内蒙古巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份内蒙古巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．设函数的图象关于原点对称，且相邻对称轴之间的距离为则函数的单调增区间为（ ）
A．B．
C．D．
3．若全集，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知集合，，则集合的子集个数为（ ）
A．4B．8C．10D．16
5．函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到
B．函数在区间上单调递增
C．函数图象关于直线对称
D．函数图象的对称中心为
6．若点关于直线对称的点为，则（ ）
A．B．2C．D．
7．已知在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列存在量词命题中真命题是（ ）
A．
B．至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数
C．是无理数，是无理数
D．
10．已知关于的方程在上恰有5个实数根，则的值可能为（ ）
A．B．C．14D．13
11．下列说法中，错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．“对恒成立”是“”的必要不充分条件
D．设，则的最小值为2
三、填空题
12．函数的定义域是 .
13．函数的值域为 .
14．已知集合{为正整数}，则的所有真子集的个数是
四、解答题
15．已知函数的最小正周期是.
(1)求值；
(2)的图象向右平移个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递增区间.
16．如图，某农户计划用的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地．设该矩形菜地与墙平行的边长为，与墙垂直的边长为．
(1)当为何值时，面积取得最大值？最大面积为多少？
(2)求的最小值．
17．已知正数a，b满足．
(1)求的最小值；
(2)求的最小值．
18．设为实数，集合，.
(1)若，求，
(2)若，求实数的取值范围.
19．设正整数，若由实数组成的集合满足：对中任意四个不同的元素，，，，均有.则称为集合.
(1)判断集合和是否为集合，说明理由；
(2)若集合为集合，求中大于1的元素的可能个数.
1．D
利用补集与交集的定义可求解.
【详解】因为全集，，所以，
又因为，.
故选：D.
2．B
根据函数的对称性求出，根据最小正周期求出，即可求出解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】因为函数的图象关于原点对称，则，
解得，又，所以，
又相邻对称轴之间的距离为，则，又，
所以，解得，
所以，
令，
解得，
所以的单调增区间为.
故选：B
3．D
由集合的补集运算、子集的概念以及二次函数的值域即可求解.
【详解】由题意，故AB错误；
而，所以，所以，故C错误，D正确.
故选：D.
4．D
求出集合，即可求出子集个数.
【详解】由题意，，故其子集的个数为.
故选：D
5．B
根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答．
【详解】由图象可知，，，因为，所以，
所以，而，则，
由图可知，所以，所以，
A，图象向左平移个单位得到图象，不正确；
B，由，可得，
则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确；
C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确；
D，由，可得，则函数图象关于点对称，不正确．
故选：B
6．D
由题意得，从而得，，然后再利用两角和的正切公式可求得结果.
【详解】由题意得，
则，得.
故.
故选：D
7．B
先根据题意求出，再根据求出
，再根据的范围约束出和范围，最后结合正弦函数图象即可求出的范围.
【详解】由题意可知，则，
因，则，
则，，
因在上单调递增，
结合正弦函数图象性质可得，解得，
故的取值范围是.
故选：B

8．A
根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得.
【详解】全集，集合，则，而，
所以.
故选：A
9．ABC
结合例子，逐项判断即可得解.
【详解】对于A，，使得，故A为真命题.
对于B，整数1既不是合数，也不是素数，故B为真命题；
对于C，若，则是无理数，是无理数，故C为真命题.
对于D，，∴为假命题.
故选：ABC.
10．ABC
利用两角差的余弦公式，诱导公式，和二倍角公式化简函数的解析式，再根据方程根和余弦函数图像构造不等式计算即可.
【详解】由题意得
，
得或－1，得或或．
由，得，
因为方程在，上恰有5个实数根，
所以结合余弦函数的图象得，得．
故选：ABC.
11．ABD
利用不等式的性质和基本不等式，对选项进行判断.
【详解】若，满足，但此时，A选项错误；
当时，满足，但此时，不成立，B选项错误；
时，，当且仅当，即时等号成立，
对恒成立，则，
时不一定满足，时一定有，
所以“对恒成立”是“”的必要不充分条件，C选项正确；
，则，由不成立，所以等号不成立，
即的最小值不是2，D选项错误.
故选：ABD.
12．
由正切函数的定义域，整体思想可求得函数的定义域.
【详解】由正切函数的定义域可得，，，得，，
故函数的定义域为.
故答案为：.
13．
利用辅助角公式以及正弦函数图像性质可得值域.
【详解】由可得，
再由正弦函数图象可求得，因此.
故答案为：
14．511
根据为正整数可计算出集合中的元素，然后根据真子集个数的计算公式（是元素个数）计算出结果.
【详解】因为为正整数，所以，
所以集合中共有9个元素，
因此所有真子集的个数为，
故答案为：.
15．(1)2
(2)，.
（1）由且，即可求值；
（2）由函数平移知，结合正弦函数的单调性即可求的单调递增区间.
【详解】（1），又，
∵，
∴.
（2）由（1）知，，将的图像向右平移个单位后可得：，
再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到：，
由，解得，.
∴的单调递增区间为，.
16．(1)当时，面积取得最大值，最大面积为
(2)
（1）根据题意可得，从而可得该菜地的面积为，进而利用基本不等式即可求解；
（2）利用，根据“1”的代换利用基本不等式可求最小值．
【详解】（1）由题意得，，都为正数，
则该菜地的面积为，
当且仅当时，等号成立，
所以当时，面积取得最大值，最大面积为．
（2）由，，都为正数，则，
所以
，
当且仅当，又，即时，等号成立，
所以的最小值为．
17．(1)
(2)6
（1）作代换，然后由基本不等式求解即可；
（2）利用完全平方公式作代换，然后利用基本不等式求解即可；
【详解】（1）因为，所以，
则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为．
（2）因为，所以．
则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为6．
18．(1)，或
(2)
（1）求出时集合，再利用集合的运算即可解；
（2）根据得出关于的不等式，求解即可.
【详解】（1）时，，
所以，
所以或；
（2）由，得或，
即或，
所以实数的取值范围是.
19．(1)是集合，不是集合，理由见解析；
(2)或.
（1）由集合的定义即可得出答案.
（2）由题意可得，不妨设，分类讨论，，和结合集合的性质即可得出答案.
【详解】（1）集合是集合，
当时，；
当时，；
当时，；
集合不是集合，
取，则，不满足题中性质.
（2）当时，，
当时，，
当时，，
因此，不妨设，
①当时，显然，则，与矛盾；
②当时，则，此时，则，
经验证，此时是集合，元素大于1的个数为；
③当时，则，与矛盾；
④当时，则，，于是，
经验证，此时是集合，元素大于1的个数为，