湖南省常德市澧县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（试卷+解析）

这是一份湖南省常德市澧县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（试卷+解析），共27页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟；满分：120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 图象经过点的反比例函数是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知的半径为3，，则点P与的位置关系是（ ）
A. 圆外B. 圆上C. 圆内D. 无法确定
3. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是( )
A. 3B. -3C. 2D. -2
6. 在Rt中，，，，对边分别为，，，那么下列等式中错误的是（ ）
A. B. C. D.
7. 某校举行健美操比赛，甲、乙、丙三个班各选10名学生参加比赛．若参赛学生的平均身高都是1.65米，方差分别是，，，则参赛学生身高比较整齐的班级是（ ）
A. 甲班B. 乙班C. 丙班D. 同样整齐
8. 关于多项式说法正确的是（ ）
A. 有最大值13B. 有最小值﹣3C. 有最大值37D. 有最小值1
9. 如图1是某班级的三角形花架，图2是其侧面示意图，已知，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴，与轴交于点，且，，．则下列判断中正确的是( )
A. 此抛物线的解析式为
B. 当时，随着的增大而增大
C. 此抛物线与直线只有一个交点
D. 在此抛物线上的某点，使的面积等于，这样的点共有三个
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 反比例函数的图象在第______象限．
12. 已知，则锐角______
13. 如图，A，B，C是上的三个点，若，则的大小是________．
14. 由于某品种葡萄的市场需求量不断增加，某葡萄种植基地连年扩大该品种葡萄的种植量，2022年的产量为20万斤，2024年的产量为万斤，若设每年的平均增长率为x，则可以列方程为_____．
15. 已知点，在抛物线（为常数）上，则______．（（用“ > ”、“ < ”或“ = ”填空））
16. 如图，在菱形中，，点E是边的中点，点F是边上一点，连接．若，则的长为______．

三、解答题（共8小题，满分72分）
17. （1）解方程：；
（2）计算：．
18. 如图，直线与双曲线相交于、两点，与轴相交于点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出当时，关于的不等式的解集．
19. 劳动是一切幸福的源泉．为了初步了解学生的劳动教育情况，某校对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间分为如下四组（A：；B：；C：；D：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为________人，扇形统计图中的值为________；
（2）补全条形统计图；（要求在条形图上方表明人数）
（3）请计算扇形统计图中“C”组所在扇形圆心角的度数；
（4）已知该校九年级有1000名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？
20. 如图1所示，在户外活动时，为了遮阳和防雨常常会用到天幕帐篷，其截面示意图是轴对称图形（如图2所示），对称轴是垂直于地面的支撑杆，已知幕布，支撑杆，于点．、为防风绳，通过调节防风绳在地面的固定点与支撑杆的距离可控制天幕的开合（、、三点共线，、、三点共线）．
（1）当时，求的长（结果保留根号）；
（2）当由调节至时，左侧防风绳在地面的固定点需向右平移多少米？（结果保留根号）
21. 某邻里中心新建一个三层停车楼，其中一层布局如图所示，已知每层长为50米，宽20米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位面积为616平方米．

