广东省广州市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试题含解析

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2、答卷发放后，考生务必将自己的姓名、考号、学校、班别、试室号、座位号等按要求填涂在答卷对应位置上，并认真核对．答卷的填写部分用黑色字迹的钢笔或签字笔；
3、考试结束时，将答卷交回监考老师，试卷和草稿纸自己保管．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合交集的概念与运算，准确运算，即可求解.
【详解】由集合，
根据集合交集的概念与运算，可得.
故选：B.
2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定即可得到答案.
【详解】根据全称命题的否定得到命题的否定为， .
故选：C.
3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断各选项的正误.
【详解】A：的定义域为，的定义域为，则A错误；
B：的定义域为的定义域为，则B错误；
C：和的定义域均为，且，则C正确；
D：的定义域为的定义域为，则D错误.
故选：C
4. 若在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可知二次函数的对称轴和开口方向，结合单调性列式求解即可.
【详解】因为函数的图象开口向下，对称轴为，
若在上是单调函数，则或，解得或，
所以的取值范围是.
故选：D.
5. 已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用幂函数的概念求得，再利用幂函数的定义域与单调性即可解得不等式.
【详解】因为为幂函数，所以，则，
故的定义域为，且在定义域上为增函数，
所以由，可得，解得，
故a的取值范围为.
故选：B.
6. 已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题中条件，分别讨论，两种情况，结合函数单调性与奇偶性，即可求出结果.
【详解】若，则等价于，因偶函数，故，
又在上单调递减，则由可得；
若，则等价于，由题意，在上单调递增，则由可得；
综上，的解集为.
故选：A.
7. 关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 不等式的解集为
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解集和韦达定理，可得，且，，然后代入选项，即可判断选项正误.
【详解】由题知，，且，，
即得，故A错；
由可得，
所以，解得或，故B错；
对于C，，故C错；
由可得，
即，所以，故D正确.
故选：D
8. 已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解关于的一元二次方程,得到两个实根,由题意和共有3个实根,数形结合,可得的取值范围
【详解】作出函数的大致图象如图所示．
由可得．
由图可知，方程有两个不等的实根，
由题意可知，方程有且只有一个实根，故或，解得或．
故选:
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分．
9. 对任意实数，下列命题中正确的是（ ）
A. “”是“”的必要条件B. “是无理数”是“是无理数”的充要条件
C. “”是“”的充要条件D. “”是“”的充分条件
【答案】AB
【解析】
【分析】
利用充分与必要条件的定义，判定各选项中的充分性与必要性是否成立，从而选出正确答案．
【详解】A中，∵a＜3时，得出a＜5，
∴a＜5是a＜3的必要条件；
∴A是正确的；
B中，是无理数，得出是无理数，充分性成立；
是无理数，得出是无理数，必要性成立；
∴B是正确的；
C中，由，得出，充分性成立；
由，不能得出，
例如：c＝0时，2×0＝3×0，2≠3，
∴必要性不成立；
∴C是不正确的；；
D中，∵a＞b不能得出，
例如：得，
∴充分条件不成立；
D不正确.
故选：AB．
【点睛】关键点睛：解题的关键是判定充分性与必要性是否成立.
10. 已知，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】由列举法可判断A项错误；由不等式性质可判断BC正确；由作差法可判断D项错误.
【详解】对于A，若，令，，则，，，故A错误；
对于B，显然，则，则，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，同理可得，
即，故C正确；
对于D，，因为，所以，，，故，即，故D错误．
故选：BC
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，的最小值为0
B. 若存在最小值，则的取值范围为
C. 若是减函数，则的取值范围为
D. 若存在零点，则的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项画出草图即可；B选项算出左右两侧函数的最值比大小即可；C选项判断左右两侧函数的增减性即可，D选项分四种情况讨论即可解答.
【详解】对于A选项：
当时，的图像如下：
故此时，.故A选项不对.
对于B选项：
当时，
当时，单减，此时，
当时，单调增，故，
因为；所以；所以；
即；
当时，的最小值为：.
