2024-2025学年广东省广州市高一上学期期中数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省广州市高一上学期期中数学检测试题（含解析），共20页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1 已知全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】先解不等式求出和，再求即可.
【详解】因为，所以，
由，得，解得，
所以，
所以，
故选：C
2. 已知命题，使得，则为（ ）
A. ，都有B. ，使得
C. ，都有D. ，使得
【正确答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】命题，使得为存在量词命题，
则为，都有.
故选：C
3. 在同一平面直角坐标系中，函数(，且)与的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】
按和两种情况讨论指数函数单调性，再考虑直线图象与轴的交点位置，即得结果.
【详解】若，则，函数是上的增函数，函数的图象与轴的交点在轴上方，C符合，D不符合；
若，则，函数是上的减函数，函数的图象与轴的交点在轴下方，A，B均不符合.
故选：C.
4. 已知函数，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
【正确答案】A
【分析】先求出，进而可得出答案.
【详解】由，得，
所以.
故选：A.
5. 下列根式与分数指数幂互化正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据分数指数幂与根式的互化，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A选项：由，故该项等号两侧不相等，所以A错误；
对于B选项：由，所以B错误；
对于C选项：由指数幂的运算性质，可得，所以C正确；
对于D选项：当时，，
当时，，
显然当时，该项的等量关系不成立，所以D错误.
故选：C.
6. 流行病学基本参数：基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：（其中是开始确诊病例数）描述累计感染病例随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T满足，有学者估计出．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当时，t的值为（）（ ）
A. 1.2B. 1.7C. 2.0D. 2.5
【正确答案】B
【分析】
根据所给模型求得，代入已知模型，再由，得，求解值得答案
【详解】解：把代入，得，解得，
所以，
由，得，则，
两边取对数得，，得，
故选：B
关键点点睛：此题考查函数模型的实际应用，考查计算能力，解题的关键是准确理解题意，弄清函数模型中各个量的关系，属于中档题
7. 是定义在R上的函数，为奇函数，则（ ）
A. －1B. C. D. 1
【正确答案】A
【分析】由奇函数定义得，及即可求值
【详解】是定义在R上的函数，为奇函数，则
.
∴.
故选：A
8. 记函数在区间上的最大值为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
【正确答案】A
【分析】分类讨论结合一次函数、二次函数的性质与图象计算即可.
【详解】以下只分析函数在上的图象及性质，分类讨论如下：
①当时，函数在区间上单调递增，
即，此时单调递减，；

