辽宁省朝阳市2025-2026学年高二第一学期期末教学质量检测数学试题（原卷版+解析版）

这是一份辽宁省朝阳市2025-2026学年高二第一学期期末教学质量检测数学试题（原卷版+解析版），共24页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡上交，5D， 已知点是双曲线C等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1. 直线与直线垂直，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
2. 某班级有60名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这60名学生中抽取5人进行家访，则同学a被抽到的可能性为（ ）
A. B. C. D.
3. 若展开式的常数项为60，则值为
A. B. C. D.
4. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ）
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
5. 在一副去掉大小王的扑克牌中任意取出1张牌记下牌的花色后，放回再洗匀，作为一次试验，反复进行一万次这样的试验，你估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率接近（ ）
A. 1B. 0C. 0.5D. 0.25
6. 已知分别是椭圆的左，右焦点，过作垂直于轴的直线交于两点，若直线与直线互相垂直，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴的吉祥物，乙同学喜欢牛、狗和羊的吉祥物，丙同学对所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个珍藏，若每个人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法共有（ ）
A. 50种B. 60种C. 80种D. 90种
8. 已知点是双曲线C：的左焦点，过原点的直线与交于(在左支上且异于左顶点）两点，延长与交于点．若，且，则（ ）
A. 12B. 8C. 6D. 9
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 抛掷一枚均匀的骰子5次，记录每次骰子出现的点数．根据统计结果，可以判断可能出现6点的是（ ）
A. 平均数为3，中位数为2B. 极差为3，第25百分位数为2
C. 众数为2，中位数为3D. 众数为4，第60百分位数为3.5
10. 如图，某同学将搜集的六组成对数据绘制成散点图，若把图中的点去掉，对比原数据重新进行线性回归分析，则下列结论正确的是（ ）
A. 数据的残差平方和变大
B. 数据的决定系数变大
C. 解释变量与响应变量的线性相关程度变强
D. 样本相关系数的绝对值更趋于0
11. 已知抛物线：的焦点为，若过点的直线与交于两点，且在第一象限，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 面积的最小值为2
B. 当直线的倾斜角为时，
C. 线段的中点到的准线的距离等于
D. 在x轴上存在一点，使直线与的斜率之和为定值
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 甲袋中有20个红球，10个白球；乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别，现在从两袋中各取出1个球，则2个球中恰有1个红球的概率为______．
13. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，记为“正面点数不大于2”出现的次数，则随机变量的方差______．
14. 已知圆与圆心在原点处的单位圆恰有两条公切线，则正数的取值范围为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某工厂有一组型号相同设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性.从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如图所示：
日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修.对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）：
假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立.
（1）已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率；
（2）该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修,记检查维修这2台设备给工厂带来总经济损失为千元，求的分布列和数学期望；
（3）该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况.下面有三种维护这2台设备的操作方案：
如果你是该工厂的老板，你如何决策?
16. “两岸同心跑，共绘未来圆”2024马尾区全面健身“两马”主题跑暨第十六届“两马”体育联赛于2024年5月17日在琅岐红光湖公园举行.为了解市民对“两马运动”的了解程度与性别是否有关，某调查组对该区市民进行了一次“两马运动”健康知识问卷调查，通过随机抽样，得到参加问卷调查的600人的得分（满分100）数据，统计结果如表所示.
（1）把市民分为对“两马运动”健康知识“比较了解”（不低于60分的）和“不太了解”（低于60分的）两类，请作出列联表，并判断是否有的把握认为该市民对“两马运动”健康知识了解程度与性别有关？
（2）将频率视为概率，用样本估计总体.若从该地区所有市民中，采取随机抽样方法每次抽取1名市民分析，连续抽取4次，且各次抽取的结果相互独立，记被抽取到的4名市民中，“比较了解”的人数为，求出的分布列，并求数学期望和方差.
附表及公式；
其中，.
17. 已知点，圆．直线与圆相交于A、B两点，．
（1）若直线过点，求直线的方程；
（2）若线段AB的中点为，的轨迹为曲线，过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值．
18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设双曲线左右顶点分别为，在直线上取一点，直线交双曲线右支于点，直线交双曲线左支于点，直线和直线的交点为，求证：点在定直线上.
19. 已知是椭圆：的右焦点，且椭圆过点.
（1）求椭圆标准方程；
（2）若过作直线交椭圆于，两点，其中在轴上方.
（i）求三角形面积的最大值；
（ii）设，求证：.
