辽宁省抚顺市六校协作体2025-2026学年高二上学期期末联考数学试题（Word版附解析）

这是一份辽宁省抚顺市六校协作体2025-2026学年高二上学期期末联考数学试题（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在空间直角坐标系中，点到轴的距离为
A.2B.C.3D.
2.已知是双曲线的一条渐近线，则的倾斜角可能为
A.B.C.D.
3.某羽毛球比赛结束，1名教练和3名学员站成一排拍照留念，其中教练不站在两边的排法种数为
A.8B.12C.16D.18
4.过圆上一点作圆的切线，则的方程为
A.B.C.D.
5.已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为
A.B.C.D.
6.已知点关于直线对称的点恰好在轴上，则的值是
A.-1B.0C.1D.无法确定的
7.设抛物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则的最小值为
A.4B.5C.6D.8
8.给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，有四种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都要使用），要求相邻区域涂不同颜色，则不同的涂色方法种数是
A.192B.168C.224D.208
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图，直三棱柱的所有棱长均为1，E，F分别为的中点，则
A.B.
C.在平面上的投影向量的模长为D.在上的投影向量为
10.下列说法正确的是
A.将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是
B.将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是
C.将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球，那么不同的放法种数是
D.将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球，那么不同的放法种数是
11.已知曲线与直线，则下列结论正确的是
A.若，则被曲线截得的线段长度为
B.若与没有公共点，则的取值范围为
C.若与的公共点有且只有一个，则的取值范围为
D.若与没有公共点且上到的距离为2的点有且只有2个，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，则满足的所有的和为___________.
13.已知分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与的左支交于A，B两点，且周长的最小值为8a，则的离心率为__________.
14.某操场的正前方有两根高度均为、相距6 m的旗杆AB，CD（两根旗杆都与地面垂直）.有一条10 m长的绳子，两端系在两根旗杆的顶部B，D处，中间某处系在地面的点，并按如图所示的方式绷紧，使得绳子和两根旗杆处在同一个平面内，假定这条绳子的长度没有改变，则__________m.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知圆经过两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）已知圆，求圆与圆的公共弦MN的方程以及公共弦MN的长.
16.（15分）如图，已知四边形ABCD是直角梯形，平面是CS的中点.
（1）证明：.
（2）求直线AB与平面SCD所成角的正弦值.
17.（15分）已知.
（1）若，求的值.
（2）已知展开式的所有二项式系数之和为256.
（i）若，求的值；
（ii）若，且，求的取值范围.
18.（17分）已知动圆经过点，且与直线相切，记圆的圆心的轨迹为曲线.
（1）求的方程.
（2）已知过点的直线与交于A，B两点.
（i）若，求的方程；
（ii）证明：点在以AB为直径的圆外.
19.（17分）如图1，分别是椭圆的左、右焦点，过点作直线，与交于M，N两点，且的周长为.
（1）求的方程.
（2）如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为.
（i）若直线MN的斜率为-1，求；
（ii）求三棱锥体积的最大值.
1.B 因为，所以点到轴的距离为.
2.D 双曲线的渐近线方程为，则的倾斜角为或，故选D.
3.B 教练不站在两边的排法种数为.
4.C 圆的圆心为，则直线的斜率.因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即，所以，则切线的斜率.所以直线的方程为，即.
5.A 由题意知，所以点到平面的距离.
6.C 设，所以化简可得所以.
7.D 由题可知的坐标为的准线的方程为，由抛物线的定义可知|MF|等于到的距离，所以的最小值为到的距离，即最小值为.
8.A 第一步，给B，C，E三块区域涂色，有种涂色方法；第二步，给F区域涂色，有2种涂色方法；第三步，给A区域涂色，有2种涂色方法；第四步，给D区域涂色，有2种涂色方法，综上，不同的涂色方法种数是.
