辽宁省朝阳市建平县实验中学2025--2026学年高一上册1月期末数学试题【附解析】

这是一份辽宁省朝阳市建平县实验中学2025--2026学年高一上册1月期末数学试题【附解析】，共16页。试卷主要包含了本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：人教B版必修第一册，必修第二册第四章~第五章
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的运算法则计算．
【详解】由题意，所以．
故选：B．
2. 已知命题，，则的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可写出答案.
【详解】根据特称命题的否定为全称命题，
所以命题的否定为：，.
故选：.
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数有意义，则满足，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：D.
4. 已知，则（ ）
A. 9B. 8C. 3D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】直接代入即可.
【详解】令，则.
故选：B.
5. 某企业职工有高级职称的共有15人，现按职称用分层抽样的方法抽取30人，有高级职称的3人，则该企业职工人数为（ ）
A. 150B. 130C. 120D. 100
【答案】A
【解析】
【分析】由条件，根据分层抽样的性质列方程求该企业职工人数.
【详解】设该企业职工人数为，
由分层抽样性质可得，
解得，
所以该企业职工人数为.
故选：A.
6. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数的单调性，结合中间值比较大小即可.
【详解】易知，
又，在上单调递减，所以.
又，所以.
故选：A.
7. 著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得出，，，将代入关系可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果.
【详解】由题知，，，所以，可得，
再经过分钟后，该物体的温度为，
即该物体的温度为．
故选：C．
8. 已知函数，且在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数为减函数，结合对数函数、二次函数的单调性及端点值的大小列不等式组，求解即可.
【详解】由，且在上单调递减，
得，即，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件
B. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”则
C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的分位数是23
D. 数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据对立事件的定义即可求解A，根据古典概型概率公式求解B，将数据重新排列，即可根据百分位数的计算公式求解C，根据平均数以及方差的性质即可求解D即可．
【详解】对于A，任选2名同学包含“两名男生”，“两名女生”以及“一男一女”，
则“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件，故A正确，
对于B，由题意得，
得到，故B正确，
对于C，将数据从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，
由于，故分位数为，故C错误，
对于D，数据的平均数为2，方差为3，
则数据的平均数为，
方差为，故D正确.
故选：ABD
10. 已知幂函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则在上单调递减B. 若，则奇函数
C. 函数过定点D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】由为幂函数，可得，求出的值，然后逐个分析判断即可.
【详解】因为为幂函数，
所以，得或，
对于A，当时，，则在上单调增，所以A错误，
对于B，当时，，则（），因为，所以是奇函数，
当时，，则，因为，所以是奇函数，
所以时， 奇函数，所以B正确，
对于C，因为，所以，
当时，，所以函数过定点，所以C错误，
对于D，当时，，则，所以D正确，
故选：BD
11. 已知函数，则（ ）
A. 的图象关于y轴对称B. 的单调递增区间为
C. 的最小值为2D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】计算得到A正确；举反例得到B错误；根据均值不等式计算C正确；对D，确定函数单调性，根据得到答案．
【详解】对于A，定义域为R，则，函数为偶函数，故A正确；
对于B，，，，故B错误；
对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确；
对于D，当时，设，，则在上单调递增，
故在上单调递增，
，，，即，
故，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数满足：（1）定义域为；（2）；（3）在上为增函数.请写出满足上述三个条件的一个函数解析式______（答案不唯一，正确即可）；
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合幂函数的性质即可求解.
【详解】由以及定义域为，可得为偶函数，
故可以为，
为开口向下的二次函数，且满足在单调递增，故符合题意，
故答案为：（答案不唯一）.
13. 函数的单调递增区间为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数与二次函数的单调性，结合对数函数的定义域与复合函数的单调性的求解方法，即可得到答案.
【详解】由不等式，解得或，所以的定义域为，
令，可得其图像开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在单调递增，
又由函数在上为单调递减函数，
根据复合函数“同增异减"的规律，可得函数的增区间为．
故答案为：.
