内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高一上学期9月月考数学试卷

这是一份内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高一上学期9月月考数学试卷，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试范围：必修一第一二章；考试时间：120 分钟；考试分值：150 分命题人：田金平注意事项：
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
请将答案正确填写在答题卡上
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共 8 小题，共 40 分，答案请写到答题卡）
已知集合
A  a, a2，B  1, 3
，若 1 A
，则 A ∪ B
中所有元素之和为（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
不等式 3x 1  1的解集为（）
x
A. x | 0  x  1 
B.  x | 0  x  1 
C. x x  1 
D. x x  0
2 
2 
2 

x2  2x  8
x
若要使
x  2
有意义，则
的取值范围是（）
A x 2  x  4
C x x  2 或 x  4
B. x 2  x  4
D. x x  2 或 x  4
若 a＞b，c＞d，则（ ）
ac2  bc2
B. a－c＞b－d
C. a－d＞b－cD. ac＞bd
若 p :1 x  0 是 q : 2x  a 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围为（）
a  2
a  2
a  2
a  2
已知全集U  {x  Z∣ 3.5  x  4} ，集合 A  3, 1,1, 3 ，则ðU A 的子集个数为（）
B. 4C. 8D. 16
已知命题 p： x  2 ， x2 1  0 ，则p 是（）
x  2 ， x2 1  0B. x  2 ， x2 1  0
C. x  2 ， x2 1  0D. x  2 ， x2 1  0
如图，已知二次函数 y  ax2  bx  c a  0 的图象顶点在第一象限，且经过 A1, 0 、 B 0,1 两个点．则下列说法正确的是：① abc  0 ；② 1  a  0 ；③ 0  b  1 ；④ 0  a  b  c  2 ．（）
A. ①②B. ①③④C. ①②④D. ①②③④
二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．)
（多选）设集合 P  1, 2, 3, 4, 5, 6, Q  x 2  x  6 ，下列结论中正确的是（）
P ∩ Q  PB. P  Q  P
C. P  Q  QD. P ∩ Q  Q
已知关于 x的不等式 ax2  bx  c  0 的解集为, 2 3,  ，则下列选项中正确的是（）
a  0
不等式bx  c  0 的解集是x | x  6
a  b  c  0
不等式cx2  bx  a  0 的解集为(,  1)  ( 1 , )
32
已知 a  0 ， b  0 ， a  b  1 ，则下列结论成立的是（）
1  1 的最小值为4B. 1  a 的最小值为3
1
abab
1
C.
1 a
 2  b
的最小值为2D.
a  1 的最小值为1
b
三、填空题（本大题共 3 小题，共 15 分，答案请写到答题卡）
已知集合 A  2a, 2a2  a，若1 A ，则a  ．
已知0  x  y  2 ，1  x  y  3 ，则3x  y 的取值范围为．
若对任意 x 0, 3， x2  ax  a  3  0 恒成立，则实数 a 的取值范围为．
四、解答题（本大题共 5 小题共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
已知全集U 为R ，集合 A  {x | 0  x≤2}， B  {x | x  3 或 x  1} 求：
（1） A  B
(ðU A) ∩ (ðU B)
ðU ( A ∪ B)
如图，某农户计划用20 m 的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地．设该矩形菜地与墙平行的边长为 x m ，与墙垂直的边长为 y m ．
当 x 为何值时，面积取得最大值？最大面积为多少？
3x  20
求
的最小值．
xy
已知集合 A  x x  1 或 x  3 ， B  x 2a  x  a  3 ，回答下列问题.
若 a  1 ，试求ðR A ∪ B ， A I ðR B ；
若 A ∩ B  B ，求实数 a 的取值范围；
已知 p : 2  x  6 ， q : m  x  m 1．
若 m  2 ，那么 p 是 q 的什么条件；
若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
若二次函数 f (x) 满足 f (0)  1， f (x  1)  f (x)  2x  1 .
求 f (x) 的解析式；
若对于任意实数 x，不等式 f (x)  ax 恒成立，求实数 a的取值范围.
2025-2026 学年第一学期高一年级第一次诊断考试
数学试题
考试范围：必修一第一二章；考试时间：120 分钟；考试分值：150 分命题人：田金平注意事项：
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
请将答案正确填写在答题卡上
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共 8 小题，共 40 分，答案请写到答题卡）
已知集合
A  a, a2，B  1, 3
，若 1 A
，则 A ∪ B
中所有元素之和为（）
B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据1 A 可求参数的值，从而可求 A ∪ B 的元素之和.
【详解】因为1 A ，故 a  1 或 a2  1，
若 a  1 ，则 a  a2 ，与元素的互异性矛盾；
若 a2  1，则 a  1 （舍）或 a  1 ，故 A  1,1 ，故 A ∪ B  1,1, 3，
所以 A ∪ B故选：B.
中所有元素之和为3 ，
不等式 3x 1  1的解集为（）
x
A. x | 0  x  1 
B.  x | 0  x  1 
C. x x  1 
D. x x  0
2 
2 
2 