9.AC ，A正确；，B错误；
过作平面，垂足为（图略），易知，过作平面，垂足为，易知，即在平面上的投影向量为，.C正确；
过作，垂足为，易知，过作，垂足为，易知，即在上的投影向量为错误.
10.ABD 将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球，那么不同的放法种数是错误.A，B，D均正确.
11.ABD 由，得，所以曲线是圆心为原点的半圆.当时，易得与相交，因为到的距离为，所以被曲线截得的线段长度为，A正确.
若与没有公共点，则到的距离为，B正确.
当与相切时，.由，得.当与相交时，，得.故的取值范围为，C错误.
当与没有公共点且上到的距离为2的点有且只有2个时，且点到的距离为，得（当时，与有公共点，舍去），D正确.
12.5 由组合数的性质可得，解得.又，所以或，解得或，故满足的所有的和为5.
13. 的周长为.当时，|AB|取得最小值，的周长取得最小值.令，得，则，得.故的离心率为.
14. 因为，所以的轨迹是焦点为B，D，长轴长为10，短轴长为的椭圆.如图，以直线BD为轴，BD的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.易得该椭圆的方程为.当时，，得，所以.
15.解：（1）由题可知直线AB的斜率为，………………………………………………………1分
直线AB的中点坐标为，………………………………………………………………………………2分
直线AB的中垂线方程为，所以圆心在直线上，………………………………3分
又圆心在直线上，由得所以.………………………4分
又，……………………………………………………………………………………………………5分
所以圆的方程为.…………………………………………………………………………6分
（2）将圆与圆的方程相减，得公共弦MN的方程为，……………………………9分
所以圆心到直线MN的距离，………………………………………11分
又圆的半径，所以由圆的弦长公式得………………13分
16.（1）证明：以为原点，AD，AB，AS所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，则，.………………………………………………………………………………2分
，……………………………………………………………………………4分
则，所以.……………………………………………………7分
（2）解：在平面SCD中，,0）………………………………9分
设平面SCD的法向量为，则即所以
令，则，所以.……………………………………………………………12分
故直线AB与平面SCD所成角的正弦值为.…………………15分
17.解：（1）令，则，………………………………………………………………………1分
令，则，……………………………………………………………2分
所以，故.……………………………………………………………………………4分
（2）因为展开式的所有二项式系数之和为256，所以，解得.………………6分
（i）由题可知，即，所以.……………………………9分
（ii）因为，即展开式中有且仅有项的系数最大，
所以…………………………………………………………………………………………12分
解得，所以的取值范围是.……………………………………………………………15分
18.解：（1）动点到的距离等于到直线的距离，…………………………………………1分
则是焦点为，准线为的抛物线，…………………………………………………………2分
所以的方程为.……………………………………………………………………………………3分
（2）易得的斜率不为0.设.………………………………………4分
由得，………………………………………………………………………5分
则……………………………………………………………………………………………6分
（i）由，…………………………………………………………………………………………………8分
得，………………………………………………………………………………………………………9分
所以，即的方程为或.…………………………………10分
（ii）证明：.…………………………………………………………11分
因为…………13分
，…………………15分
所以，则.…………………………………………………………………16分
故点在以AB为直径的圆外.…………………………………………………………………………17分
19.解：（1）由题可知.…………………………………………………………………………1分
又，所以，………………………………………………………………………………2分
，………………………………………………………………………………………………3分
所以的方程为.…………………………………………………………………………………4分
（2）设.
（i）易知MN的方程为，
由得，
则，………………………………………………………………………………6分
则.……………………………………………………………………7分
过作，垂足为，过作，垂足为（图略），
则.
因为二面角的大小为，所以，……………………………………8分
所以
即.……………………………………………………………………………………………11分
（ii）设MN的方程为，
由得，
则.………………………………………………………………13分
因为二面角的大小为，所以到平面的距离为，……15分
所以，
故三棱锥体积的最大值为.……………………………………………………………17分