操作经济损失设备状态
保留观察
停机更换
检查维修
完好
0
10
5
损坏
12
5
7
发热情况操作方案编号
发热
未发热
①
检查维修
保留观察
②
停机更换
检查维修
③
停机更换
保留观察
得分
男性人数
10
15
65
75
115
50
20
女性人数
10
30
70
65
35
30
10
0.15
0.10
005
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
2024级高二第一学期期末教学质量检测
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1. 直线与直线垂直，则（ ）
A 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用直线与直线的位置关系建立方程，结合三角函数的基本公式求解即可.
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，解得，故D正确.
故选：D
2. 某班级有60名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这60名学生中抽取5人进行家访，则同学a被抽到的可能性为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查简单随机抽样的特点，总体中的每一个个体被抽到的可能性均等.
【详解】总体有60个个体，每个个体被抽到的概率相同，均为.
故选A．
3. 若展开式的常数项为60，则值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二项式展开式的通项公式写出第项，求出常数项的系数，列方程即可求解.
【详解】因为展开式的通项为，
令，则，所以常数项为，即，所以.
故选D
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项展开式的通项即可求解，属于基础题型.
4. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ）
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，再由圆心距与半径的关系确定两圆的位置关系.
【详解】由的圆心，半径，
由的圆心，半径，
所以，故两圆相交.
故选：C
5. 在一副去掉大小王的扑克牌中任意取出1张牌记下牌的花色后，放回再洗匀，作为一次试验，反复进行一万次这样的试验，你估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率接近（ ）
A. 1B. 0C. 0.5D. 0.25
【答案】D
【解析】
【分析】求出取出一张恰好为梅花的概率，根据频率的稳定性即可求解.
【详解】一副去掉大小王的扑克牌有52张，其中梅花有13张，
所以取出一张恰好为梅花的概率为，
根据频率的稳定性，可估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率.
故选：D.
6. 已知分别是椭圆的左，右焦点，过作垂直于轴的直线交于两点，若直线与直线互相垂直，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出，再由直线与直线互相垂直可知，所以，解方程即可得出答案.
【详解】令可得，则，所以，
所以，因为直线与直线互相垂直，
所以，
所以在中，，所以，
所以，所以，
所以或（舍去），
所以的离心率为.
故选：C.
7. 现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴的吉祥物，乙同学喜欢牛、狗和羊的吉祥物，丙同学对所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个珍藏，若每个人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法共有（ ）
A. 50种B. 60种C. 80种D. 90种
【答案】C
【解析】
【分析】因为甲同学和乙同学均喜欢牛吉祥物，所以需对牛吉祥物的归属进行分类；第一类若甲选择牛吉祥物；第二类若甲不选择牛吉祥物；分别计算两类选法种数，然后将两类计算结果相加即可求解.
【详解】根据题意，按甲的选择不同分两类讨论：第一类，若甲选择牛的吉祥物，则乙的选法有2种，丙的选法有10种，此时不同的选法有（种）；第二类，若甲选择马或猴的吉祥物，则甲的选法有2种，乙的选法有3种，丙的选法有10种，此时不同的选法有（种）.所以不同的选法共有（种）.
故选:C
8. 已知点是双曲线C：的左焦点，过原点的直线与交于(在左支上且异于左顶点）两点，延长与交于点．若，且，则（ ）
A. 12B. 8C. 6D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】取双曲线的右焦点为利用双曲线的对称性可知四边形为矩形，设，再结合双曲线定义分别在和中利用勾股定理解得且，所以可知.
【详解】取双曲线的右焦点为，连接，如下图所示：
因为直线过原点，结合双曲线的对称性可知两点关于原点对称，且关于原点对称；
即四边形为平行四边形；
又，所以，因此四边形的对角线相等，即；所以四边形为矩形；
可知；
设，由可得，因此；
结合双曲线定义可得；
在中，由勾股定理可得，即；
解得；
又在中，由勾股定理可得，即；
可得，解得；
因此.
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 抛掷一枚均匀的骰子5次，记录每次骰子出现的点数．根据统计结果，可以判断可能出现6点的是（ ）
A. 平均数为3，中位数为2B. 极差为3，第25百分位数为2
C. 众数为2，中位数为3D. 众数为4，第60百分位数为3.5
【答案】AC
【解析】
【分析】举例即可判断AC的正误；根据百分位数及极差判断B，由百分位数及众数判断D.