②当时，，
所以，
易知当时，，
当，，
此时；

③当时，，
即，
易知当时，，
当，，
此时；

而，综上可知的最小值为.
故选：A
二、多项选择题，本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BD
【分析】根据函数为偶函数可排除A，C选项，再判断选项B，D中函数的单调性从而得出答案.
【详解】函数不是偶函数，函数是奇函数，不是偶函数，故可排除A，C选项.
函数，均为偶函数.
又二次函数在上为增函数.
，当时，函数可化为，在上为增函数.
故选项B，D满足条件.
故选：BD
10. 已知，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则的最小值为4
C. 若，则的最大值为2
D. 若，则的最大值为
【正确答案】ABC
【分析】结合条件使用基本不等式求最值即可判断.
【详解】由，有，则，当且仅当时等号成立，故A正确；
若，则，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为4，故B正确；
若，则，当且仅当时等号成立，
则的最大值为2，故C正确；
若，则，即，当且仅当，即时等号成立，
则的最大值为，故D错误.
故选：ABC
11. 定义在上的函数满足：对于定义域上的任意，，当时，恒有,则称为“理想函数”则下列函数中是“理想函数”的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】CD
【分析】根据条件可得在上单调递增，结合选项以及常见函数的单调性即可求解.
【详解】由，设，可得，
，，所以函数在上单调递增，
对于A，，函数在为减函数，所以A不符合题意；
对于B，，函数在上单调递减，在上单调递增，所以B不符合题意
对于C，，由二次函数知，函数在上单调递增，所以C符合题意
对于D，，由幂函数的性质知，函数在上单调递增，所以D符合题意．
故选:CD．
12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A. 是奇函数B. 在上是减函数
C. 是偶函数D. 的值域是
【正确答案】AD
【分析】利用奇偶性的定义判断可选项A，C，由函数单调性的结论可判断选项B，由函数单调性求出的取值范围，结合定义可得的值域可判断选项D．
【详解】对于选项A：因为函数，，
可得，
所以函数为奇函数，故A正确；
对于选项B：因为、在R上是增函数，
所以在R上是增函数，故B错误；
对于选项C：因为，
则，，
即，所以函数不是偶函数，故C错误；
对于选项D：因为，则，
可得，所以的值域为，故D正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分
13. 函数的定义域为______.
【正确答案】
【分析】利用二次根式被开方数非负和分式分母不为零，列不等式组可求得答案
【详解】由题意得，解得且，
所以函数的定义域为，
故
14. 如果函数在区间上是增函数，则的取值范围为__________.
【正确答案】
【分析】先由函数解析式，确定二次函数对称轴，以及单调性，再由题意，即可得出结果.
【详解】因为的对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又函数在区间上是增函数，
因此.
故答案为
本题主要考查由二次函数的单调性求参数的问题，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.
15. 已知函数，若，则_________．
【正确答案】
【分析】根据得到，然后求即可.
【详解】因为，所以，则，
.
故答案为.
16. 已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，对于任意实数t，恒成立，求a的取值范围__________．
【正确答案】
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得，得，即，然后构造函数，令，由基本不等式可求出其最大值，从而可求出a的取值范围.
【详解】因为是定义在R上的偶函数，
所以由，得，
因为在上单调递增，所以恒成立，
所以，令，
当时，，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
所以，得或，
即a的取值范围为，
故答案为.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤
17. 计算：
（1）求值：
（2）已知：，求的值
【正确答案】（1）81 （2）10
【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求出；
（2）根据指数幂的运算性质和完全平方公式即可求出.
【小问1详解】
原式
.
【小问2详解】
因为，
所以，
，
所以.
18. （1）设集合，求实数a的值；
（2）设集合．如果，求实数m的取值范围．
【正确答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）根据得到，然后分、和三种情况讨论即可；
（2）根据得到，然后分和两种情况讨论即可.
【详解】（1）因为，所以，，
当时，，，，，不成立；
当时，，，，，成立；
不成立；
综上可得，.
（2）因为，所以，
当，，解得；
当，，解得，
综上可得，取值范围为.
19. 已知函数．
（1）设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增；
（2）当时，解关于x的不等式．
【正确答案】（1）证明见详解.
（2）当时，；当时，；当时，.
【分析】（1）利用函数单调性的定义、作差法进行证明.
（2）根据已知变形，把问题转化为含参的一元二次不等式，对参数进行分类讨论进行求解.
【小问1详解】
因，所以，
对于任意的，且，
，
由于，且，所以，
故，所以在区间上单调递增；
【小问2详解】
不等式可化简为，
因为，所以上式化简得，
令，解得或，
当时，即时，得；
当时，即时，得；
当时，即时，得；
综上，当时，；
当时，；
当时，.
20. 已知函数为奇函数．
（1）求实数m的值及函数的值域;
（2）若，求x的取值范围．
【正确答案】（1）1，
（2）
【分析】（1）由奇函数的性质得，注意检验，由指数函数的值域通过复合关系可以得解.
（2）由复合函数单调性可知在上单调递增，从而将不等式进行等价转换成相应的分式不等式即可得解.
【小问1详解】
由题意函数为奇函数，且注意到其定义域为关于原点对称，
所以，即，
解得，经检验符合题意，
所以，
又因为，
所以，
所以函数的值域为.
【小问2详解】
由（1）可知，
因为指数函数在上单调递增，
所以由复合函数单调性可知在上单调递增，
所以，
解得，
因此满足题意的x的取值范围为.
21. 某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣誉室的左右两面墙的长度均为米，乙工程队给出的整体报价为元，综合考虑两工程队报价的最小值，学校决定选择报价的最小值较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍.
（1）若，问学校该怎样选择；
（2）在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数的最大值.
【正确答案】（1）选择乙工程队进行建造.
（2）
【分析】（1）设甲工程队的总造价为元，得到，结合基本不等式求得，设乙工程队的总造价为元，得到，结合函数的单调性，求得，比较即可得到答案；
（2）根据题意，得到甲工程队的最低报价为，要使得乙工程队确保自己被选中，则满足，列出不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：设甲工程队总造价为元，
因为荣举室的左右两面墙的长度均为米，且长方体底面积为24平方米，
可得底面长方形的另一边长为米，
则甲工程队的总造价为：，
又由，当且仅当时，等号成立，
所以（元），
当时，设乙工程队的总造价为元，
则，
因为函数在上为单调递减函数，所以（元），
由，所以学校选择乙工程队进行建造.
【小问2详解】
解：若甲工程队主动降价5400元，则甲工程队的最低报价为（元），
若乙工程队确保自己被选中，则满足，
又由乙工程队的造价为，
由（1）知，当时，，
由，解得，因为，所以，
所以实数的最大值为.
22. 对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数，，试判断是否为“局部奇函数”，并说明理由；
（2）若为定义在R上的“局部奇函数”，求函数在的最小值．
【正确答案】（1）为“局部奇函数”，理由见解析
（2）答案见解析
【分析】（1）直接解方程，方程有解即得；
（2）由方程有解，设换元后转化为关于的二次方程在上有解，可结合二次函数的性质或二次方程根的分布知识可得，然后通过分类讨论求函数的最小值.
【小问1详解】
当时，方程，即有解，
解得，
所以为“局部奇函数”.
【小问2详解】
当时，可化为
，
令，则，
从而关于的方程在上有解即可保证为“局部奇函数”，
令，
①当时，在上有解，
由，即，解得；
②当时，在上有解等价于
此时无解.
则所求实数的取值范围是.
令，因为，所以，
则，
令，对称轴为，
当时，在单调递增，所以时，取得最小值，，即时；
当时，时，取得最小值，，
即时，.
综上，当时，；
当时，.