内蒙古集宁一中2026届高三上学期1月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份内蒙古集宁一中2026届高三上学期1月月考数学试题（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．设是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A．1B．2C．D．
4．某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行：
0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202
9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214
1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336
若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（ ）
A．37B．32C．14D．16
5．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的定义域为，求函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，则的最小值是（ ）
A．3B．C．D．9
二、多选题
9．已知圆，直线.则以下几个结论正确的有（ ）
A．直线恒过定点
B．圆被轴截得的弦长为
C．点到直线的距离的最大值是
D．直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为
10．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量X的方差，则
B．若随机变量Y服从两点分布，且，则
C．若随机变量ξ服从正态分布，，则
D．若随机变量η服从二项分布，则
11．下列命题正确的有（ ）
A．若数列为正项等比数列，为其前项和，则，，，成等比数列
B．若数列为等差数列，则为等比数列
C．数列满足：，则
D．已知为数列的前项积，若，则
三、填空题
12．若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为 ．
13．定义在R上的偶函数满足：对任意的有，则满足的x取值范围是 .
14．将一个底面边长为2cm，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为 .
四、解答题
15．中，为锐角，角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若，的面积为3，求．
16．如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正切值．
17．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.
（1）求图中的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.
18．已知椭圆长轴是短轴的倍，且右焦点为.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为，求直线的方程及的面积.
19．已知函数.
(1)若x轴是曲线的一条切线，求实数a的值；
(2)若在上恒成立，求a的最小值；
(3)证明：（且）.
参考答案
1．B
【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“，”的否定为“，”.
故选：B
2．A
【详解】解不等式得：或，即或，，
而，则，
所以.
故选：A
3．B
【详解】由题意知，，
所以复数的虚部为2.
故选：B
4．D
【详解】依题意从第2行第7列开始的数为67（舍去），62（舍去），42（舍去），81（舍去），14，
57（舍去），20，42（舍去），53（舍去），32，37，32（舍去），14（舍去），16，
则满足条件的5个样本编号为14，20，32，37，16，则第5个编号为16．
故选：D
5．B
【详解】依题意得，，
，
，所以，
故，
故选：B.
6．C
【详解】由题意得，由，得，
则恒成立.
令，得，
则二次函数，当时，取得最大值，所以，
所以a的取值范围为．
故选:C
7．B
【详解】由题设可得，故，
故函数的定义域为，
故选：B.
8．B
【详解】∵，所以(2x+1)+y=4
则
当且仅当且即时取等号，
则的最小值是.
故选：B．
9．ABD
【详解】A.直线，不管为何值，满足方程，即可直线恒过定点，故A正确；
B.当时，，解得：，，所以圆被轴截得的弦长为，故B正确；
C.圆心到直线的距离的最大值是圆心与定点的距离，故C错误；
D.设直线的定点，当点为弦的中点时，此时弦长最短，即，，所以直线的斜率为2，所以直线的方程为，即，故D正确.
故选：ABD
10．BC
【详解】若，则，故错误；
若随机变量Y服从两点分布，则，故,
，故正确；
若随机变量ξ服从正态分布，，则
，，
故正确；
若随机变量η服从二项分布，则
故错误.
故选：.
11．ABD
【详解】对于A，当时，，
显然，，，是以为首项，以为公比的等比数列；
当时，，
，
所以，，则，，，成等比数列，公比为，故A正确；
对于B，设等差数列公差为，则，
则是个常数，所以为等比数列，故B正确；
对于C，依题意，，它不满足，故C错误；
对于D，，当时，，即，解得，
当时，，于是，即，
数列是首项为3，公差为2的等差数列，
所以，且也满足，故D正确；
故选：ABD
12．60
【详解】由题可得，解得，
所以展开式的通项为，
令，解得，
所以常数项为.
故答案为：60.
13．
【详解】函数对任意的有，
则函数在上单调递减，而是R上的偶函数，则在上单调递增，
所以不等式，于是，解得，
所以所求的x取值范围是.
故答案为：.
14．/
【详解】底面边长为2cm，高为的正四棱锥的斜高，
因此该四棱锥的表面积，
依题意，制作的球体零件表面积最大时，该球为正四棱锥的内切球，设其半径为，
则，解得，该球的表面积为.
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得．
则由两角和的正弦公式得．
因为，所以，
则．由于，解得，
又为锐角，故（负根舍去）．
（2）由三角形面积公式，
代入，
得，解得．
再由余弦定理，
代入，
得，故解得（负根舍去）．
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设，则是中点，连接，
又∵是中点，∴，
又∵平面，平面，
∴平面；
（2）∵，∴，
平面，平面，
∴，同理，
，平面，
∴平面，而平面，故，
∴是二面角的平面角，
在直角中，，，
，
∴二面角的正切值为．
17．（1）；（2）平均数为，中位数设为；（3）.
【详解】（1）由，解得.
（2）这组数据的平均数为.
中位数设为，则，解得.
（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为，
记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件，
从5人中抽取2人有：，，，，， ，，，，
所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件个数为3个，
所以 .
18．（Ⅰ）（Ⅱ）1
【详解】（Ⅰ）因为长轴是短轴的倍，所以.
因为焦点的坐标为，所以.
结合，得.
所以椭圆方程为.
（Ⅱ）设，.
由得.
则.
因为线段中点的横坐标为，
所以 .
解得 ，即（符合题意）
所以直线的方程为，
因为 .
点到直线的距离.
所以的面积 .
即的面积等于.
19．(1)-1
(2)-1
(3)答案见解析
【详解】（1）当x轴是曲线的一条切线，即存在，使
求导得，当时，解得，
则，解得.
（2）当在上恒成立时，即在上恒成立，
设，则，
可知当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
当时，取得最小值， ，
所以，即.的最小值为-1.
（3）由(2)可知，当时取等号，则，
令，且，得，
令，
由，可知，
化简得，
所以，