广东省广州市2025_2026学年高二数学上学期期中试题含解析

这是一份广东省广州市2025_2026学年高二数学上学期期中试题含解析，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 与向量 共线的向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用空间向量共线的性质判断即可.
【详解】因为不存在实数 使得
， ， ，
所以 ， ， 都不与 共线，
因为 ，
所以与向量 共线的向量是 ，
故选：D.
2. 已知直线 的斜率为 ，直线 经过 ， 两点，且直线 与 垂直，则实数 的值为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线 与 垂直，可得直线 的斜率为 ，再通过两点间的斜率公式列方程求出 m 即可.
【详解】由于直线 的斜率为 ，且直线 与 垂直，
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所以直线 的斜率为 ，
所以 ，解得 .
故选：D.
3. 在 四 面 体 中 ， 点 为 线 段 靠 近 的 四 等 分 点 ， 为 的 中 点 ， 若
，则 的值为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理结合已知条件求解即可.
【详解】因为四面体 中，点 为线段 靠近 的四等分点， 为 的中点，
所以
因为 ，所以 ，故 ．
故选：A
4. “ ”是“圆 （ ）与圆 有两条公切线”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
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【解析】
【分析】根据条件确定出两圆的位置关系，从而求解出 的取值范围，再根据 的取值范围之间的推出关系，
可判断出结果.
【详解】圆 ，圆心 ，半径为 ，
若 有两条公切线，则 相交，
所以 ，所以 ；
因为 可以推出 ，但 不能推出 ，
所以“ ”是“圆 （ ）与圆 有两条公切线”的必要不充
分条件，
故选：B.
5. 如图，在直三棱柱 中， ， ，点 是棱 的中点，则平面
与平面 夹角的正弦值为（ ）
A B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得
【详解】如图，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，令 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
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∵ ， ，则 ，
令 ，则 ，∴ ，
又平面 的法向量为 ，
故 ，
设平面 与平面 所成角为 ， ，则 ，
故平面 与平面 夹角的正弦值为 .
故选：C.
6. 已知 ， ， ，经过点 C 作直线 l，若直线 l 与线段 AB 没有公共点，则直线 l 的
倾斜角的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题知 ，或 ，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.
【详解】设直线 l 的斜率为 ，直线 l 的倾斜角为 ，则 ，
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因为直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
因为直线 l 经过点 ，且与线段 没有公共点，
所以 ，或 ，
即 或 ，
因为 ，所以 ，
故直线 l 的倾斜角的取值范围是 ．
故选：C．
7. 如图， 的二面角的棱上有 两点，直线 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于
，已知 ，则 的长为（ ）
A. B. 7
C. D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据式子 即可求出 的长为 .
【详解】因为 ，所以 ，
因为二面角为 ，所以 ，即 ，
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所以
，
所以 ，即 的长为 .
故选：C.
8. 已知椭圆 的焦点为 ， ，P 是椭圆 C 上的一点，且 ，若
的外接圆和内切圆的半径分别为 R，r，当 时，椭圆 C 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据余弦定理和三角形的面积公式可得 ，再由正弦定理可得 ，再根据
，可求椭圆的离心率.
【详解】设 ， ，则 ，即 ，①
在 中， ，
由余弦定理可得： ，
即 ，②
① ②得： ，
所以 ，
又 ，
又 ，
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因为 ，则 ，即 ，
所以 .
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出选项中，有多项符合题目
要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．
9. 一条光线从点 射出，射向点 ，经 x 轴反射后过点 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线 AB 的斜率是 B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项 A 应用斜率公式计算即可；选项 B，先求得点 关于 轴的对称点，进而求得反射光线所在
直线的斜率，应用两条直线垂直的斜率公式判断即可；选项 C，求得反射光线所在直线的方程，进而求得
点 的坐标；选项 D 应用两点间距离公式求解即可.
详解】对于 A，由于 、 ，由斜率公式得： ，选项 A 正确；
对于 B，点 关于 轴的对称点 的坐标为 ，经 x 轴反射后直线 的斜率为：
，且 ，所以 ，选项 B 正确；
对于 C，直线 即直线 的方程为： ，即 ，
将 代入得： ，所以点 ， ，选项 C 不正确；
对于 D，由两点间距离公式得： ，选项
D 正确；
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故选：ABD.