【详解】对于A，当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，
满足平均数为3，中位数为2，可以出现点6，所以A正确；
对于B，由可知，由小到大排列的第二位数为2，
所以第一位数为1或2，极差为3时，最大数为4或5，所以不会出现6点，所以B错误；
对于C，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，
满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以C正确；
对于D，由知，由小到大排列的第三位数与第四位数的平均值为3.5，
若第三，第四位数为1，6；2，5时，都与众数为4不符，
所以第三，第四位数为3，4，又众数为4，故第五位数为4，故D错误，
故选：AC
10. 如图，某同学将搜集的六组成对数据绘制成散点图，若把图中的点去掉，对比原数据重新进行线性回归分析，则下列结论正确的是（ ）
A. 数据的残差平方和变大
B. 数据的决定系数变大
C. 解释变量与响应变量的线性相关程度变强
D. 样本相关系数的绝对值更趋于0
【答案】BC
【解析】
【分析】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，所以去掉点后，回归效果更好，再结合残差的定义、以及相关系数和决定系数的性质判断．
【详解】由题意，
从散点图中可知，样本数据的两变量正相关，
由于点较其他点偏离程度大，删除点后，回归效果更好，决定系数变大，故B正确，从而相关系数的绝对值更接近于1，所以D错误；
由于拟合效果更好，决定系数越接近于1，所以新样本的残差平方和变小，所以A错误；从而解释变量与响应变量相关性增强，所以C正确.
故选：BC.
11. 已知抛物线：的焦点为，若过点的直线与交于两点，且在第一象限，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 面积的最小值为2
B. 当直线的倾斜角为时，
C. 线段的中点到的准线的距离等于
D. 在x轴上存在一点，使直线与的斜率之和为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】直线AB的方程为，，，联立抛物线方程，得到，，由可判断A，由焦点弦长公式可判断B，由弦长公式可判断C，由斜率公式结合韦达定理得到，可判断D.
【详解】由题意知，设直线AB的方程为，，，
联立直线与抛物线的方程，得
消去整理得，则，.
对于A，，
故时，的面积取得最小值，为2，故A正确；
对于B，当直线AB的倾斜角为时，直线AB的方程为，
将代入，得，解得，，
所以，，所以，故B错误；
对于C，由题意知C的准线方程为，由前面的分析，知，，
所以，
又，
所以，故C正确；
对于D，由前面的分析，知，，
设，则
，
所以当时，为定值0，即存在，使为定值，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 甲袋中有20个红球，10个白球；乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别，现在从两袋中各取出1个球，则2个球中恰有1个红球的概率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】设出事件，得到，，求事件的概率即可；
【详解】记事件：从甲袋中任取1个球为红球，事件：从乙袋中任取1个球为红球，
则，，
则2个球中恰有1个红球的概率，即求事件的概率，
．
故答案为：
13. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，记为“正面点数不大于2”出现的次数，则随机变量的方差______．
【答案】
【解析】
【分析】求出正面点数不大于2的概率，再利用二项分布的方差公式计算即得.
【详解】依题意，抛掷一枚骰子一次，正面点数不大于2概率，
因此，所以.
故答案为：
14. 已知圆与圆心在原点处的单位圆恰有两条公切线，则正数的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】首先需要明确两个圆的圆心和半径，然后根据两圆恰有两条公切线的位置关系（相交），利用两圆相交时圆心距与两圆半径的关系来求解的取值范围.
【详解】圆：方程为，其圆心为，半径.
单位圆：圆心在原点，半径.
两圆的圆心距.
因为两圆恰有两条公切线，所以两圆相交，所以，即，
得，所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性.从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如图所示：
日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修.对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）：
假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立.
（1）已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率；
（2）该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修,记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，求的分布列和数学期望；
（3）该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况.下面有三种维护这2台设备的操作方案：
如果你是该工厂的老板，你如何决策?
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，；
（3）①，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）利用频率计算概率即可；
（2）利用二项分布概率公式来计算概率，但总经济损失为的取值是；
（3）利用分类讨论，研究三个方案的总经济损失的期望，通过对比来作出决策.
【小问1详解】
设“一台设备未出现发热情况，设备损坏”为事件，则；
【小问2详解】
依题意，一台设备出现发热情况，设备损坏的概率为，设备正常的概率为，
由题意知，.
离散型随机变量的分布列为：
【小问3详解】
使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号为①，理由如下：
记采用不同方案，这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，
采用方案①：的取值为：5，7，17，19，
，，
，，
故采用方案①，总经济损失的期望
采用方案②：的取值为：10，12，15，17，
，，
，，
故采用方案②，总经济损失的期望
采用方案③：的取值为：5，10，17，22，
，，
，，
故采用方案③：总经济损失的期望.