【答案】B
【解析】
【分析】根据分式不等式的解法，求解即可.
【详解】不等式可化为 3x 1 1  0 ，即 2x 1  0 ，等价于x 2x 1  0 ，

xx
解得0  x  1 ，则解集为x 0  x  1 .
x  0
2

2
故选：B.
x2  2x  8
若要使
x  2
有意义，则
x 的取值范围是（）
A. x 2  x  4
C. x x  2 或 x  4
B. x 2  x  4
D. x x  2 或 x  4
【答案】C
【解析】
【分析】由题可得 x2  2x  8  0 且 x  2 ，解不等式即可求解.
x2  2x  8
2x
【详解】要使有意义，则有 x  2x  8  0 且 x  2 ，解得 x  2 或 x  4 ，所以 的取值范
x  2
围是x x  2 或 x  4．故选 C．
若 a＞b，c＞d，则（ ）
ac2  bc2
a－c＞b－d
a－d＞b－cD. ac＞bd
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质，或举出反例，逐一检验选项即可.
【详解】 选项 A：若c2  0 ，则 ac2  bc2  0 .所以选项错误.
选项 B：若 a  7, b  6, c  4, d  1,满足 a  b, c  d ，但是 a  c  b  d .所以选项 B 错误.
选项 C：因为c  d , 所以d  c, 又因为 a  b ，所以 a  d  b  c. 所以选项 C 正确
选项 D：若 a  7, b  3, c  1, d  2 ,满足 a  b, c  d ，但是 ac  bd ,所以选项 D 错误.故选：C.
若 p :1 x  0 是 q : 2x  a 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围为（）
a  2
a  2
a  2
a  2
【答案】C
【解析】
【分析】根据两个命题的关系，得到两集合的包含关系，列不等式求解即可.
【详解】依题意知： p : x  1， q : x  a ，
2
因为 p 是 q 的必要不充分条件，
所以x x  a  ⫋x x  1 ，所以 a  1 ，解得a  2 .
2 2

故选：C
已知全集U  {x  Z∣ 3.5  x  4} ，集合 A  3, 1,1, 3 ，则ðU A 的子集个数为（）
B. 4C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据补集的运算和子集的概念求解.
【详解】因为U  3, 2, 1, 0,1, 2, 3 ，则ðU A  2, 0, 2，所以ðU A 的子集个数为23  8 .
【答案】C
【解析】
【分析】全称量词命题x  M ， p  x 的否定为： x  M ， p  x ．
【详解】命题 p ： x  2 ， x2 1  0 的否定为： x  2 ， x2 1  0 ．故选：C
如图，已知二次函数 y  ax2  bx  c a  0 的图象顶点在第一象限，且经过 A1, 0 、 B 0,1 两个
点．则下列说法正确的是：① abc  0 ；② 1  a  0 ；③ 0  b  1 ；④ 0  a  b  c  2 ．（）
故选：C.
7. 已知命题 p： x  2 ， x2 1  0 ，则p 是（
）
A. x  2 ， x2 1  0
B.
x  2 ， x2 1  0
C. x  2 ， x2 1  0
D.
x  2 ， x2 1  0
A. ①②B. ①③④C. ①②④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可.
【详解】由图象可知二次函数图象开口向下，则 a  0 ，图象与 y 轴交点为 B 0, 1 ，所以c  1  0 ，
顶点在第一象限，对称轴 x   b
2a
所以 abc  0 ，①说法正确；
 0 ，又 a  0 ，所以b  0 ，
c  1
因为图象经过 A1, 0 、 B 0, 1 两个点，所以a  b  c  0 ，解得b  a 1，