10. 已知双曲线 的离心率为 ， 分别是左、右焦点， 是该双曲线右支上
一点，点 满足 ，则下列结论正确的为（ ）
A. 双曲线的实轴长为 B.
C. 的面积为 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A：根据离心率和 可求出 ，则实轴长可知；B：根据向量关系判断出 的位置，结合双曲
线定义可求 ；C：根据双曲线定义以及勾股定理可求 ，则 的面积可求；D
：根据 可求结果.
【详解】因为 ，解得 ，所以实轴长为 ，故 A 正确；
因为 ，所以 为 的中点且 ，
又因为 为 的中点，所以 ，
所以 ，故 B 错误；
因为 ，可得 ，
所以 ，故 C 正确；
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因为 ，
所以 ，故 D 正确；
故选：ACD.
11. 如图所示，在棱长为 的正方体 中， 是棱 的中点， 是棱 上的动点（含
端点），下列说法中正确的有（ ）
A. 三棱锥 的体积为定值
B. 设 与 所成的角为 ，则 的最小值为
C. 若 是棱 的中点，则过点 的平面截正方体 所得截面的周长为
D. 若 是棱 的中点，则四面体 的外接球的表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A：根据 结合体积计算公式作出判断；B：利用向量法求解出 的最大值，
则结果可知；C：作出截面，根据几何关系计算出截面多边形的周长即可判断；D：设 的外接圆圆心
和四面体 的外接球的球心 ，根据位置关系结合勾股定理建立外接球的半径 与 长度
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的方程组，由此可求解出结果.
【详解】对于 A： ，由条件可知 为定值，
因 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 到平面 的距离也为定值，所以三棱锥 的体积为定值，故正确；
对于 B：建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，设 ，
所以 ，
所以 ，当 时取等号，
所以 的最大值为 ，所以 的最小值为 ，故错误；
对于 C：延长 交于 点，连接 交 于 点，连接 ，
由题意可知，过点 的平面截正方体 所得截面为四边形 ，
因为平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 为 中点且 ，即 为 中点，
因为 ， 为 中点，所以 为 中点，
由 为 中点以及 为 中点，可知 ，
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因为 ，所以
，
所以截面四边形 的周长为 ，故正确；
对于 D：如图所示，连接 ，取 的中点 ，连接 ，
设 的外接圆圆心为 ，四面体 的外接球的球心为 ，连接 ，
在 中，设其外接圆的半径为 ，由正弦定理可知 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 与 全等，所以 ，
因为 同对弦 ，所以 四点共圆，所以 ，
设外接球的半径为 ，过 作 交 于 ，
由正方体的性质可知， 平面 ，而 平面 ，所以 ，
又因为 平面 ，所以 ，
所以四边形 是矩形，所以 ，
在 中， ，即 ①，
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在 中， ，即 ②，
联立①②，解得 ，所以外接球的表面积为 ，故正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】把方程化为双曲线的标准方程，依据双曲线的渐近线方程的求法，可得答案.
【详解】因为 为双曲线，所以 ，
所以方程可化为： ，
这是双曲线的标准方程 ，其中 ， ，
依据双曲线的渐近线方程为 ，
可得： .
故答案为：
13. 过直线 上任一点P向圆 作两条切线，切点为A，B．则 的最小值为______
．
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【答案】
【解析】
【分析】圆 的圆心为 ，结合等面积法可知 ，由此可知只需求
的最小值即可，结合点到直线的距离公式即可得解.
【详解】设圆 的圆心为 ，半径为 1，
由切线长定理可得 ，
又因为 ， ，则 ，所以 ，
所以 ，则四边形 面积为 ，
所以 ，
当 的长最小时，弦长 最小，
而 的最小值为圆心 到直线 的距离，
所以 ，所以 ．
故答案为： .
14. 在棱长为 6 的正方体 中，点 是线段 的中点， 是正方形 （包括边界）
上运动，且满足 ，则 点的轨迹周长为________.