综上，，故采用方案①，可使得总经济损失的期望最小
16. “两岸同心跑，共绘未来圆”2024马尾区全面健身“两马”主题跑暨第十六届“两马”体育联赛于2024年5月17日在琅岐红光湖公园举行.为了解市民对“两马运动”的了解程度与性别是否有关，某调查组对该区市民进行了一次“两马运动”健康知识问卷调查，通过随机抽样，得到参加问卷调查的600人的得分（满分100）数据，统计结果如表所示.
（1）把市民分为对“两马运动”健康知识“比较了解”（不低于60分的）和“不太了解”（低于60分的）两类，请作出列联表，并判断是否有的把握认为该市民对“两马运动”健康知识了解程度与性别有关？
（2）将频率视为概率，用样本估计总体.若从该地区所有市民中，采取随机抽样的方法每次抽取1名市民分析，连续抽取4次，且各次抽取的结果相互独立，记被抽取到的4名市民中，“比较了解”的人数为，求出的分布列，并求数学期望和方差.
附表及公式；
其中，.
【答案】（1）列联表见解析，有
（2）分布列见解析，数学期望为，方差为
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出列联表，利用公式求得的值，结合附表，即可得到答案；
（2）根据题意，抽查结果为“比较了解”的概率为，变量的可能取值为，且，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合二项分布的期望和方差的公式，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，可得列联表如下：
依题意，，
故有的把握认为市民对“两马运动”健康知识了解程度与性别有关系.
小问2详解】
解：由题意，抽查结果为“比较了解”的概率为，
随机变量的所有可能取值为，且，
可得，，
，，
，
可得随机变量的分布列为：
所以，.
17. 已知点，圆．直线与圆相交于A、B两点，．
（1）若直线过点，求直线的方程；
（2）若线段AB的中点为，的轨迹为曲线，过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值．
【答案】（1）或
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求出圆心到直线的距离，考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线的距离公式得到方程，求出答案；
（2）先求出曲线的方程，设直线的方程。点、，联立曲线的方程，得到两根之和，两根之积，表达出.
【小问1详解】
由题意可知：圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
若直线的斜率不存在，即直线，满足题意；
若直线的斜率存在，设直线，即，
则，解得，
所以直线；
综上所述：直线的方程为或.
【小问2详解】
若线段AB的中点为，可得，即，
可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
所以点的轨迹方程；
由（1）可知：直线的斜率存在，
设直线的方程为，即，点、，

联立方程，消去y可得，
则，解得，
由韦达定理可得，，
则
.
所有为定值．
18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设双曲线左右顶点分别为，在直线上取一点，直线交双曲线右支于点，直线交双曲线左支于点，直线和直线的交点为，求证：点在定直线上.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用双曲线的性质，代入点坐标计算即可；
（2）法一、用点P坐标表示直线，联立双曲线方程得出C、D坐标，再表示直线，联立求其交点即可证明；法二、直接利用C、D坐标表示直线，利用三点共线斜率关系计算可用表示直线方程，联立求其交点即可证明.
【小问1详解】
因为渐近线方程为，所以，设双曲线为，
代入得，双曲线的标准力程为；
【小问2详解】
法一、
设直线，联立双曲线得：，
，且；
设直线，联立双曲线得：，
，且；
所以
则
设，则，两式相除消得
所以在直线上；
法二、
设直线，
直线，
由于，即，
由于，即，
则.
设，则，两式相除消得
所以在直线上；

19. 已知是椭圆：的右焦点，且椭圆过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过作直线交椭圆于，两点，其中在轴上方.
（i）求三角形面积最大值；
（ii）设，求证：.
【答案】（1）；
（2）（i）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题目信息求出，即可得到答案；
（2）（i）设直线的方程为，求出三角形的面积，结合对勾函数的单调性即可求出最大值；（ii）设与的斜率分别为，，证明即可证明.
【小问1详解】
由题可得，解得
所以椭圆的标准方程为：.
【小问2详解】
（i）如图，由题可知，直线的斜率不为0，
设直线的方程为：
设，，由题意知，，
联立，消去化简得
所以，
所以
又原点到直线：的距离
所以三角形的面积
令，则
设，根据对勾函数得在上单调递增，则，则，
所以三角形面积的最大值为.
（ii）设与的斜率分别为，，又，
则.
所以.
操作经济损失设备状态
保留观察
停机更换
检查维修
完好
0
10
5
损坏
12
5
7
发热情况操作方案编号
发热
未发热
①
检查维修
保留观察
②
停机更换
检查维修
③
停机更换
保留观察
10
12
14
得分
男性人数
10
15
65
75
115
50
20
女性人数
10
30
70
65
35
30
10
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
不太了解
比较了解
合计
男性
90
260
350
女性
110
140
250
合计
200
400
600
0
1
2
3
4