因为 a  0 ， b  0 ，所以1  a  0 ，②说法正确；
由1  a  0 得0  a 1  1 ，即0  b  1 ，③说法正确；因为图象顶点在第一象限，且经过 A1, 0 ，
由二次函数的对称性可知与 x 轴另一个交点的横坐标在1,  上，所以当 x  1 时， a  b  c  0 ，
又1  a  0 ， 0  b  1 ， c  1，所以a  b  c  2 ，即0  a  b  c  2 ，④说法正确；
综上①②③④正确；故选：D
二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多
个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．)
（多选）设集合 P  1, 2, 3, 4, 5, 6, Q  x 2  x  6 ，下列结论中正确的是（）
P ∩ Q  PB. P  Q  P
C. P  Q  QD. P ∩ Q  Q
【答案】BD
【解析】
【分析】对于 ABD，先求出 P  Q ，再判断，对于 C，求出 P  Q ，再判断即可.
【详解】因为集合 P  1, 2, 3, 4, 5, 6, Q  x 2  x  6 ，所以 P ∩ Q  2, 3, 4, 5, 6，因此 P ∩ Q  P ， P ∩ Q  Q, P ∩ Q  P ，所以 A 错误，D 正确，B 正确
又因为 P  Q  Q 1 ，所以 C 错误.
故选：BD
已知关于 x 的不等式 ax2  bx  c  0 的解集为, 2 3,  ，则下列选项中正确的是（）
a  0
不等式bx  c  0 的解集是x | x  6
a  b  c  0
不等式cx2  bx  a  0 的解集为(,  1)  ( 1 , )
32
【答案】BD
【解析】
【分析】对于 A，根据不等式的解集得到 a  0 判断 A；对于 B，结合题意得到2 和 3 是关于 x 的方程
ax2  bx  c  0 的两根，再结合韦达定理得到b  a, c  6a ，将目标不等式化为ax  6a  0 ，求出解集判断 B，对于 C，结合b  a, c  6a 得到 a  b  c  6a  0 判断 C，对于 D，将cx2  bx  a  0
合理变形后求出解集判断 D 即可.
【详解】对于 A，因为关于 x 的不等式 ax2  bx  c  0 的解集为∞, 2 3, ∞ ， 所以2 和 3 是关于 x 的方程 ax2  bx  c  0 的两根，且 a  0 ，故 A 错误；
对于 B，由已知得2 和 3 是关于 x 的方程 ax2  bx  c  0 的两根，
2  3   b

由韦达定理得

2  3 

a ，解得b  a, c  6a ，
c
a
对于不等式bx  c  0 ，即化为ax  6a  0 ，解得 x  6 ，故 B 正确；对于 C，可得 a  b  c  6a  0 ，故 C 错误；
对于 D，对于不等式cx2  bx  a  0 ，可化为6ax2  ax  a  0 ，
而 a  0 ，则化为6x2  x 1  0 ，解得 x (,  1)  ( 1 , ) ，故 D 正确．
32
故选：BD
已知 a  0 ， b  0 ， a  b  1 ，则下列结论成立的是（）
1  1 的最小值为4B. 1  a 的最小值为3
1
abab
1
C.
1 a
 2  b
的最小值为2D.
a  1 的最小值为1
b
【答案】AB
【解析】
【分析】对 A，由“1”的代换结合基本不等式求解；对 B，由 1  1 b 利用基本不等式求解；对 C，由
aa
1 a  2  b  3  a  b  2 ，利用基本不等式求解判断；对 D，作差 a  1 1 ，判断 a  1  1得解.
bb
b  a a b
【详解】对于 A， 1  1  a  b 1  1   2  b  a  2  2 4 ，当且仅当 a  b  1 时，取等
ab
 
ab
ab2
号，故 A 正确；
b  a a b
对于 B， 1  a  b  1 b ，故 1  a  1 b  a  1 2 3 ，当且仅当 a  b  1 时，取等号，
aaaabab2
故 B 正确；
对于 C，由 a  0, b  0, a  b  1 ，可知1 a  2  b  3  a  b  2 ，且1 a  0 ， 2  b  0 ，
11 1 1 a  2  b  11
1 a2  b2   1 a2  b 
 1  2  2  b  1 a   1  2  2

