广东省深圳市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试卷含解析

这是一份广东省深圳市2025_2026学年高一数学上学期期中测试试卷含解析，共16页。试卷主要包含了请考生保持答题卷的整洁， 已知函数 ，则， 若函数 同时满足， 下列命题正确的有等内容，欢迎下载使用。

班级___________姓名___________
本试卷共 4 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如
需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作
答的答案无效.
4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.
一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有一
个是符合题目要求的）
1 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. , D. ,
【答案】B
【解析】
【分析】应用并集定义计算求解.
【详解】 集合 ，
, , ，
．
故选：B．
2. 命题 的否定是（ ）
A. B.
C. D.
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【答案】A
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可.
【详解】命题 是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以所求否定是 .
故选：A.
3. 函数 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用偶次根式和分式的意义来求定义域即可.
【详解】由题意得：
故函数的定义域为 ，
故选：A.
4. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解出不等式，通过充分条件与必要条件的概念即可判断出关系.
【详解】由 得 ，则 且 ，解得： ，
而集合 是 的真子集，
∴“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A．
5. 幂函数 在 上是增函数，则实数 的值为（ ）
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A. 2 或 B. C. 2 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性列式即可求解.
【详解】 为幂函数，
所以 ，即 ，
即 ，解得 或 ，
又 在 上是增函数，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 .
故选： .
6. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断各选项的正误.
【详解】A： 的定义域为 ， 的定义域为 ，则 A 错误；
B： 的定义域为 的定义域为 ，则 B 错误；
C： 和 的定义域均为 ，且 ，则 C 正确；
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D： 的定义域为 的定义域为 ，则 D 错误.
故选：C
7. 已知函数 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】换元法求解析式即可．
【解答过程】设 ，则 ， ，
所以 ，
所以 ．
故选：B.
8. 若函数 同时满足：①对于定义域上的任意 ，恒有 ；②对于定义域上的任意
， ，当 时，恒有 .则称函数 为“理想函数”.给出下列
四个函数：
① ；② ；③ ；④
其中是“理想函数”的有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】B
【解析】
【分析】先分析条件①②得到函数的奇偶性和单调性.然后逐个验证四个函数是否满足条件.
【详解】由①可知函数 为奇函数，
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由② ，即 ，所以函数 在定
义域上单调递增.
①函数 为偶函数，不满足条件①，排除；
②函数 为奇函数，在定义域内单调递增，是“理想函数”；
③∵ ，函数 不是奇函数，排除；
④当 时， ， ，函数 是
奇函数，
∴函数 在 单调递增，在 上单调递增，且当 时，
，∴函数 在定义域内单调递增，是“理想函数”；
故为“理想函数”的函数有：②④；
故选：B.
二、选择题（本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中有多项
符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ， ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据不等式的性质，利用作差法，举反例等方法逐一判断各选项即可.
【详解】对于 A，若取 ，则 ，故 A 错误；
对于 B，由 可得 ，即可得 ，故 B 正确；
对于 C，由 可得 ，由不等式性质，可得 ，故 C 正确；
对于 D，由 ，
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因 ， ，则 ， ，
故 ，即得 ，故 D 正确.
故选：BCD
10. 若 ，则下列不等式对一切满足条件的 恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用给定条件，结合基本不等式，逐项分析、计算判断作答即可.
【详解】对于 A，因为 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，故 A 正确；
对于 B，因为 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，故 B 正确；
对于 C，因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，故 C 错误；
对于 D，因为 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，故 D 正确.
故选：ABD
11. 已知函数 为定义在 上的减函数，下列说法正确的是（ ）
A. 的取值范围为
B
C. 若 ，则 的取值范围是
D. 函数的值域为
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【答案】ABC
【解析】
【分析】对于 A，分析出要使定义在 上的函数 是减函数，须满足一次函数的斜率 ，二次
函数的对称轴 ，且函数在 左侧的最小值大于等于在 右侧的最大值，进而列出不等式组，
求出 的取值范围，即可判断；对于 B，C，利用函数 在 上的单调性，将不等式 ，
转化为关于 的不等式，求出 的取值范围，即可判断；对于 D，取符合题意的
，得到函数 的确切解析式并求出其值域，即可判断.
【详解】对于 A，当 时，函数 ，
对称轴为 ，且 .
所以要使定义在 上的函数 是减函数，
须满足 ，即 ，
解得 ，即 的取值范围为 ，故 A 正确；
对于 B，因为函数 是定义在 上的减函数，
所以 等价于 ，整理得 ，
其判别式 ，故 恒为正，
即 对所有的 都成立，
所以 ， 恒成立，故 B 正确；
对于 C，因为函数 是定义在 上的减函数，
所以 等价于 ，解得 ，
即 的取值范围是 ，故 C 正确；
对于 D，由选项 A 可知，当 ，函数 在 上是减函数，
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所以令 ，此时 ，
当 时，可得 ；
当 时，因为 ，
所以 ，
所以函数 的值域为 ，不是 ，故 D 错误.
故选：ABC
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在题中的横线上）
12. 已知函数 ，则 _____.
【答案】5
【解析】
【分析】根据解析式，将自变量代入求值即可.
【详解】由解析式知 ，则 .
