湖南省衡阳市常宁市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖南省衡阳市常宁市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考生注意：本试卷共6页，三道大题，24小题，满分120分，考试时间120分钟．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，计30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞2B. x≥2C. x＜2D. x=2
3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
4. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ）
A. B. C. D.
5. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A. 20B. 24C. 28D. 30
6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则csA的值为（ ）．
A. B. C. D.
7. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D.
8. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A. (3，3)B. (4，3)C. (3，1)D. (4，1)
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（ ）
A B. C. D. 3
10. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC，其中正确的结论是

A ①②③④B. ②③C. ①②④D. ①③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”）
12. 一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡的坡度为，坝高，则坡面的长度是______m．
13. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m．
14. 如图，在中，分别为的中点，若，则______．
15. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____．
16 如图，已知两点，，且，则=________．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 解方程：．
19. 如图，在中，点D是上一点，且，，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
20. 为丰富校园文化生活，某校举办了中学生“棋类大比拼”活动，棋类项目有四项：A．象棋；B．跳棋；C．飞行棋：D．五子棋．比赛形式分为“单人组”和“双人组”．
（1）小华参加“单人组”比赛，从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“飞行棋”概率是 ．
（2）小明和小红组合参加“双人组”比赛，其比赛规则是：同一组合的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．求恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．
21. 为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上．
（1）求处到灯塔的距离；
（2）已知灯塔的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：，，）
22. 为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价(单位∶万元)成一次函数关系．
(1)求年销售量与销售单价函数关系式；
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？
23. 已知关于x的一元二次方程满足．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若一元二次方程的两实根为、，且，请求出的值．
24. 如图，四边形的对角线与交于点，已知．

（1）若，求的值；
（2）若，，，．
①设的面积为，的面积为，求的值；
②求的值．
2025年下学期期末质量监测试卷
九年级数学
考生注意：本试卷共6页，三道大题，24小题，满分120分，考试时间120分钟．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，计30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞2B. x≥2C. x＜2D. x=2
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴2x﹣4≥0，解得：x≥2，则实数x的取值范围是：x≥2．
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．
3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：A、是一元二次方程，故选项符合题意；
B、不是一元二次方程，故选项不符合题意；
C、不是一元二次方程，故选项不符合题意；
D、不是一元二次方程，故选项不符合题意；
故选：A．
4. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用配方法求解一元二次方程．掌握求解步骤是解题关键．
【详解】解：，
，
∴，
故选：B
5. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A. 20B. 24C. 28D. 30
【答案】D
【解析】
【分析】直接由概率公式求解即可.
【详解】根据题意得=30%，解得：n=30，
经检验：n=30符合题意，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：D．
【点睛】本题考查由频率估计概率、简单的概率计算，熟知求概率公式是解答的关键.
6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则csA的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦的定义即可求解.
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，
∴csA=
故选A.
【点睛】此题主要考查余弦的定义，解题的关键是熟知三角函数的定义.
7. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．
【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴.
∵AB=5，BC=6，EF=4，
∴.
∴DE=.
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
8. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A. (3，3)B. (4，3)C. (3，1)D. (4，1)
【答案】A
【解析】
【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
【详解】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（3，3）．
故选A．
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∵AC=3，AB=6，∴AD=．故选A．
考点：相似三角形的判定与性质．
10. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC，其中正确的结论是