1 a  2  b
2  b 1 a
  2 ，
2 1 a2  b 2 

1
不等式取等号的条件是1 a  2  b  1，即 a  0, b  1 ，与题设 a  0, b  0 矛盾，
1
故
1 a
 2  b
的最小值大于 2，故 C 错误；
111 b21 b1 b
a  1  1
对于 D， a 1  b 
bbbb
0 ，故
，最小值大于 1，故 D 错误.
b
故选：AB.
三、填空题（本大题共 3 小题，共 15 分，答案请写到答题卡）
已知集合 A  2a, 2a2  a，若1 A ，则a  ．
【答案】 1
【解析】
【分析】已知 A  2a, 2a2  a,1 A ，则 2a  1或 2a2  a  1，结合集合中元素的互异性分情况讨论即可.
【详解】因为 A  2a, 2a2  a,1 A ，
所以2a  1或2a2  a  1，
当2a  1时， a  1 ，此时2a2  a  1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
2
2
当2a2  a  1时，解得 a  1 或 1 （同上，舍去），
此时 A  2,1 ．综上 a  1 ．
故答案为： 1.
已知0  x  y  2 ，1  x  y  3 ，则3x  y 的取值范围为．
【答案】2,8
【解析】
【分析】先设出3x  y  a  x  y   b  x  y  ，求出 a ， b ，再结合不等式的性质解出即可；
a  b  1,
【详解】令3x  y  a  x  y   b  x  y  ，则 a  b  3, 解得a  1,b  2 ，

故3x  y   x  y   2  x  y  ，由1  x  y  3 ，得2  2  x  y   6 ，又0  x  y  2 ，故2   x  y   2  x  y   8 ，即2  3x  y  8 ． 故答案为： 2,8
若对任意 x 0, 3， x2  ax  a  3  0 恒成立，则实数 a 的取值范围为．
【答案】, 2
【解析】
x2  3
【分析】由参变量分离法可得出 a  
4恒成立，利用基本不等式求出 x 1
4 2
x 1
的最小值，即可得出实数 a 的取值范围.
【详解】当0  x  3 时，1  x 1  4 ，
x 1x 12
x 1
由题意知，对任意 x 0, 3， x2  3  a  x 1 ，
x2  3x2 1 444
即 a  x 1 x 1 2 恒成立，
x 1
x 1
x 1
x 1
由基本不等式可得 x 1 
4
x 1
 2  2
 2  2 ，
当且仅当 x 1 
4
x 1
 x 1
4
x 1
时，即当 x  1 时，等号成立，故 a   x 1
4
x 1
 2 

 2 .

即实数 a 的取值范围为, 2 ．故答案为： , 2 ．
min
四、解答题（本大题共 5 小题共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
已知全集U 为R ，集合 A  {x | 0  x≤2}， B  {x | x  3 或 x  1} 求：
（1） A  B
(ðU A) ∩ (ðU B)
ðU ( A ∪ B)
【答案】（1）{x |1  x  2}
（2）{x | 3  x  0}
（3）{x | 3  x  0}
【解析】
【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，利用集合的交集、补集、并集的定义求解.
【小问 1 详解】
由 A  {x | 0  x≤2}， B  {x | x  3 或 x  1} ，得 A ∩ B  {x |1  x  2}.
【小问 2 详解】
由全集U 为R ，得ðU A  x | x  0 或 x  2 ，ðU B  {x | 3  x  1} ，
所以(ðU A) ∩ (ðU B)  {x | 3  x  0}.
【小问 3 详解】
依题意， A ∪ B  {x | x  3 或 x  0}，所以ðU ( A ∪ B)  {x | 3  x  0}.
如图，某农户计划用20 m 的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地．设该矩形菜地与墙平行的边长为 x m ，与墙垂直的边长为 y m ．
当 x 为何值时，面积取得最大值？最大面积为多少？
3x  20
求
的最小值．
xy
【答案】（1）当 x  10 时，面积取得最大值，最大面积为50m2
9
（2）
10
【解析】
【分析】（1）根据题意可得 x  2 y  20 ，从而可得该菜地的面积为 S  xy ，进而利用基本不等式即可求解；
（2）利用 x  2 y  20 ，根据“1”的代换利用基本不等式可求最小值．
【小问 1 详解】
由题意得 x  2 y  20 ， x ， y 都为正数，
11 x  2 y 2

