新疆喀什市2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份新疆喀什市2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试卷（原卷版+解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1. 已知向量与平行，则x，y的值分别为（ ）
A. B. C. D.
2. 双曲线的虚轴长是（ ）
A. 2B. C. 4D.
3. 圆心为，半径为2的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
4. 过点的直线的倾斜角为，则等于（ ）
A. 1B. -1C. 2D. -2
5. 在公比为2的等比数列中，前4项的和为30，则首项为（ ）
A. 2B. C. D.
6. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
7. 设和是双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 等差数列中，且，是其前项和，则下列正确的是（ ）
A. 均小于0，而均大于0
B. 均小于0，而均大于0
C. 均小于0，而均大于0
D. 均小于0，而均大于0
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. （多选）若，，，，下面结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图所示是函数的图象，下列说法正确的是（ ）

A.
B. 是的一个零点
C. 在区间上是增函数，在区间[1，4]上是减函数
D.
11. 下列四个选项中说法正确的是（ ）
A. 经过点且在轴和轴上截距都相等直线方程为
B. “”是“1，x，4成等比数列”的充分不必要条件
C. 直线倾斜角为
D. 过两点的直线的方程为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若抛物线焦点坐标为，则______，准线方程为______．
13. 过点与曲线相切的直线方程为____________．
14. 若数列的前项和是，则数列的通项公式是____________．
四、解答题（本题共5小题，共77分.写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 中，．
（1）求BC边上高所在直线的方程；
（2）求的外接圆的方程；
（3）过点作圆M的切线，求切线的方程．
16. 已知椭圆的焦距为，且
（1）求的方程；
（2）若斜率为1的直线与椭圆有交点，求在y轴上的截距的取值范围．
17. 如图，在长方体中，为的中点．

（1）求证：直线平面PAC；
（2）求平面PAC与平面夹角的余弦值．
18. 已知是等差数列的前项和，且．
（1）求的通项公式；
（2）求的最大值；
（3）求数列的前项和．
19. 已知函数.
（1）在下面的平面直角坐标系中，作出函数的图象，并写出单调增区间；
（2）方程有四个不相等实数根，求实数的取值范围.
新疆喀什市2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试卷
考试时间：120分钟 卷面分值：150分
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1. 已知向量与平行，则x，y的值分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案.
【详解】因为，所以，所以.
故选：B.
2. 双曲线的虚轴长是（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线方程求得，进而求得虚轴长.
【详解】因为双曲线，所以，则，即虚轴长为4.
故选：C.
3. 圆心为，半径为2的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用直接法写出圆的方程.
【详解】因为圆心为，半径为2，所以圆的方程是.
故选：D
4. 过点的直线的倾斜角为，则等于（ ）
A. 1B. -1C. 2D. -2
【答案】D
【解析】
【分析】利用两点斜率公式和倾斜角正切值表示斜率求解即可.
【详解】因为斜率，所以，
故选：D.
5. 在公比为2的等比数列中，前4项的和为30，则首项为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用等比数列求和公式列式求解即可.
【详解】由题意得，得．
故选：A
6. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线DE与AC所成的角的余弦值.
【详解】设正方体棱长为1，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，

则D(0,0,0)，E(0，，1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，
所以＝(0，，1)，＝(－1,1,0)，
则,
则异面直线DE与AC所成角的余弦值为.
故选：B.
【点睛】本题考查关键是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量计算求解，属基础题.
7. 设和是双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：先利用双曲线定义得，再结合勾股定理，通过两式运算求出，进而得面积；
方法二：直接用双曲线焦点三角形面积公式，代入即得结果.
【详解】方法一：①，②
得．
的面积.
方法二：双曲线焦点三角形的面积公式：，
又，
所以．
故选：C.
8. 等差数列中，且，是其前项和，则下列正确的是（ ）
A. 均小于0，而均大于0
B. 均小于0，而均大于0
C. 均小于0，而均大于0
D. 均小于0，而均大于0
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意分析数列的符号性，结合等差数列求和公式分析的符号性即可.
【详解】因为，且数列为等差数列，可知数列是递增数列，
当时，；当时，；
又因为，则，
可得，，，
所以均小于0，而均大于0.
故选：A.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. （多选）若，，，，下面结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】通过点的坐标得到相应直线的斜率，通过直线斜率判断直线的位置关系即可.
【详解】，，且C不在直线AB上，∴，故A正确；
又∵，∴，∴，故B正确；
∵，，
∴，，∴，故C正确；
又∵，，∴
∴，故D错误．
故选:ABC．
10. 如图所示是函数的图象，下列说法正确的是（ ）