【答案】 ##
【解析】
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【分析】由题意易知 ，由此可得 ，在平面 上，建立平面直角坐
标系，可知 点的轨迹为圆 与四边形 的交点，由弧长公式可求解.
【详解】如图，在棱长为 6 的正方体 中，
则 平面 ， 平面 ，
又 ， 在平面 上， ， ，
又 ， ，
，即 ，
如图，在平面 中，以 为原点， 分别为 轴建立平面直角坐标系，
则 ， ， ，
由 ，知 ，
化简整理得 ， ，圆心 ，半径 的圆，
所以 点的轨迹为圆 与四边形 的交点，即为图中的
其中， ， ，则
由弧长公式知
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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15. 已知在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 且 .
（1）求角 、 、 的大小；
（2）设函数 ，求函数的单调递减区间，并指出它相邻两对称轴的距离．
【答案】（1） ，
（2）单调递减区间为 ，相邻两对称轴间的距离为
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和三角函数恒等变换求得 ，再结合 即可求得角
、 、 的大小；
（2）代入角 、 、 的值，并结合一般三角函数的单调性结论及对称轴结论即可求解．
【小问 1 详解】
由题设及正弦定理知 ，化简得 ，
或 ，即 或 ，
当 时，有 ，因为 不为 0，
则 ，得 ， ；
当 时，有 ，不符题设，
， ．
【小问 2 详解】
由（1）及题设知 ，
当 时， 为减函数，
即 的单调递减区间为 ，
它的相邻两对称轴间的距离为 ．
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16. 已知椭圆 的长轴长为 ，离心率为 ，直线 与 轴交于点 ，
与 相交于 、 两点．
（1）求 的标准方程；
（2）若 的斜率为 ，且 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求出 、 、 的值，即可得出椭圆 的标准方程；
（2）设点 、 ，将直线 的方程与椭圆方程联立，由 求出 的取值范围，列出韦
达定理，由题意得出 ，结合平面向量数量积的坐标运算与韦达定理可求出 的值.
【小问 1 详解】
由题意可得 ，解得 ，故椭圆 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
设点 、 ，由题意可知直线 的方程为 ，
联立 可得 ，
，解得 ，
由韦达定理可得 ， ，
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因为 ，所以
，解得 ，合乎题意.
综上所述，
17. 为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分 分）选取 名学生参加考核，考核成绩的频率分布
直方图如图所示：
（1）为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课.现采用分层抽样的方法（样本量按
比例分配），从得分在 内的学生中抽取 人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于
的概率；
（2）现有体育成绩在 分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，
第一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有 、 、 、 共四个等级，若两科笔试
成绩均为 ，则直接参加国庆营；若一科成绩为 ，另一科成绩不低于 ，则要参加第二轮面试，面试通
过参加国庆营，否则不能参加.若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得 、 、 、 四个等级的概
率分别是 、 、 、 ；乙在每科笔试中取得 、 、 、 四个等级的概率分别是 、 、 、 ，
甲、乙面试通过的概率都为 ，求甲、乙能同时参加国庆营的概率．
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【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由频率之和为 求出 的值，然后应用分层抽样得出人数，再应用古典概型直接求解或应用间
接法结合对立事件概率公式计算求解；
（2）应用互斥事件概率及独立事件概率乘积公式计算求解.
【小问 1 详解】
由题意得， ，解得 .
从得分在 内的学生中抽取 人，
人中成绩不低于 分的人数为 人，记为 、 、 ，
成绩低于 分的人数为 ，记为 、 ，
从 人中抽取两人进行测试，
样本空间为 ，
则 ，
记“至少有一人得分不低于 分”为事件 ，
则 ，
即 ，
因此 .
【小问 2 详解】
记甲能参加国庆营的概率为 ，乙能参加国庆营的概率为 ，
由题意可得 ， ，
由于考试互不影响，所以甲、乙能否参加国庆营相互独立，
则甲、乙能同时参加国庆营的概率为 .
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18. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，
， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）设 .
①若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长.