A. ①②③④B. ②③C. ①②④D. ①③④
【答案】C
【解析】
【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
【详解】∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴BE=2AE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2=PH∙PC，故④正确；
故选C．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”）
【答案】随机
【解析】
【分析】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义．
必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断诗句描述的事件类型，依据随机事件的定义分析．
【详解】“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件．
故答案为：随机．
12. 一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡的坡度为，坝高，则坡面的长度是______m．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形应用，正确利用坡比的定义求出的长是解题关键．
利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长．
【详解】解：∵迎水坡的坡度为，
∴，
∴，
∴在中，．
故答案为：12．
13. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m．
【答案】5.5
【解析】
【详解】△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴，
40cm=0.4m，20cm=0.2m，
即，
解得BC=4，
∵AC=1.5m，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m
故答案为：5.5m
点睛】考点：相似三角形
14. 如图，在中，分别为的中点，若，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理得到，则，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到的长．此题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键．
【详解】解：∵分别为的中点，
∴，
∴，
∵在中，为的中点，
∴，
故答案为：3
15. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____．
【答案】x（x﹣12）＝864．
【解析】
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16. 如图，已知两点，，且，则=________．
【答案】2
【解析】
【分析】首先根据三角形内角和可得，再根据正切定义计算出.此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正切定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切.
【详解】∵，根据等角的余角相等，可得:
∴，
∵，，
∴ =tan==2
故答案为2.
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的乘法法则计算即可；
（2）先根据二次根式的性质化简，计算二次根式的除法和括号，再计算加减即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
运用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
因式分解，得，
所以或，
解得，．
19. 如图，在中，点D是上一点，且，，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
（1）证明，结合夹角相等即可证明；
（2）由（1）中的相似得到对应线段成比例代入求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴，即，
∴．
20. 为丰富校园文化生活，某校举办了中学生“棋类大比拼”活动，棋类项目有四项：A．象棋；B．跳棋；C．飞行棋：D．五子棋．比赛形式分为“单人组”和“双人组”．
（1）小华参加“单人组”比赛，从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“飞行棋”的概率是 ．
（2）小明和小红组合参加“双人组”比赛，其比赛规则是：同一组合的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．求恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．
【答案】（1）
（2），见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的结果数，再利用概率公式可得出答案．本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【小问1详解】
由题意可知，从中恰好抽中“飞行棋”的概率是．
故答案为：．
【小问2详解】
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的结果有：共6种，
∴恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的概率为．
21. 为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上．
（1）求处到灯塔的距离；
（2）已知灯塔的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：，，）
【答案】（1）60海里；（2）安全
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可得∠PAB=∠APB，从而有BP=AB，问题即解决；
（2）过点作于点，计算出PD的长度，若PD>50海里，是安全的，否则不安全．
【详解】（1）由题意得：，，（海里）
（海里）
答：处到灯塔的距离为60海里．
（2）海监船继续向正东方向航行是安全的．
理由如下：
如图所示，过点作于点
在中，
海监船继续向东方向航行是安全的．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、锐角三角函数等知识，确定海监船继续向正东方向航行是否安全，关键是计算出灯塔P到海监船所航行的正东方向的距离．
22. 为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价(单位∶万元)成一次函数关系．
(1)求年销售量与销售单价的函数关系式；
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？
【答案】（1）；（2）该公可若想获得10000万元的年利润，此设备的销售单价应是50万元．
【解析】
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论．
【详解】（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：，
解得：，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000．
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，
根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，
整理，得：x2﹣130x+4000=0，
解得：x1=50，x2=80．
∵此设备的销售单价不得高于70万元，
∴x=50．
答：该设备的销售单价应是50万元/台．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23. 已知关于x的一元二次方程满足．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若一元二次方程的两实根为、，且，请求出的值．
【答案】（1）见解析 （2）1或
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识．
（1）证明即可得出方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系可得，，根据，可得，结合可得，解出的值即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴方程总有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：∵方程的两实根为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
∴或．
24. 如图，四边形的对角线与交于点，已知．

（1）若，求的值；
（2）若，，，．
①设的面积为，的面积为，求的值；
②求的值．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）证明，即可得到答案；
（2）①证明，进一步得到，则，设，则，由勾股定理可得，即，解得，即. 在中，由勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到答案；
②过点作于点，求出，由相似三角形的性质得到，则， 由解直角三角形得到，，则，根据正切的定义即可得到答案．
此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【小问1详解】
如图.

∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
①如图，
由(1)得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
设，则，
∵，
∴，
即：，
解得，即，
在中，，
∵，
∴；
②如图，过点作于点，

由①知：，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
和中，
∵，，
∴，，
∴，
，
∴，
∴．