14. 设表示不超过最大整数，如，.则函数的零点为_____.
【答案】
【解析】
【分析】将函数零点问题转化为方程解的问题，然后在拆解为两个函数图像交点问题，数形结合便能得到零点.
【详解】可转化为函数与的交点横坐标，
画出与的图像，如下，
显然只有一个交点M，令，解得或（舍去），
故答案：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）将根式化分数指数幂，利用分数指数幂及根式运算法则进行计算；
（2）利用对数运算性质计算出答案.
【小问1详解】
原式=；
【小问2详解】
原式.
16. 已知关于的不等式的解集为.
（1）求实数，的值；
（2）当，，且满足时，求的最小值.
【答案】（1），.
（2）24
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解与方程的根之间的关系即可求解，
（2）根据乘“1”法，即可结合基本不等式求解.
【小问1详解】
∵不等式的解集为，
∴，且，为方程的两个根，故，
解得或（舍去），
【小问2详解】
当，时，由（1）得，
∴，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为24
17. 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：

（1）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率；
（2）根据频率分布直方图估计中位数；
（3）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识.首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图可知样本中分数高于60的频率为.
（2）根据上的频率可求中位数.
（3）利用列举法结合古典概型的概率公式可求概率.
【小问1详解】
根据频率分布直方图可知，样本中分数高于60的频率为
，
所以样本中分数高于的概率为．
故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于的概率估计为．
【小问2详解】
由频率分布直方图可得：上的频率为，
而上的频率为，故此两组的频率和为，
设中位数为，则且，
故即中位数为.
【小问3详解】
设3名男生分别为，2名女生分别为，则从这5名同学中选取2人的结果为：
共10种情况.
其中2人中男女同学各1人包含结果为：
，共6种.
设事件抽取的2人中男女同学各1人，则
所以，抽取的2人中男女同学各1人的概率是.
18. 已知．
（1）当时，解不等式；
（2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】（1）当时,可得,由，解对数不等式即可求出;
（2）由在上单调递减,可得函数在区间上的最大值与最小值的差为,将转化为对任意恒成立,利用二次函数的性质即可求出的取值范围.
【详解】（1）当时，
，，
，，则不等式的解集为.
（2）因为在上单调递减，
所以函数在区间上的最大值与最小值的差为，
因此
即对任意恒成立，
因为，所以在上单调递增，
所以
因此，.
【点睛】本题考查对数不等式的解法,借助二次函数恒成立求未知参数范围问题,难度较难.
19. 已知为上的奇函数，为上的偶函数，且.
（1）分别求函数，的解析式；
（2）判断函数的单调性，并用定义证明；
（3）设，，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由奇偶函数的定义化简得，结合已知条件解方程得到结果；
（2）通过定义法的步骤证明函数的单调性即可；
（3）由单调性求出在上值域，通过与的关系，设后整理得解析式并求出其值域.通过讨论参数的范围分别写出函数在的值域，由题意可知值域之间的关系，建立不等式组后解得实数的取值范围.
【小问1详解】
因为①，则，
又为上的奇函数，为上的偶函数，则有②，
由①-②得到，所以
由①+②得到，所以.
【小问2详解】
取任意，且，
则
；
易知当时，，，所以，即；
因此在上单调递增.
【小问3详解】
因为对任意的，总存在，使得，
所以在上的值域是在上值域的子集.
设在上的值域为集合A，
∵是增函数，故时，，
令，则，所以，
所以.函数的对称轴为，
①当时，，，
即.
所以，解得.
当时，，，，
因为，所以，
解得.
当时，，，
，
所以，解得.
综上所述：.
【点睛】方法点睛：对任意的，总存在，使得，即是在上的值域是在上值域的子集.在求一个复杂函数的值域是可以将函数进行整理化简，由复合函数的思想，对函数组层求值域，然后得到最后结论.含参的二次不等式值域需要通过对参数进行讨论，然后得出值域.