，
①求直线的方程；
②求的面积．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由题意列出所满足的条件，解出的值，可求得椭圆的方程；
（2）①设直线的方程为，利用直线与圆相切可求得直线的方程；②联立直线与椭圆方程，求得，利用三角形面积公式可求面积.
【小问1详解】
由题意，得，解得．
所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
①由（1）知椭圆的右焦点．
设直线的方程为，即，
因为直线与圆相切，所以，解得，
所以直线的方程为．
②当直线的方程为，
由方程组，解得或，
所以．
又因为O到直线PQ的距离为，所以的面积为；
由对称性可知直线的方程为时，的面积也为；
综上所述：的面积为．
20. 已知等比数列的公比，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和；
（3）设是数列的前项和，对任意正整数，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，，根据等比数列的通项公式可解得，，进而可得答案；
（2）应用对数运算，再利用裂项相消法可求；
（3）根据错位相减法求出，代入不等式得对任意正整数恒成立，设，对分奇偶讨论，可得答案.
【小问1详解】
因，所以.
又因为，所以，，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
,
所以.
【小问3详解】
因为，
所以，
，
两式相减得，，
所以.
所以对任意正整数恒成立.
设，易知单调递增.
当为奇数时，的最小值为，所以，解得；
当为偶数时，的最小值为，所以.
综上可知，
即的取值范围是.