（1）求通道宽是多少米？
（2）据调查分析，停车场多余60个车位可以对外出租，每个车位月租金为200元时；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位；现在要求既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14560元，应该月租金定价多少？
22. 如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，若点为运行轨道的最低点（即是弧的中点）．
（1）如图2，若被水面截得的弦长为8米，点到弦所在直线的距离为2米．求半径．
（2）如图3，在（1）的条件下，在水面的变化过程中，若连接并延长分别交于点，交于点，连接，延长交于点，恰好于点，求此时被水面截得的弦的长．（精确到）
23. （1）问题发现
如图1，在正方形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：．
（2）类比探究
如图2，在矩形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：．
（3）拓展延伸
如图3，在中，，，，点和分别在和上，与交于点且，，求的值．
24. 已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），C（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，点P是二次函数图象的对称轴上的一个动点，二次函数的图象与y轴交于点B，当PB+PC最小时，求点P的坐标；
（3）在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标．
2025年下学期期末考试试卷
数学九年级
考试时间：120分钟；满分：120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 图象经过点的反比例函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设反比例函数解析式，然后把点代入后计算出k的值即可．
【详解】解：设反比例函数解析式，
把代入得，
反比例函数解析式为：
故选：B
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析（k为常数，k≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；然后解方程，求出待定系数；最后写出解
2. 已知的半径为3，，则点P与的位置关系是（ ）
A. 圆外B. 圆上C. 圆内D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据半径大于的长，则点P在圆内，即可作答．
【详解】解：∵的半径是3，的长为2，且，
∴点P在圆内．
故选：C．
3. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程求解即可．
【详解】解：A．不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程；
B．符合一元二次方程定义，是一元二次方程；
C．中未知数x的最高次数是3，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程；
D．中含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程；
故选：B．
4. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的基本性质，分式化简求值，熟练掌握比例的基本性质，是解题的关键．将所求分式拆分为已知比例与1的差，直接代入计算即可．
【详解】解：方法一：
∵
又∵
∴ 原式
方法二：
∵
∴ 设，（）
则
故选：B．
5. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是( )
A. 3B. -3C. 2D. -2
【答案】B
【解析】
【详解】分析：由韦达定理即可求解.
详解：由题意可得：.
点睛：考查了韦达定理.
6. 在Rt中，，，，的对边分别为，，，那么下列等式中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，需根据锐角三角函数的定义对每个选项的等式进行推导验证，判断正误即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：在中，，、、的对边分别为、、，
∵，
∴，故正确，不符合题意．
∵，
∴，而选项中，与推导结果不符，故错误，符合题意；
∵，
∴，故正确，不符合题意；
∵，
∴，故正确，不符合题意；
故选：．
7. 某校举行健美操比赛，甲、乙、丙三个班各选10名学生参加比赛．若参赛学生的平均身高都是1.65米，方差分别是，，，则参赛学生身高比较整齐的班级是（ ）
A. 甲班B. 乙班C. 丙班D. 同样整齐
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴参赛学生身高比较整齐的班级是甲班．
故选：A．
8. 关于多项式的说法正确的是（ ）
A. 有最大值13B. 有最小值﹣3C. 有最大值37D. 有最小值1
【答案】A
【解析】
【分析】利用配方法将已知多项式转化为的形式，然后利用非负数的性质进行解答即可．
【详解】，
∵，
∴，即多项式的最大值为13，没有最小值．
故选A．
本题考查了非负数的性质和配方法的应用．解决本题的关键是要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
9. 如图1是某班级的三角形花架，图2是其侧面示意图，已知，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握定理，根据定理列出比例式；
根据，列出，求出的长即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴，与轴交于点，且，，．则下列判断中正确的是( )
A. 此抛物线的解析式为
B. 当时，随着的增大而增大
C. 此抛物线与直线只有一个交点
D. 在此抛物线上的某点，使的面积等于，这样的点共有三个
【答案】C
【解析】
【分析】利用CO=2AO，而CO=BO，AB=3，可得出AO=1，BO=OC=2，即可求出二次函数的解析式，由二次函数的对称轴，可得出当x＞0时，y随着x的增大而先减小再增大，由二次函数的最小值为-，可得此抛物线与直线y=-只有一个交点，由△MAB的面积等于4，得出M到x轴的距离为，这样的点共有2个．即可选出答案.
【详解】解：∵CO=2AO，而CO=BO，AB=3，
∴AO=1，BO=OC=2，即A（-1，0），B（2，0），C（0，-2），
∴二次函数的解析式为y=x2-x-2，故A错误．
∵二次函数的对称轴为x=，
∴当x＞0时，y随着x的增大而先减小再增大，故B错误．
∵此二次函数的最小值为-，
∴此抛物线与直线y=-只有一个交点，C正确．
∵要使△MAB的面积等于4，须使M到x轴的距离为，这样的点共有2个，故B错误．
故选C.
本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解.
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 反比例函数的图象在第______象限．
【答案】一、三
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可知，然后问题可求解．
【详解】解：由反比例函数可知：，所以该函数图象第一、三象限；
故答案为一、三．
12. 已知，则锐角______
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了根据三角函数值求角的度数．根据特殊角的三角函数值，，且为锐角，因此．
【详解】解：∵，且是锐角，
∴．
故答案为：．
13. 如图，A，B，C是上的三个点，若，则的大小是________．
【答案】##55度
【解析】
【分析】本题主要考查圆的基本性质及圆周角定理，熟练掌握圆的基本性质及圆周角定理是解题的关键；由题意易得，，然后根据等腰三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为．
14. 由于某品种葡萄的市场需求量不断增加，某葡萄种植基地连年扩大该品种葡萄的种植量，2022年的产量为20万斤，2024年的产量为万斤，若设每年的平均增长率为x，则可以列方程为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据已知可知2023年的产量为万斤，在2023年的基础上，可得2024年的产量为万斤，根据2024这年的产量为万斤可列方程．
【详解】解：根据题意可得，．
故答案为：．
15. 已知点，在抛物线（为常数）上，则______．（（用“ > ”、“ < ”或“ = ”填空））
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键．
通过计算两点到抛物线顶点的水平距离，结合抛物线开口方向，判断函数值大小即可．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标为 ，二次项系数为负，开口向下，
点 到顶点的水平距离为 ，点 到顶点的水平距离为 ，
由于抛物线开口向下，距离顶点越近，函数值越大，
因此 ，即 ，
故答案为：．
16. 如图，在菱形中，，点E是边的中点，点F是边上一点，连接．若，则的长为______．