②在线段 上是否存在点 ，使得点 ， ， 在以 为球心的球上？若存在，求线段 的长；若不
存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）① 或 ；②不存在点 ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质可证得 平面 ，再利用面面垂直的判定定理即可证得结论；
（2）①依题意建立适当空间直角坐标系，设 ，利用题设条件，分别求得相关点和向量的坐标，利
用空间向量坐标的夹角公式列出方程，求解即得 的值；
②假设存在点 ，可由 推得 ，得点 坐标，由 得方程 ，因此
方程无实数解，假设不成立.
【小问 1 详解】
在四棱锥 中，平面 平面 ， ，
平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
【小问 2 详解】
如图以 为原点，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，
建立如图所示直角空间坐标系 ，
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设 ，则 ，由 ， ， ， ，
则 ， ，因 ，则 ， ，
所以 ， ，
①设平面 的法向量为 ，由 ， ，
得： ，可取 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则有： ， ，
即： ，化简得： ，
解得 或 ，即 或 ，
②如图，假设在线段 上存在点 ，使得点 ， ， 在以 为球心的球上，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
又 得 ， ，所以 ， ，
由 得 ，即 ，
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亦即 （*），
因为 ，所以方程（*）无实数解，
所以线段 上不存在点 ，使得点 ， ， 在以 为球心的球上.
【点睛】方法点睛：根据题意，创建合适的空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标表达式即可求解相
关问题，对于开放性问题，一般是假设结论成立，通过推理计算求得结论成立的条件或者推导出矛盾.
19. 已知圆 点 .
（1）过 作圆 的切线，求切线的方程；
（2）过圆 O 上一点 作两条相异直线分别与圆 相交于 ， 两点，且直线 和直线 的倾
斜角互补.求证：直线 的斜率为定值.
（3）已知 ，设 为满足方程 的任意一点，过点 向圆 引切线，切点为 ，试
探究：平面内是否存在一定点 ，使得 为定值?若存在，请求出定点 的坐标，并指出相应的定值；
若不存在，请说明理由.
【答案】（1） 和
（2）证明见解析 （3）当 ，定值为 ；当 ，定值为
【解析】
【分析】（1）根据斜率是否存在进行分类讨论，用待定系数法求得切线方程；
（2）根据题目条件列出方程，利用韦达定理对直线 的斜率进行化简，求得定值为 ；
（3）先根据条件求得动点 的方程，在假设定值存在，列出等式并用 的方程化简，最后由多项式相等求
得 的坐标.
【小问 1 详解】
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根据圆的方程可知，圆 的圆心坐标为 ，半径为 .
点 距离圆心 的距离 ，故点 在圆外，过点 的切线有两条.
当过点 的直线不存在斜率时，切线方程为 ，
圆心 距此直线的距离为 ，与半径相等.故此直线与圆相切.
当过点 的直线存在时，设直线方程为 ，即 ，
圆心 距离此直线的距离应为 ，故 ，解得 .
故直线方程为 ，即 .
所以过点 且与圆 相切的直线方程为： 和 .
【小问 2 详解】
假设过点 的一条直线倾斜角为 ，
由题目条件得另一条直线的倾斜角也为 ，但过直线外一点做该直线的垂线只有一条，与两条直线相异矛
盾，
故过 的直线不可能垂直于 轴.
由于两直线的倾斜角互补，因为 ，故两直线的斜率互为相反数.
设直线 与圆相交于 ， 两点，
直线 与圆相交于 ， 两点.
点 在 上，则 ，
化简得 ，
由韦达定理得 .
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点 在 上，则 ，
化简得 ，
由韦达定理得 .
则直线 的斜率为 .
易得 ， .故 .
故直线 斜率为定值 .
【小问 3 详解】
设 ，因 ，所以 ，化简得，
.
所以点 的轨迹是一个圆，圆心为点 ，半径为 .
因 ，所以圆 内含于圆 .故点 一定在圆 外，过任意的点 都能作两条圆 的切
线.
因不存在此两条切线同时垂直于 轴（否则两切线平行，与两切线都过点 矛盾），故不妨设过 的切线方
程为 ，切点为 .
则 .
由圆 的方程得 .
设 .则 .
设 .即 .
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把 代入化简得， .
继续代入得， .
要使上式对任意的 ， 均成立，则 .
解得 或 .
当 的坐标为 时， ；当 的坐标为 时， .
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