内蒙古巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题（Word版附答案）

这是一份内蒙古巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题（Word版附答案），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（ ）
A．B．C．D．
2．函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到
B．函数在区间上单调递增
C．函数图象关于直线对称
D．函数图象的对称中心为
3．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
4．设线段，点从点出发沿线段向点运动，其任意时刻的速度值等于它尚未经过的距离，已知与运动时间满足，其中为常数，为自然对数的底数.点从点出发沿射线作匀速运动，两点同时出发且初始速度相同.当的长度分别为与时，的长度分别为，则（ ）
A．B．C．2D．4
5．若是关于的一元二次方程的两个实根，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．1
8．正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若关于的方程有两根，（），则下列选项正确的有（ ）
A．的取值范围是
B．若，则的取值范围是
C．若，则的取值范围是
D．若，则或
10．已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．在上的值域为
D．在上单调递增
11．定义集合与的运算：，且，，且.若，则（ ）
A．或B．或
C．D．或
三、填空题
12．正实数x，y满足，则的最小值是 .
13．已知函数，则函数的定义域为 ．
14．函数且的图象过定点，则 ．
四、解答题
15．已知是定义在上的函数，且对任意的，都有，当时，.
(1)求的值;
(2)若，求的值;
(3)判断的单调性，并用单调性的定义证明.
16．（1）若“，使得”是假命题，求实数m的取值范围；
（2）设集合，若，求实数a的取值范围.
17．已知函数对任意实数x、y恒有，当时，，且.
(1)求；
(2)证明：为奇函数；
(3)判断并用定义证明函数单调性，求在区间上的值域；
18．完成下列各题：
(1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值；
(2)如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪.
①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式；
②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？
19．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”；
(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；
(3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值.
1．A
先根据筒车的半径及轴心距水面的高度可得的值，再由每分钟转圈可得函数的，再由可得结果.
【详解】因为筒车按逆时针方向每分钟转圈，所以（s）,.
再由筒车的轴心O距水面的高度为，所以（m）.
又因为筒车的半径为2m，所以 （m），所以.
又因为以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，所以，
即，得且，所以.
故选：A.
2．B
根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答．
【详解】由图象可知，，，因为，所以，
所以，而，则，
由图可知，所以，所以，
A，图象向左平移个单位得到图象，不正确；
B，由，可得，
则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确；
C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确；
D，由，可得，则函数图象关于点对称，不正确．
故选：B
3．A
利用复合函数单调性的判断方法直接判断即可.
【详解】令，得或，
设，或，，
则函数，或，在上单调递减，在上单调递增，
又为减函数，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的单调递增区间是.
故选：A
4．C
根据题意分别表示出即可解出答案.
【详解】设，则.
当时，点在点处，其尚未经过的距离为线段的总长度，
即，解得，即.
因为点在任意时刻的速度值等于它尚未经过的距离，
设点在时刻的速度为，即，
所以点的初始速度为.
又两点同时出发且初始速度相同，
故点的速度，则.
当的长度为时，时间为，代入中，得，即，两边取自然对数，得.
同理，当的长度为时，时间为，得.
当时，点走过的距离为，
同理，当时，点走过的距离为，
故，
故选：C.
5．C
根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断得解.
【详解】由是关于的方程的两个实根，
所以，
所以，
当时，方程为，解得，；
反之，当时，，即，解得或，
当时方程为，判别式，方程无实数根，不合题意，所以.
综上：“”是“”的充要条件.
故选：C
6．B
令 ，联立，解出的值，再利用诱导公式以及倍角公式即得.
【详解】令 ，则 ，
由 ，可得 ，进而 ，
因此，，
利用诱导公式，，
联立 ，解得：
或.
当时，
，
，
则，
代入得；
当时，
，
，
.
故选：B
7．D
利用基本不等式求得，再根据对数的运算即可求得最小值.
【详解】因为，，所以，，当且仅当时取等号，
.
故选：D.
8．A
利用基本不等式求出的最小值，将问题转化为对任意实数x恒有求解.