故B选项正确.
对于C选项：
当时，时，单减，
此时的斜率为负，故此当时，单减，
故C选项正确.
对于D选项：此时要对分类讨论；
分类讨论一：当时，一定有零点；
分类讨论二：当时，由A选项可知此时无零点；
分类讨论三：当时，
当时，此时左区段无零点；
当时，函数右区段表达式为，此时直线单减，
故才会有零点；
解不等式.
与取交集有：；
分类讨论四：当时，
由B选项的讨论过程可知：此时函数图像左区段单减，左区段单增；
因为不在左区段的定义域内，故区段上无零点；
要使存在零点，则零点必在右区段上；
即右区段的最小值必然小于等零，即
即或
上式再与取交集有：
综上所述：若存在零点，则的取值范围为.
故D选项正确.
故选：BCD
第Ⅱ卷（客观题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知集合，则________．
【答案】
【解析】
【分析】解分式不等式可得集合A，后由补集定义可得答案.
【详解】由题可知或，则．
13. 已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为________.
【答案】4
【解析】
【分析】由题设将所求化为，再结合基本不等式即可求解.
【详解】由题a，b为正实数，且满足，
则，当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为4.
故答案为：4
14. 定义，若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】根据已知得，画出函数图象，数形结合求函数最大值，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值.
【详解】当时，解得或，
所以，作出的图象如图所示：
由图知：当时有最大值，所以，
当时，令，注意，解得或，
令，注意，解得，
当时，令，注意，解得，
令，注意，解得，
由图知：当，时，的值域为，
此时的最大值为；
当，时，值域为，此时，
由上知，的最大值为.
故答案为：3，
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 计算：
（1）
（2）.
【答案】（1）8 （2）3
【解析】
【分析】（1）直接根据指数的运算性质计算即可；
（2）直接根据对数的运算性质及换底公式计算即可.
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式.
16. 已知集合是函数的定义域，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合、，再根据并集运算即可；
（2）分和两种情况，结合包含关系讨论求解即可.
【小问1详解】
由，即，所以，
当时，，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，，且，
当时，有，即.
当时，有，即.
综上所述，的取值范围为.
17. 已知函数的图象经过点
（1）求函数的解析式，并求的值；
（2）用定义证明函数在区间上单调递减．
【答案】（1）；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，解得，得到，进而求得值；
（2）由（1）化简得到，结合函数的单调性的定义与判定方法，即可得证.
【小问1详解】
解：因为函数的图象经过点，
可得，解得，所以，
可得，所以.
【小问2详解】
证明：由（1）知，函数，
任取，且，
则，
因为，可得，所以，
即，所以函数在区间上单调递减.
18. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本）
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润.
【答案】（1）
（2）当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元
【解析】
【分析】（1）利用利润销售收入－成本公式计算即可得；
（2）结合二次函数性质与基本不等式计算即可得.
【小问1详解】
当时，；
当时，，
故；
【小问2详解】
当时，是对称轴为的二次函数，
则在上单调递增，
故当时，万元；
当时，
万元，
当且仅当时等号成立，
故当时，万元；
故当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元.
19. 已知函数的图象过点，且满足.
（1）求函数的解析式；
（2）设函数在上的最小值为，求；
（3）若满足，则称为函数的不动点.函数有两个不相等的不动点，且，
①求实数的取值范围；②求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）①，②最小值为6
【解析】
【分析】（1）根据，即可求解，
（2）根据二次函数的单调性，解分类讨论即可求解，
（3）根据一元二次方程根的分布即可由判别式以及韦达定理求解①，根据韦达定理，结合基本不等式即可求解最值.
小问1详解】
根据的图象过点，且
可得，故，
故.
【小问2详解】
的对称轴为，
当时，在单调递增，故，
当时，即，在单调递减，
故，
当时，即，故，
综上可得.
【小问3详解】
根据题意可得，
故有两个不相等的正实数根，
故，解得，
由于，
故，
由于，则，
故，当且仅当时取等号，
故，故最小值为6