【答案】6
【解析】
【分析】延长交的延长线于点，结合菱形的性质，证明出，再根据条件中线段与线段之间的关系求出，，由，得出，，继而求得，从而得到，再证明出即可求解．
【详解】解：延长交的延长线于点，

四边形是菱形，
，，
，
，
是的中点，
，
在与中，
，
，
，，
∵，
，，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
故答案：6．
本题考查了菱形的性质、三角形相似的判定及性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是添加合适的辅助线，构建相似三角形进行求解．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17. （1）解方程：；
（2）计算：．
【答案】(1) ； (2)
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算．
（1）先化为一般形式，再根据配方法解一元二次方程，即可求解；
（2）代入特殊角的三角函数值，再进行计算即可求解．
【详解】解：（1），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
（2）
．
18. 如图，直线与双曲线相交于、两点，与轴相交于点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出当时，关于的不等式的解集．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键，
（1）利用待定系数法即可求出反比例和一次函数的解析式；
（2）当时，可以理解为一次函数的图象在反比例函数图象下方的部分，根据图象可直接写出的范围，即可得到答案．
【小问1详解】
解：将代入，得，
∴反比例函数的解析式为：，
将代入，得：，
∴，
将，代入，
∴
解得：，
∴一次函数的解析式为：．
【小问2详解】
解：观察图象，当时，关于的不等式的解集是或．
19. 劳动是一切幸福的源泉．为了初步了解学生的劳动教育情况，某校对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间分为如下四组（A：；B：；C：；D：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为________人，扇形统计图中的值为________；
（2）补全条形统计图；（要求在条形图上方表明人数）
（3）请计算扇形统计图中“C”组所在扇形的圆心角的度数；
（4）已知该校九年级有1000名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？
【答案】（1）50，30
（2）见解析 （3）
（4）500人
【解析】
【分析】本题主要考查条形统计图，扇形统计图，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
（1）将组的人数除以其所占百分比即可求出本次抽取的学生人数；将组人数除以本次抽取的学生人数，再乘以100即可求出；
（2）先求出组的人数，再补全条形统计图即可；
（3）拿乘以C组的占比即可；
（4）用样本估计总体的思想可估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生人数；
【小问1详解】
解：本次抽取的学生人数为：（人；
，
故答案为：50，30；
【小问2详解】
解：组人数为：（人，
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：；
【小问4详解】
解：（人，
估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有500人．
20. 如图1所示，在户外活动时，为了遮阳和防雨常常会用到天幕帐篷，其截面示意图是轴对称图形（如图2所示），对称轴是垂直于地面的支撑杆，已知幕布，支撑杆，于点．、为防风绳，通过调节防风绳在地面的固定点与支撑杆的距离可控制天幕的开合（、、三点共线，、、三点共线）．
（1）当时，求的长（结果保留根号）；
（2）当由调节至时，左侧防风绳在地面的固定点需向右平移多少米？（结果保留根号）
【答案】（1）当时，长为
（2）当由调节至时，点向右平移的距离为
【解析】
【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角形的值的计算方法是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得出，，在中，解直角三角形求出，即可得．
（2）如图，作，在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，再求出，即可解答．
小问1详解】
解：，，
，，
在中，，
，
答：当时，长为．
【小问2详解】
解：如图，作，
在中，，
在中，，
，
答：当由调节至时，点向右平移的距离为．
21. 某邻里中心新建一个三层停车楼，其中一层布局如图所示，已知每层长为50米，宽20米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位面积为616平方米．