【详解】
正数满足，，
故，
当且仅当，即时等号成立，
不等式对任意实数x恒成立，
则对任意实数x恒有，
对任意实数x恒成立，
对任意实数x恒成立，
又，
，即实数的取值范围是，
故选：A
9．AC
根据判别式为正判断A，根据根的分布得关于参数的不等式，求出解可判断BC，根据根的方程得关于的方程，求出解后判断D.
【详解】对于A，由，得，所以A正确.
对于B，若，则，解得，所以B错误.
对于C，若，则，解得，所以C正确.
对于D，因为，，所以.
由，得或.
因为，所以，故D错误.
故选：AC.
10．BC
根据三角函数的对称性、单调性和值域等性质逐一判断即可.
【详解】因为，所以的图象关于点对称，不关于直线对称，故A错误；
，故的图象关于点对称，故B正确；
当时，，所以，即的值域为，故C正确；
当时，，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D错误.
故选BC.
11．ABD
由题意可知，，结合集合的交集、并集和补集运算逐项分析判断即可.
【详解】由题意可知：，，
因为集合，
对于选项A：因为，
所以或，故A正确；
对于选项B：因为，
所以或，故B正确；
对于选项C：因为或，则或，
所以，故C错误；
对于选项D：因为或，则，
所以或，故D正确；
故选：ABD.
12．
利用分式的运算性质，结合代换、基本不等式进行求解即可.
【详解】因为正实数x，y满足，
所以，
因为x，y是正数，
所以，当且仅当时取等号，
即当且仅当时取等号，
因此，
因此当时，有最小值，
故答案为：
13．
由根式和分式的性质求原函数的定义域，进而有，即可得.
【详解】由题设，且，
对于有且，
所以函数定义域为.
故答案为：
14．3
根据指数型函数定点问题，当指数求解即可．
【详解】令，则，故的图象过定点，
则，故．
故答案为：3．
15．(1)
(2)
(3)单调递增，证明见解析
（1）（2）利用赋值法建立方程求值即可.
（3）结合给定的递推关系并利用定义法证明单调性即可.
【详解】（1）令，得，解得
（2）令，，得，
代入，可得，解得.
（3）判断：单调递增，
证明：任取，可得，得到，
而，
故，故在上单调递增.
16．（1）；（2）或
（1）先求出真命题，然后根据二次函数的性质求解即可；
（2）分和两种情况讨论，分别求出对应的的范围，然后取并集即可.
【详解】（1）因为“，使得”是假命题，
所以其否定为“，使得”是真命题，
所以，解得，
（2）若，当时，有，解得;
当时，如图，
或
有或，
解得或，
综上可得，或.
17．(1)；
(2)证明见解析；
(3)减函数，证明见解析，.
（1）可令，计算可得所求值；
（2）可令，结合奇偶性的定义，即可判断；
（3）运用单调性的定义，可令，则，结合条件，即可得到单调性；再令，求得，令，，求得，，结合单调性可得所求函数值域．
【详解】（1）可令，则，即.
（2）可令，则，即，
且其定义域为，关于原点对称，则为奇函数.
（3）可令，则，由时，，
可得，即有，即，即，
则是上的减函数；
，
，
由在上单调递减，可得在区间上的值域为．
18．(1)和时，彩带的总长最小值为
(2)①；②
【详解】（1）设每个区域的长与宽分别为米和米，由题意可得，，
则彩带总长，当且仅当，即，时，彩带的总长最小.
所以每个区域的长与宽分别为和时，彩带的总长最小，最小值为.
（2）①由题意，（）；
②因为，即，
所以，解得或，又因为，所以，
所以的取值范围时，草坪的面积大于总面积的一半.
19．(1)，
(2)是，证明见解析
(3)4039
【详解】（1）由，
根据题意的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为和.
（2）点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明如下：
因为点是点的“上位点”，所以，
因为，
所以，所以点是点的“下位点”，
因为，
所以，所以点是点的“上位点”；
所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”；
（3）若正整数满足条件，在，时恒成立，
即，
所以所以，
所以，在，时恒成立，
所以，
又由（2）中的结论可知，，时，满足条件，