广东省广州市2025_2026学年高一数学上学期11月期中测试试题含解析

这是一份广东省广州市2025_2026学年高一数学上学期11月期中测试试题含解析，共16页。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的．
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求得 ，结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】由集合 ，
又因为 ，可得 .
故选：B.
2. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】由充分条件、必要条件定义可判断选项正误.
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【详解】若 ，则 ，充分性得证；
若 ，则 ，但 不成立，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知 ，则下列式子一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过特殊值排除 ABD 选项，利用不等式的性质证明 C 选项.
【详解】对于 A，当 时，不等式不成立，所以 A 错误．
对于 B，当 时，满足 ，但 ，所以 B 错误．
对于 C，因为 ，所以 ，则 ，所以 C 正确．
对于 D，当 时， ，不符合 ，所以 D 错误．
故选：C.
4. 已知函数 ，则其图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数解析式结合奇函数定义证明 奇函数，再说明当 时， ，由此确定结
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论.
【详解】因为函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
所以 是奇函数，所以函数 的图象关于原点对称，
当 时， ，
选项 ACD 都不能同时满足以上要求，选项 B 满足以上要求，
故函数 的图象大致是选项 B 中的图象，
故选：B.
5. 幂函数 在区间 上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义以及单调性可得出关于实数 的等式与不等式，即可解得实数 的值.
【详解】因为幂函数 在 上单调递增，
则 ，解得 或 .
故选：B.
6. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表格所示：若某
户居民本月交纳的水费为 90 元，则此户居民本月用水量是（ ）
每户每月用水量 水价
不超过 12 的部分 3 元
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超过 12 但不超过 18 的部分 6 元
超过 18 的部分 9 元
A. 24 m3 B. 22m3 C. 20m3 D. 15 m3
【答案】C
【解析】
【分析】分段计算不同用水量的水费即可得到问题答案.
【详解】由题意：当用水量不超过 12 时，水费小于或等于 元；
当用水量超过 12 但不超过 18 时，水费不超过： 元；
交纳水费为 90 元时，用水量为： .
故选：C
7. 已知函数 ， 对于 ，都有 成
立，求 a 的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件判断出 在 上单调递减，再根据 的解析式列出不等式组 ，
求解即可.
【详解】因为对于 ，都有 成立，所以 在 上单调递减，
又因为 ，所以 ，解得 ，
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即 a 的取值范围为 .
故选：B.
8. 若定义在 的奇函数 在 单调递减，且 ，则满足 的 的取值
范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，做出草图，再分 ， ， 三种情况讨论求解即可.
【详解】根据题意，画出函数示意图：
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
当 时，显然成立，
综上 .
故选：D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列命题正确的是（ ）
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A. 命题“ ， ”的否定是“ ， ”
B. 与 是同一个函数
C. 函数 ， 的值域是
D. 若函数 的定义域为 ，则 的定义域为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用全称量词的否定可判断 A，根据函数三要素可判断 B，通过配方可求二次函数的最值，利用
可求 的定义域.
【详解】对于 A，命题“ ， ”的否定是“ ， ”，故 A 正确；
对于 B，函数 定义域为 ，函数 的定义域为 ，
两个函数 定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故 B 错误；
对于 C， ，
则 ，所以函数的值域为 ，故 C 错误；
对于 D，若函数 的定义域为 ，则 ，∴ ，可得函数 的定义域为
，故 D 正确.
故选：AD
10. 已知 ， 且 ，则下列选项中正确的是（ ）
A. 的最大值是 1 B. 的最小值是 4
C. 的最小值是 2 D. 的最小值为 4
【答案】AC
【解析】
【分析】A 利用基本不等式即可；B 利用 1 的妙用；C 利用公式 ；D 利用
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判断.
【详解】因 ， ，则 ，即 ，等号成立时 ，A 正确；
，等号成立时 ，
则 ，B 错误；
因 ，等号成立时 ，则 ，C 正确；
因 ，则 ，等号成立时 ，D 错误.
故选：AC
11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为
世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数 x，符号 表示不超过 x 的最大整数，则
称为高斯函数，例如 ， ，定义函数 ，则下列说法正确的是（
）
A. 函数 的最大值为 1 B. 函数 的最小值为 1
C. 函数 在 上递增 D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据高斯函数定义分析函数 ，判断各选项.
【详解】对于 A、B：根据定义， 表示不超过 的最大整数，
所以当 是整数时， ， ，
当 不是整数时，设 ，其中 ， ，
所以 ，所以 ，故 A 错误，B 错误；
对于 C：当 时， ， 是增函数，C 正确；
对于 D：因为 ，
所以 ，D 正确；
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故选：CD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若 ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用换元法，令 ，代入方程，化简整理，即可得答案.
【详解】设 ， ，则 ，
所以 ， ，
令 x=t，所以 ，
故答案为：
13. 二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则关于 x 的不等式 ax2+bx+c>0 的解集是_____.
【答案】{x|x3}
【解析】
【分析】根据表格中的数据，结合二次函数的图象和性质，画出二次函数的图象，考查 轴上方的部分所对
应的点的横坐标的取值范围，即为所求不等式的解集.
【详解】根据表格可以画出一元二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)的草图如图.