故答案为：5
13. 若 ，则函数 的值域为______．
【答案】
【解析】
【分析】化简函数解析式为 ，结合基本不等式可求得函数 的值域.
【详解】因为 ，则 ，
所以
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，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
因此， 的值域为 .
故答案为： .
14. 已知函数 的定义域为 ，满足 ，且 在 上为严格减函数，
则不等式 的解集为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据题设有 关于 对称，在 上为严格增函数，利用对称性和单调性有
，即可求解.
【详解】由 ，即 关于 对称，
又 在 上为严格减函数，则在 上为严格增函数，
由 ，则 ，即 ，
所以不等式的解集为 .
故答案为：
四、解答题（本大题共 5 个大题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知集合 ， .
（1）当 时，求：① ，② ；
（2）若 ，求实数 m 的取值范围.
【答案】（1）① ，②
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合的并集，交集，全集，补集的定义计算即可；
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（2）利用集合间的包含关系列不等式，求解即可.
【小问 1 详解】
由 ，解得 ，则 ，
当 时， ，
所以 ， 或 ，
则 .
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
由 ，得 ，解得 ，
因此，实数 m 取值范围是 .
16. 已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， .
（1）求函数 的解析式；
（2）在给定的坐标系中画出函数 在 上的图象（不用列表）；
（3）若关于 的方程 有 4 个不同的实数解，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）图象见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的性质公式 可得当 时的函数表达式，则即可得到函数 的
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解析式；
（2）可将第（1）题中函数 的解析式化为顶点式，即可画出 的图象；
（3）根据（2）中 大致图象，对 分类讨论即可得到交点个数.
【小问 1 详解】
当 时，则 ，可得 ，
又因为函数 是定义在 上的偶函数，
当 时，则 ，
所以函数 的解析式为： .
【小问 2 详解】
当 时， ；
当 时， ；
所以 ，大致图象如下：
小问 3 详解】
根据（2）中 大致图象，可知：
①当 或 时，直线 与 的图象有 2 个交点；
②当 时，直线 与 的图象有 3 个交点；
③当 时，直线 与 的图象有 4 个交点；
④当 时，直线 与 的图象没有交点；
若关于 的方程 有 4 个不同的实数解，所以实数 的取值范围为 .
17. “绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提
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出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为
扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为 2000 万元，每生产 万
件 ， 需 另 投 入 成 本 万 元 ， 且 时 ， ； 当 时 ，
，由市场调研知，该产品每件的售价为 2000 元，且全年内生产的该产品当
年能全部销售完．
（1）年利润 y（万元）与年产量 x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）；
（2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】（1）
（2）50；2200
【解析】
【分析】（1）由题意，分 和 两种情况求利润；
（2）结合二次函数性质及基本不等式即可求解.
【小问 1 详解】
由题意可知 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以年利润 y（万元）与年产量 x（万件）的关系式为 .
【小问 2 详解】
当 时， ，开口向下，
所以当 时， ；
当 时，
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，
当且仅当 即 时，等号成立，此时 ，
因为 ，
所以，该产品的年产量为 50 万件时，公司所获年利润最大，利润最大为 2200.
18. 已知函数 是定义域 上的奇函数.
（1）确定 的解析式；
（2）用定义证明： 在区间 上是减函数；
（3）解不等式 .
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） .
【解析】
【分析】
（1）利用奇函数的定义 ，经过化简计算可求得实数 ，进而可得出函数 的解析
式；
（2）任取 、 ，且 ，作差 ，化简变形后判断 的符号，即
可证得结论；
（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为 ，再利用函数 的定义域和单调性可
得出关于 的不等式组，即可解得实数 的取值范围.
【详解】（1）由于函数 是定义域 上的奇函数，则 ，
即 ，化简得 ，因此， ；
（2）任取 、 ，且 ，即 ，
则 ，
， ， ， ， ， ， .
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， ，因此，函数 在区间 上是减函数；
（3）由（2）可知，函数 是定义域为 的减函数，且为奇函数，
由 得 ，所以 ，解得 .
因此，不等式 的解集为 .
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查
推理能力与运算求解能力，属于中等题.
19. 已知函数 ．
（1）若 的解集为 ，求 ， 的值；
（2）若 ，求不等式 的解集；
（3）在（1）的条件下，若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据不等式解集得到方程 的两根为 1，2，代入后得到方程组，求出答
案；
（2）变形为 ，分 ， ， ， 和 五种情况，得到不等式的解
集；
（3）只需 ，换元后，由基本不等式求出函数最小值，进而得到 ，求
出答案.
【小问 1 详解】
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因为关于 的不等式 的解集为 ，
所以关于 的方程 的两根为 1，2，
所以 解得
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ．
①当 时，不等式为 ，解集为 ；
②当 时，不等式可化为 ，解集为 或 ；
③当 时， ，不等式可化 ，解集为 ；
④当 时， ，不等式可化为 ，解集为 ；
⑤当 时， ，不等式可化为 ，解集为 ，
综上，当 时，解集为 ；当 时，解集为 或 ；
当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；
当 时，解集为 .
【小问 3 详解】
由（1）知不等式 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
只需 ．
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因为 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ， ，故实数 的取值范围为 ．
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