则该菜地的面积为 S  xy  2  x  2 y  2 
 50 ，
2

当且仅当 x  2 y  10 时，等号成立，
所以当 x  10 时，面积取得最大值，最大面积为50m2 ．
【小问 2 详解】
由 x  2 y  20 ， x ， y 都为正数，则 1 (x  2 y)  1，
20
所以 3x  20  3x  (x  2 y)  4x  2 y  4  2  1  4  2  (x  2 y)

xyxyxyyx20  yx 
 1  8  2  4x  4 y   1 (10  2 16)  9 ，
20 
yx 

2010

当且仅当 4x  4 y ，又2 y  x  20 ，即 x  y  20 时，等号成立，
yx3
3x  209
所以的最小值为．
xy10
已知集合 A  x x  1 或 x  3 ， B  x 2a  x  a  3 ，回答下列问题.
若 a  1 ，试求ðR A ∪ B ， A I ðR B ；
若 A ∩ B  B ，求实数 a 的取值范围；
【答案】（1）x 1  x  4，x x  1 或 x  4
（2） a  4 或 a  3
2
【解析】
【分析】（1）求出 a  1 时的集合 B ，再根据补集、交集和并集的定义计算即可；
（2）由 A ∩ B  B 知 B  A ，讨论当 B   和 B   时的情形，分别求出对应的 a 的取值范围.
【小问 1 详解】
A  x x  1 或 x  3 ，则ðR A  x 1  x  3 ，
B  x 2a  x  a  3 ，当 a  1 时， B  x 2  x  4 ，所以ðR A B  x 1  x  4 ；
又ðR B  x x  2 或 x  4 ，所以 A ðR B  x x  1或 x  4 .
【小问 2 详解】
若 A ∩ B  B ，则 B  A .
当 B   时， 2a  a  3 ，即 a  3 ；
a  3

当 B   时，则a  3  1
a  3

或2a  3
，解得 a  4 或 3  a  3 .
2
综上， a 的取值范围为 a  4 或 a  3 .
2
已知 p : 2  x  6 ， q : m  x  m 1．
若 m  2 ，那么 p 是 q 的什么条件；
若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）必要不充分条件（必要条件也正确）
（2） 2, 5
【解析】
【分析】（1）根据集合关系判断 p 是 q 的必要不充分条件；
（2）根据 p 是 q 的必要不充分条件，得x∣m  x  m 1 是x 2  x  6 的真子集，然后根据集合关系列不等式组求解即可.
【小问 1 详解】
当 m  2 时， q : 2  x  3 ，
显然x∣2  x  3 是x∣ 2  x  6 的真子集，
所以 p 是 q 的必要不充分条件（注：必要条件也正确）．
【小问 2 详解】
若 p 是 q 的必要不充分条件，
则x∣m  x  m 1 是x 2  x  6 的真子集，
 m  2, m  2,
则有m 1  6 或m 1  6, 解得2  m  5 ，

故实数m 的取值范围为2, 5 ．
若二次函数 f (x) 满足 f (0)  1， f (x  1)  f (x)  2x  1 .
求 f (x) 的解析式；
若对于任意实数 x，不等式 f (x)  ax 恒成立，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1） f (x)  x2  2x 1
（2）[4, 0]
【解析】
【分析】（1）设出 f (x)  ax2  bx  c ，结合给定条件建立方程，求解参数，得到函数解析式即可.
（2）将 f (x)  ax 转化为 x2  (a  2)x 1  0 ，利用判别式建立不等式，求解参数范围即可.
【小问 1 详解】
因为 f (x) 是二次函数，所以设 f (x)  ax2  bx  c ， a  0
因为 f (0)  1，所以c  1，此时 f (x)  ax2  bx 1 ，
因为 f (x  1)  f (x)  2x  1 ，所以 a  x 12  b  x 1 1 ax2  bx 1  2x 1，化简得2ax  a  b  2x 1 ，对照系数得2a  2 ， a  b  1 ，
解得 a  1 ， b  2 ，则 f (x)  x2  2x 1，即 f (x) 的解析式为 f (x)  x2  2x 1.
【小问 2 详解】
由上问知 f (x)  x2  2x 1，而对于任意实数 x ，
由 f (x)  ax 成立，得到 x2  2x 1  ax ，即 x2  (a  2)x 1  0 ，得到(a  2)2  4  0 ，解得4  a  0
综上，实数 a 的取值范围是4, 0 .