湖南省衡阳市常宁市2025年九年级上学期期末数学试题附答案

这是一份湖南省衡阳市常宁市2025年九年级上学期期末数学试题附答案，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列各组二次根式，化简后可以合并的是（ ）
A．与B．与
C．和D．与
2．要使代数式有意义，则的（ ）
A．最大值是B．最小值是
C．最大值是D．最小值是
3．用配方法解方程变形后的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在长为、宽为的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为．则可列的一元二次方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．在一个暗箱里放有个除颜色外其他完全相同的球，这个球中红球有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出大约是（ ）
A．6B．8C．12D．16
6．如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比是，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，点、分别在的边、上，不一定能使与相似的条件是（ ）
A．B．
C．D．
8．在中，、都是锐角，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为8米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为（ ）
A．米B．米
C．米D．12米
10．对于一元二次方程（），下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的是（ ）
A．只有①B．只有①②C．只有②③D．①②③
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ．
12．已知关于的方程的两个根为和1，则 ．
13．若方程的两个实数根为、，则的值为 ．
14．如图，直线，直线，与这三条直线分别交于点，，和点，，．若，，，则的长为 ．
15．如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中错误的结论有 ．
16．上蔡县是古蔡国所在地，有着悠久的历史，拥有很多重点古迹．某中学九年级历史爱好者小组成员小华和小玲两人计划在寒假期间从“蔡国故城、白圭庙、伏羲画卦亭”三个古迹景点随机选择其中一个去参观，两人恰好选择同一古迹景点的概率是 ．
17．已知第一个三角形的周长为，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，…，依此类推，第2024个三角形的周长是 ．
18．如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．解方程：
（1）；
（2）．
20．计算：．
21．已知，．
（1）求代数式的值；
（2）先化简代数式，再求它的值．
22．如图，在中，，于．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
23．为了激发学生对数学学科的学习兴趣，某校九年级举行了数学竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），组：，组：，组：，组：，组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩，并补全学生成绩频数直方图；
（2）若成绩在90分以上为优秀，学校九年级共有1200名学生，估计该校九年级数学竞赛成绩优秀的学生有多少人；
（3）学校将从获得满分的4名同学（其中有三名男生，一名女生）中随机抽取两名，参加数学竞赛获奖发言，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
24．商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利30元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出4件．设每件商品降价元．据此规律，请回答：
（1）降价后商场日销售量是______件，每件商品盈利______元（用含的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到1600元？
25．暑假期间，小亮与小明相约到某旅游风景区登山．需要登顶高的山峰，由山底处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处，已知点，，，，在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）．
（1）求登山缆车上升的高度；
（2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）．（参考数据：，，）
26．如图，在中，，，，为的中点，动点从点开始沿边以的速度运动，过点作，垂足为．设点的运动时间为．
（1）当为何值时，四边形为矩形？
（2）设四边形的面积为，写出与的关系式；
（3）是否存在某一时刻，使四边形与的面积比为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】C
10．【答案】B
11．【答案】2
12．【答案】
13．【答案】14
14．【答案】​​​​​​​
15．【答案】①②③
16．【答案】
17．【答案】
18．【答案】
19．【答案】（1）解：，
即，
解得，
（2）解：，
，
解得，
20．【答案】解：，
，
21．【答案】（1）解：，
把，代入可得原式
（2）解：，
把，代入可得原式
22．【答案】（1）（1）证明：，于，
．
，
（2）解：，
，即，
23．【答案】（1）400；
解：∴B组的人数为（名），即；
∴E组的人数为：（人），
补全学生成绩频数分布直方图如下：
：
（2）解：（人），
答：估计该校成绩优秀的学生有240人；
（3）解：画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有6种，
∴抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为
24．【答案】（1）；
（2）解：依题意得，，整理得，，
，
解得，，
∴每件商品降价元时，商场日盈利可达到元
25．【答案】（1）解：如图，过点作于点，
需要登顶高的山峰，由山底处先步行到达处，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，
，，，，
在中，，，
，
；
答：登山缆车上升的高度为
（2）解：在中，，，
，
从山底处到达山顶处需要的时间，
答：从山底处到达山顶处大约需要
26．【答案】（1）解：在中，，，，∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∵为的中点，
∴，
即，
∴，
即当t的值为时，四边形为矩形
（2）解：∵，，∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴
，
即
（3）解：根据题意得：，
即，
解得：（舍去）或，
故存在某一时刻时，使四边形与的面积比为