A.
B. 是的一个零点
C. 在区间上是增函数，在区间[1，4]上是减函数
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的图象进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，图象没有给出的值，所以A选项错误.
B选项，由图可知，所以是一个零点，所以B选项正确.
C选项，由图可知在区间上增函数，
在区间[1，4]上是减函数，所以C选项正确
D选项，由图可知，所以，所以D选项错误.
故选：BC
11. 下列四个选项中说法正确的是（ ）
A. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
B. “”是“1，x，4成等比数列”的充分不必要条件
C. 直线的倾斜角为
D. 过两点的直线的方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】选项A，分直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况讨论，求出满足条件的直线方程，从而判断原说法不全面.选项B，通过验证充分性和必要性，判断条件类型.选项C，由直线方程求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角.选项D，根据两点式直线方程的适用条件，判断原表达式的局限性.
【详解】对于A，若直线过坐标原点，则直线方程为；
若直线不过坐标原点，可设其方程为；
综上所述：直线的方程为或，A错误．
对于B，当时，成等比数列，充分性成立；
当1，x，4成等比数列时，，解得：，必要性不成立；
是“1，x，4成等比数列”的充分不必要条件，B正确；
对于C，由：知直线的斜率，
设直线的倾斜角为，则，C正确；
对于D，当直线垂直于坐标轴时，无法用表示，D错误；
故选：BC
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若抛物线的焦点坐标为，则______，准线方程为______．
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】根据抛物线的焦点坐标求得，再根据抛物线的方程求得准线方程.
【详解】因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
所以，所以，准线方程为．
故答案为：4，
13. 过点与曲线相切的直线方程为____________．
【答案】
【解析】
【分析】设切线方程为，与抛物线方程联立，利用判别式等于零求出，得解.
【详解】由题可知切线的斜率存在，设切线方程为，
联立，消去整理得，
，即，解得，
所以过点的切线方程为，即.
故答案为：.
14. 若数列的前项和是，则数列的通项公式是____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用与之间关系直接求解即可．
【详解】当时，5；
当时，，不满足；
所以．
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分.写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 中，．
（1）求BC边上高所在直线的方程；
（2）求的外接圆的方程；
（3）过点作圆M的切线，求切线的方程．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）求得BC边上的高所在直线的斜率，进而求得BC边上的高所在直线的方程.
（2）设出圆的一般方程，代入三点的坐标，进而求得的外接圆的方程.
（3）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合直线和圆的位置关系求得正确答案.
【小问1详解】
直线BC的斜率,
所以边BC上的高所在直线的斜率为，
所以边BC上的高所在直线的方程为，即．
【小问2详解】
设的外接圆的方程为，
则
解得
所以的外接圆的方程为．
【小问3详解】
当切线的斜率存在，
设切线的方程为，即，
由题意得，解得，
此时切线的方程为．
当切线的斜率不存在时也符合题意，此时切线的方程为,
∴切线的方程为或.
16. 已知椭圆的焦距为，且
（1）求的方程；
（2）若斜率为1的直线与椭圆有交点，求在y轴上的截距的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，确定的值，可得椭圆标准方程.
（2）设直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，根据可求的取值范围.
【小问1详解】
∵椭圆的焦距为，故，
又，联立解得，
∴椭圆的方程为：．
【小问2详解】
设在y轴上的截距为，则的方程为，

由，消去得.
因为直线与椭圆有交点，所以，
解得，
所以的取值范围为．
17. 如图，在长方体中，为的中点．

（1）求证：直线平面PAC；
（2）求平面PAC与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得直线平面PAC.
（2）利用向量法求得平面PAC与平面夹角的余弦值．
【小问1详解】
以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
.
设平面PAC法向量为，
则取，则，
所以．
因，
所以．
又因为平面PAC，所以平面PAC.
【小问2详解】
由（1）易知．
设平面的法向量为，
则取，则，
所以．
设平面PAC与平面的夹角为，
则，
所以平面PAC与平面夹角的余弦值为．
18. 已知是等差数列的前项和，且．
（1）求的通项公式；
（2）求的最大值；
（3）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）25 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合等差数列通项公式和求和公式可得，即可得通项公式；
（2）由（1）可知：，结合等差数列求和公式可得，进而分析最值；
（3）分和两种情况，讨论的符号，结合运算求解即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，
因为，可得，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知：，
则，
当时，取到最大值为25．
【小问3详解】
由（1）可知：，
时，当时，
当时，则；
当时，则；
综上所述：.
19. 已知函数.
（1）在下面的平面直角坐标系中，作出函数的图象，并写出单调增区间；
（2）方程有四个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见详解；
（2）.
【解析】
【小问1详解】
当时，；当时，，
所以，.
作出函数的图象如下图
由图像可知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
如图2，作出函数与直线的图象.
由图2知，当时，直线与有4个交点，即方程有四个不相等的实数根，
所以，.