由图象得关于 x 的不等式 ax2+bx+c>0 的解集是{x|x3}.
【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次函数的图象的关系，属基础题.
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14. 已知函数 ， ，令 （即 和 中的较小者），
则函数 的值域为____________.
【答案】
【解析】
【分析】化简函数 的解析式，由此可作出该函数的图象，数形结合可得出函数 的值域.
【详解】由 ，即 ，即 ，解得 或 ，
由 ，即 ，即 ，解得 ，
所以 ，
在同一个坐标系中画出函数 、 的图象如图①.
由图①中函数取值的情况，结合函数 的定义，得函数 的图象如图②.
由图可知，函数 的值域为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ， .
（1）当 时，求 ， ； ； ；
（2）若“ ”是“ ”成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【 答 案 】（ 1） ， ， 或 ，
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.
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据集合的交并补运算求解即可；
（2）根据题意得 真包含于 ，进而分 与 两种情况讨论求解即可.
【小问 1 详解】
解：当 时， ， ，
所以 ， ，
或 ， 或 .
【小问 2 详解】
解：因为“ ”是“ ”成立 充分不必要条件，
所以
当 时， ,即 ，此不等式无解，故不成立；
当 时， ，解不等式得 ，
当 时，此时有 ，不满足 真包含于 ，舍去
综上，实数 的取值范围
16. 我国某企业计划在 2025 年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定
成本 250 万元，且年产量 （单位：千部）与另投入成本 （单位：万元）的关系式为
，由市场调研知，每部手机售价为 0.7 万元，且全年内生产的手机
当年能全部销售完.
（1）求 2025 年的利润 （单位：万元）关于年产量 （单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成
本）；
（2）当 2025 年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
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【答案】（1） ；
（2）当 2025 年年产量为 100 千部时，企业所获利润最大，最大利润是 8250 万元.
【解析】
【分析】（1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数；
（2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可.
【小问 1 详解】
当 时， ，
当 时， ，
所以 .
【小问 2 详解】
当 时， ，
当 时， 万元，
当 时， ，当且仅当 ，即
时等号成立， 万元.
即当 2025 年年产量为 100 千部时，企业所获利润最大，最大利润是 8250 万元.
17. 已知函数
（1）若 的解集为 ，求实数 的值；
（2）当 时，若关于 的不等式 恒成立，求实数 a 取值范围．
（3） ，解关于 的不等式 ．
【答案】（1）4，1 （2）
（3）答案见解析
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【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集得一元二次方程的根，从而利用韦达定理列方程组求得实数 的
值；
（2）由含参不等式恒成立，分离参数结合基本不等式得最值即可得实数 a 取值范围；
（3）根据含参一元二次不等式分类讨论得解集.
【小问 1 详解】
因为 的解集为 ，
所以 是方程 的两根，
所以 ，解得 ；
【小问 2 详解】
因为 ，则 ，
所以 ，
又 ，当且仅当 即 时等号成立，
则 ，
所以 的取值范围为 ；
【小问 3 详解】
由 得
当 时， ，
当 时， ，
当 时， 或 ，
当 时， ，
当 时，无解，
当 时， ，
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综上：当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式无解；
当 时，原不等式的解集为 ．
18. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）判断并证明 在 上的单调性；
（3）解不等式 ．
【答案】（1） ，
（2）定义域 内单调递减，证明见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质及 列方程求 ， ，进而求出解析式；（2）利用单调性定义判断
函数的单调性；（3）在定义域的区间内，利用奇函数的性质将不等式进行变形，再利用函数的单调性求解.
【小问 1 详解】
因函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，故 ，即 .
又因为 ，所以 ，即 .
故函数 的解析式为 ，
小问 2 详解】
对 ，且 ， .
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其中， ， .
因此， ，即对 且 ，有 .
所以函数 在定义域内单调递减.
【小问 3 详解】
因 ， 有意义，所以 ， ，解得 .
所以 ，即 也在 的定义域内.
而 是定义域 上的奇函数，所以 .
故不等式即为 .
又因 在定义域内单调递减，所以 ，解得 .
综上， .
所以不等式的解集为 .
19. 已知定义在 上的函数 满足：对 ，都有 ，且当
时， ．
（1）判断函数 的奇偶性并用定义证明；
（2）判断函数 在 上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）解不等式： ．
【答案】（1）函数 是奇函数，证明见解析
（2）函数 在 上单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
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【分析】（1）利用函数 的奇偶性定义求解；
（2）利用函数 的单调性定义证明；
（3）利用函 的奇偶性和单调性求解即可.
【小问 1 详解】
函数 是奇函数，
证明：令 ，则 ，解得 ，
令 ，则 ，令 ，则 ．
为定义在 上的奇函数．
【小问 2 详解】
函数 在 上单调递减，
证明： ，设 ，则 ，
，
， ， ．
又 ， ，
又当 时， ，由（1）知 为定义在 上的奇函数．
则当 时， ， ，
，即 ，即 ，
在 上单调递减；
【小问 3 详解】
因为 ，
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由（1）知 为定义在 上的奇函数，
则 ，
的定义域为 且在 上是单调递减的，
解得 ，
不等式的解集为 ．
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