（1）求通道的宽是多少米？
（2）据调查分析，停车场多余60个车位可以对外出租，每个车位的月租金为200元时；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位；现在要求既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14560元，应该月租金定价多少？
【答案】（1）3米 （2）280元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形，根据停车位面积为616平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位，根据月租金收入为14560元，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y的值，再结合要优惠大众，即可得出每个车位的月租金应上涨80元，进而可得月租金定价．
【小问1详解】
解：设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：通道的宽是3米；
【小问2详解】
解：设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又∵要优惠大众，
∴，
（元）．
答：应该月租金定价280元．
22. 如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，若点为运行轨道的最低点（即是弧的中点）．
（1）如图2，若被水面截得的弦长为8米，点到弦所在直线的距离为2米．求半径．
（2）如图3，在（1）的条件下，在水面的变化过程中，若连接并延长分别交于点，交于点，连接，延长交于点，恰好于点，求此时被水面截得的弦的长．（精确到）
【答案】（1）半径为5米
（2）弦的长为米．
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，垂直平分线，等边三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键．
（1）连接交于点H，证明，得到米，，，设半径r米，则，在中，由勾股定理，得
，代入求解即可．
（2）连接，证明为的垂直平分线，为的垂直平分线，推导出是等边三角形，得到，再根据勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：连接交于点H，如图

∵是弧的中点，点O为圆心，
∴，
∴米，，，
设半径为r米，则．
在中，由勾股定理，得
，
即，
解得．
答：半径为5米．
【小问2详解】
连接，如图
由(1)知半径，
∵是弧的中点，点O为圆心，
∴，
∴，，为的垂直平分线，
∴，
∵，点O为圆心，
，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：弦的长为米．
23. （1）问题发现
如图1，在正方形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：．
（2）类比探究
如图2，在矩形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：．
（3）拓展延伸
如图3，在中，，，，点和分别在和上，与交于点且，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，正方形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键．
（1）根据正方形的性质以及已知条件证明，然后由全等三角形的性质即可证明结论；
（2）根据矩形的性质以及已知条件证明，然后由相似三角形的性质即可证明结论；
（3）如图：过点作，结合平行四边形的性质及已知条件可得是等边三角形，进而得到；然后证明可得，设，则，解得，最后代入计算即可．
【详解】证明：（1）∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴；
（3）如图：过点作，
∵在中， ，
∴，
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
设，则，解得：，
∴．
24. 已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），C（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，点P是二次函数图象的对称轴上的一个动点，二次函数的图象与y轴交于点B，当PB+PC最小时，求点P的坐标；
（3）在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标．
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；(2)P（1，2）；(3)当m=时，S最大，此时Q（，）．
【解析】
【分析】（1）把点A（3，0）、C（-1，0）代入y=-x2+bx+c中，解方程即可得到结论；
（2）连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+PC最小．根据抛物线解析式求出B（0，3），利用待定系数法求出直线AB的解析式，于是得到结论；
（3）设Q（m，-m2+2m+3），△QAB的面积为S，连接QA，QB，OQ，根据S=S△OBQ+S△AOQ-S△AOB求出S与m的关系式，利用函数的性质求出m的值，进而得到结论．
【详解】（1）把点A（3，0）、C（-1，0）代入y=-x2+bx+c中，
得，解得，
则抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）连结AB，与对称轴交于点P，此时PB+PC最小．
在y=-x2+2x+3中，当x=0时，y=3，则B（0，3）．
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∵A（3，0），B（0，3），
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y=-x+3，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴对称轴是直线x=1．
当x=1时，y=-1+3=2，
∴P（1，2）；
（3）设Q（m，-m2+2m+3），△QAB的面积为S，如图，连接QA，QB，OQ．
则S=S△OBQ+S△AOQ-S△AOB
=×3m+×3（-m2+2m+3）-×3×3
=-m2+m
=-（m-）2+，
∴当m═时，S最大，此时Q（，）．
本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线的性质，函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，三角形的面积等知识，利用数形结合与方程思想是解题的关键．